Fiche de mathématiques

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Bac Bénin 2023

Mathématiques série A1

A 351

Durée : 1 heure 30 minutes

Les deux problèmes sont obligatoires.
Le candidat ne sera jugé que sur la base des traces écrites sur sa copie.
Il sera tenu grand compte de la clarté et de la précision des raisonnements.
Les seules calculatrices autorisées sont les calculatrices non programmables.

Situation d'évaluation

Contexte : Un stage professionnel en entreprise

Tâche : Tu es invité(e) à apporter des réponses aux préoccupations de Annie en résolvant les deux problèmes suivants:

probleme 1

probleme 2

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probleme 1

1-a) Puisque $u_1$ représente le montant de la cotisation versée le premier mois, et que $u_1=8$ .

Donc:

$\boxed{\text{ Le montant de la cotisation versée le premier mois s'élève à }80000\text{ FCFA}}$

b) Le montant de la cotisation versée le deuxième mois correspond à $u_2$ .

Et on a: $u_2=3+\dfrac{1}{2} u_1=3+\dfrac{8}{2}=3+4=7$

D'où:

$\boxed{\text{Le montant de la cotisation versée le deuxième mois est }70000 \text{ FCFA}}$

2) Pour tout entier naturel $n\geq 1\text{ : }$

$\begin{matrix} v_{n+1}&=&6-u_{n+1}&=&6-\left(3+\dfrac{1}{2} u_n\right)&=&6-3-\dfrac{1}{2}u_n\\\\&=&3-\dfrac{1}{2}u_n&=&\dfrac{1}{2}(6-u_n)&=&\dfrac{1}{2} v_n\end{matrix}$

$\boxed{\text{Pour tout }n\geq 1\text{ : }v_{n+1}=\dfrac{1}{2}v_n}$

De plus, on a: $v_1=6-u_1=6-8=-2$

On conclut alors que:

$\boxed{ (v_n)_{n\geq 1 } \text{ est une suite géométrique de raison }\dfrac{1}{2} \text{ et de premier terme }v_1=-2 }$

3-a) Le résultat de la question 2) permet d'écrire $v_n$ en fonction de $n\text{: }$

$\text{ Pour tout entier }n\geq 1\text{ : }v_n=v_1\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} \Longrightarrow \boxed{\text{ Pour tout entier }n\geq 1\text{ : }v_n=-2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}}$

b) Puisque pour tout $n\geq 1 \text{ : }v_n=6-u_n \text{, alors } u_n=6-v_n$

On en tire que:

$\boxed{\text{ Pour tout entier }n\geq 1\text{ : }u_n=6+2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}}$

4-a) On a $-1<\dfrac{1}{2}<1\text{ , donc: }\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=0$

On obtient donc:

$\boxed{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}6+ 2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} =6}$

b) On a vu que la suite $(u_n)$ admet une limite finie $\ell=6$ , donc elle converge vers $\ell=6$ .

Alors si on montre que la suite $(u_n)$ est décroissante, on peut en déduire qu'elle est minorée par $\ell=6$ .

$\text{Pour tout }n\geq 1\text{ :}$

$\begin{matrix} u_{n+1}-u_n &=&6+ 2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}-\left(6+ 2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} \right) &=& 6+ 2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} -6-2 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} \\&=& 2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} \left(\dfrac{1}{2}-1\right) &=& 2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) \\&=& -\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\right) &\leq 0& \end{matrix}$

$(u_n)\text{ est donc bien une suite décroissante , et puisque on sait déjà qu'elle concverge vers 6, alors: }$

$(u_n) \text{est minorée par }6\Longrightarrow \boxed{\text{ Pour tout }n\geq 1\text{ : }u_{n}\geq 6 }$

On conclut alors que:

$\boxed{\text{ La cotisation mensuelle versée est toujours supérieur à }60000\text{ FCFA}}$

probleme 2

5) La prime d'assurance versée à l'assuré au bout de 5 ans correspond à $f(5)\text{ :}$

Calcul: $f(5)=-\dfrac{1}{10}\times 5^2 +2\times 5 +10=-\dfrac{25}{10}+20=-\dfrac{5}{2}+\dfrac{40}{2}=\dfrac{35}{2} =17,5$

$\boxed{\text{ La prime d'assurance s'élève à }17500000 \text{ FCFA}}$

6) La fonction $f$ est définie sur $]0;+\infty[\text{ , calculons alors se limites aux bornes de cet intervalle: }$

$\displaystyle \lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+} -\dfrac{1}{10} x^2+2x+10= 0+0+10 = 10$

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty} -\dfrac{1}{10} x^2+2x+10= \lim_{x\to +\infty} -\dfrac{1}{10} x^2= -\dfrac{1}{10}(+\infty) =-\infty$

La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ car elle est une fonction de second degré, donc pour tout $x\in]0;+\infty[\text{ : }$

$f'(x)=\left(-\dfrac{1}{10} x^2+2x+10\right)'=-\dfrac{2}{10} x +2 =-\dfrac{1}{5}x+2$

Le signe de f'(x) est celui du polynôme de premier degré $-\dfrac{1}{5}x+2$ , résolvons alors l'équation $-\dfrac{1}{5}x+2=0\text{ :}$

$-\dfrac{1}{5}x+2=0 \iff \dfrac{1}{5} x = 2 \iff x=10$

Traçons le tableau de signe de $-\dfrac{1}{5}x+2$ (et donc celui de $f'(x)$ ) :

$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline x & 0 & & & 10 & & +\infty \\ \hline f'(x)= -\frac{1}{5}x+2 & \dbarre & & + &\barre{0} & - & \\ \hline \end{array}}$

On en tire que:

$\begin{cases} \text{ Pour tout }x\in ]0;10[\text{ : } f'(x)>0 \\f'(10)=0 \\ \text{ Pour tout }x\in ]10;+\infty[\text{ : }f'(x)<0\end{cases} \Longrightarrow \boxed{\begin{cases} f\text{est strictement croissante sur }]0;10[ \\ f\text{ admet un maximum en }10 \\ f\text{est strictement décroissante sur }]10;+\infty[ \end{cases}}$

Tableau de variations de $f\text{ :}$

Calculons $f(10)\text{ : } f(10)=-\dfrac{1}{10}\times 10^2 +2\times 10+10 = -\dfrac{100}{10}+30=20$

Et on dresse le tableau de variations:

$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline x & 0 & & & 10 & & +\infty \\ \hline f'(x) & \dbarre & & + &\barre{0} & - & \\ \hline & \dbarre & & & 20 & & \\ f & \dbarre & &\nearrow& & \searrow & \\ & \dbarre & 10 & & & & -\infty \\ \hline \end{array}}$

7) D'après la question précédente, la fonction $f$ admet une valeur maximale en $10$ qui est $f(10)=20$ .

Ce qui se traduit par:

$\boxed{\begin{matrix}\text{ Le nombre d'années de cotisation au bout duquel la prime est maximale est }10\text{ ans. } \\ \text{ Et le montant correspondant s'élève à } 20000000\text{ FCFA}\end{matrix} }$

8) Chercher le nombre d'années $x$ au bout duquel la prime est nulle revient à résoudre l'équation $f(x)=0$

$f(x)=0\iff -\dfrac{1}{10} x^2+2x+10=0$

Calculons le discriminent $\Delta= (2)^2-4\times 10\times \left(-\dfrac{1}{10}\right)=4+4=8>0$

L'équation admet deux solutions réelles:

$\begin{cases}x_1=\dfrac{-2-\sqrt{8}}{\dfrac{-2}{10}} = \dfrac{-20-10\sqrt{8}}{-2} = 10+5\sqrt{8} \approx 24,14>0 \\\\ x_2=\dfrac{-2+\sqrt{8}}{\dfrac{-2}{10}} = \dfrac{-20+10\sqrt{8}}{-2} = 10-5\sqrt{8}\approx -4,14<0 \end{cases}$

On ne retient que $x=10+5\sqrt{8}\approx 24,14 >0$ car il s'agit de nombre d'années.

On en tire qu'un assuré ne percevra plus de prime après $24,14\text{ ans}$ . Or, l'assuré en question a souscrit à l'assurance-vie à $50\text{ ans}$ .

Donc:

$\boxed{\text{ L'assuré ne percevra plus de prime lorsqu'il aura atteint }50+25=75\text{ ans}}$

Publié par malou/Panter le 15-07-2023

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