Fiche de mathématiques

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Bac Bénin 2023

Mathématiques série C

Y 152

Durée : 4 heures

Les trois problèmes sont obligatoires.
Le candidat ne sera jugé que sur la base des traces écrites sur sa copie.
Il sera tenu grand compte de la clarté et de la précision des raisonnements.
Les seules calculatrices autorisées sont les calculatrices non programmables.

Situation d'évaluation

Contexte : Rituels séculaires de sortie de nouveau-né

Tâche : Tu es invité(e) à apporter des réponses aux préoccupations de DANGANA en résolvant les trois problèmes suivants:

probleme 1

probleme 2

probleme 3

Fin

Voir la correction

Bac Bénin 2023 série C

probleme 1

1. Nous devons montrer que la répartition des graines est possible si $\overset{ { \white{ 0 } } } {p }$ prend la valeur 5.

DANGANA a appris que le nombre de graines à semer est $\overset{ { \white{ _. } } } {p^2 }$ où $\overset{ { \white{ . } } } { p}$ est un nombre premier.
Soit $\overset{ { \white{ . } } } { p=5.}$
Le nombre 5 est premier et le nombre de graines à semer est alors égal à $\overset{ { \white{ . } } } { p^2=25.}$
Le chef de famille sème une seule graine.
Il reste donc 24 graines à répartir entre les 24 jeunes chacun d'eux recevant le même nombre de graines, soit une graine par jeune.
Par conséquent, la répartition des graines est possible si $\overset{ { \white{ 0 } } } {p }$ prend la valeur 5.

2. On suppose que $\overset{ { \white{ . } } } { p}$ est un nombre premier supérieur à 5.

2. a) Nous devons démontrer que $\overset{ { \white{ . } } } { p^2-1}$ est divisible par 8.

Puisque $\overset{ { \white{ . } } } { p}$ est un nombre premier supérieur à 5, nous déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { p}$ est impair car le seul nombre premier pair est 2 (qui n'est pas supérieur à 5).

Dès lors, il existe un nombre entier $\overset{ { \white{ _. } } } { k}$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } {p=2k+1. }$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ ${ \white{ xxi } }$ $p^2-1=(2k+1)^2-1 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{p^2-1}=(4k^2+4k+1)-1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{p^2-1}=4k^2+4k} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{p^2-1}=4k(k+1)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{p^2-1=4k(k+1)\quad\quad(\text{avec }k\in\Z)}$

Or nous savons que le produit de deux nombres entiers consécutifs est pair et par suite, le produit $\overset{ { \white{ . } } } { k(k+1)}$ est pair.
D'où il existe un nombre entier ${ k'}$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } {k(k+1)=2k'. }$
Nous en déduisons que $p^2-1=4\times2k'\quad(\text{avec }k'\in\Z)$ ,
soit $\boxed{p^2-1=8k'\quad(\text{avec }k'\in\Z)}\,.$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { p^2-1}$ est divisible par 8.

2. b) Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { p(p^2-1)}$ est un multiple de 3.

En effet, $\overset{ { \white{ . } } } { p(p^2-1)=p(p+1)(p-1)=(p-1)p(p+1).}$
Donc $\overset{ { \white{ . } } } { p(p^2-1)}$ est le produit de trois nombres entiers consécutifs.
Or le produit de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3.

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { p(p^2-1)}$ est un multiple de 3.

Nous devons en déduire que $\overset{ { \white{ . } } } {p^2-1}$ est un multiple de 3.

Puisque 3 divise le produit $\overset{ { \white{ . } } } { p(p^2-1)}$ , 3 divise au moins un des facteurs.
Or 3 est premier avec $\overset{ { \white{ . } } } {p}$ puisque $\overset{ { \white{ . } } } { p}$ est un nombre premier supérieur à 5.
Donc 3 divise $\overset{ { \white{ . } } } {p^2-1.}$
Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {p^2-1}$ est un multiple de 3.

2. c) Nous avons montré dans les questions 2. a) et c) que $\overset{ { \white{ . } } } {p^2-1}$ est divisible par 3 et par 8.
Or 3 et 8 sont premiers entre eux et $\overset{ { \white{ . } } } {3\times8=24.}$ .
Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } {p^2-1}$ est divisible par 24.

2. d) Nous savons que le nombre de graines à semer est $\overset{ { \white{ _. } } } {p^2 }$ où $\overset{ { \white{ . } } } { p}$ est un nombre premier.
Le chef de famille sème une seule graine.
Il reste donc $\overset{ { \white{ _. } } } {p^2-1 }$ graines à répartir à parts égales entre les 24 jeunes.
Or nous avons montré que pour tout entier $\overset{ { \white{ . } } } {p }$ premier et supérieur à 5, $\overset{ { \white{ . } } } {p^2-1}$ est divisible par 24.

Par conséquent, la répartition des graines dans les récipients est possible pour tout nombre premier $\overset{ { \white{ . } } } {p }$ supérieur à 5.

3. Nous devons déterminer le nombre de graines semées à l'occasion de la cérémonie.

Nous savons que le nombre de graines semées sur les billons se situe entre 3500 et 4000.
Dès lors : $\overset{ { \white{ _. } } } {3500\le p^2\le 4000.}$
Or $\overset{ { \white{ _. } } } {\sqrt{3500}\approx59,2}$ et $\overset{ { \white{ _. } } } {\sqrt{4000}\approx63,2.}$

Puisque $\overset{ { \white{ . } } } {p }$ est un nombre entier, nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } {60\le p\le63. }$

L'unique nombre premier compris entre 60 et 63 est 61 qui est supérieur à 5.
De plus, $\overset{ { \white{ . } } } {p=61\quad\Longrightarrow\quad p^2=3721. }$
Par conséquent, le nombre de graines semées lors de la cérémonie s'élève à 3721.

probleme 2

Soient les fonctions $\overset{ { \white{ . } } } {f_m }$ définies sur $\overset{ { \white{ . } } } {\R }$ par $\overset{ { \white{ . } } } {f_m(x)=2x\text e^{-x^2}+\text e^{-x}+m\quad\quad(m\in\N). }$

4. Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } {f_0 }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } {\R }$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f_0 }$ est définie par : $\overset{ { \white{ . } } } {f_0(x)=2x\text e^{-x^2}+\text e^{-x}. }$

Les fonctions $\overset{ { \white{ . } } } {x\mapsto-x }$ et ${x\mapsto-x^2 }$ sont dérivables sur $\overset{ { \white{ . } } } {\R }$ (fonctions polynômes).
La fonction exponentielle est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } {\R }$ .
D'où les fonctions ${x\mapsto\text e^{-x} }$ et $\underset{ { \white{ '' } } } {x\mapsto\text e^{-x^2} }$ sont dérivables sur $\overset{ { \white{ . } } } {\R }$

De plus la fonction $\underset{ { \white{ '' } } } {x\mapsto 2x\text e^{-x^2} }$ est également dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } {\R. }$
Donc la fonction $\underset{ { \white{ '' } } }{x\mapsto 2x\text e^{-x^2}+\text e^{-x} }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } {\R }$ (somme de deux fonctions dérivables sur $\overset{ { \white{ . } } } {\R)\,. }$
Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f_0 }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } }{\R\,. }$

Calculons la fonction dérivée $\overset{ { \white{ . } } } {f'_0. }$
Pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } {x, }$

${ \white{ xxi } }$ ${ \white{ xxi } }$ $f'_0(x)=(2x)'\times \text e^{-x^2}+2x\times\left(\text e^{-x^2}\right)'+(\text e^{-x})' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'_0(x)}=2\times \text e^{-x^2}+2x\times\left(-2x\,\text e^{-x^2}\right)+(-\text e^{-x})} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'_0(x)}=2\, \text e^{-x^2}-4x^2\,\text e^{-x^2}-\text e^{-x}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'_0(x)}=2(1-2x^2)\,\text e^{-x^2}-\text e^{-x}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f'_0(x)=2(1-2x^2)\,\text e^{-x^2}-\text e^{-x}}$

5. Nous devons justifier que pour tout élément $\overset{ { \white{ . } } } {x }$ de ${\left]-\infty\,;\,-\dfrac{\sqrt2}{2}\right]\,\cup\,\left[\dfrac{\sqrt2}{2}\,;\,+\infty\right[, \quad f'_0(x)<0. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Etudions le signe de ${2(1-2x^2)\,\text e^{-x^2} }$ sur ${]-\infty\,;\,-\dfrac{\sqrt2}{2}]\,\cup\,[\dfrac{\sqrt2}{2}\,;\,+\infty[.$

Nous savons que ${2\,\text e^{-x^2}>0 }$ pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x }$ réel.
Etudions le signe du polynôme du deuxième degré ${(1-2x^2) }$ dont le coefficient principal est négatif.

$\begin{matrix}1-2x^2=0\quad\Longleftrightarrow\quad2x^2=1\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{1-2x^2=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x^2=\dfrac12} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{1-2x^2=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x=\pm\dfrac{\sqrt2}{2}} \end{matrix} \begin{matrix}\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&-\infty&&-\dfrac{\sqrt2}{2}&&\dfrac{\sqrt2}{2}&&+\infty &&&&&&&&\\\hline &&&&&&&\\1-2x^2&&-&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\\hline \end{array}$

D'où le signe de ${2(1-2x^2)\,\text e^{-x^2} }$ sur ${]-\infty\,;\,-\dfrac{\sqrt2}{2}]\,\cup\,[\dfrac{\sqrt2}{2}\,;\,+\infty[.$

${ \white{ WWWWWWW } }$ $\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&-\infty&&-\dfrac{\sqrt2}{2}&/////&\dfrac{\sqrt2}{2}&&+\infty &&&&&&&&\\\hline&&&&/////&&&\\2(1-2x^2)\,\text e^{-x^2}&&-&0&/////&0&-&\\&&&&/////&&&\\\hline \end{array}$

Nous en déduisons que pour tout élément $\overset{ { \white{ . } } } {x }$ de ${]-\infty\,;\,-\dfrac{\sqrt2}{2}]\,\cup\,[\dfrac{\sqrt2}{2}\,;\,+\infty[, \quad \boxed{2(1-2x^2)\,\text e^{-x^2}\le 0}\,. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\forall\,x\in\R,\quad\text e^{-x}>0\quad\Longrightarrow\quad \boxed{-\text e^{-x}<0}\,.$

Par conséquent, pour tout élément $\overset{ { \white{ . } } } {x }$ de ${]-\infty\,;\,-\dfrac{\sqrt2}{2}]\,\cup\,[\dfrac{\sqrt2}{2}\,;\,+\infty[, \quad f'_0(x)<0. }$

${\red{6.\;\text{}a)}}\quad f'_0\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=0-\text e^{\frac{\sqrt2} {2}}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{ f'_0\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=-\text e^{\frac{\sqrt2}{2}}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{{\red{6.\;\text{}a)}}}\quad f'_0\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=0-\text e^{-\frac{\sqrt2}{2}}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{ f'_0\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=-\text e^{-\frac{\sqrt2}{2}}}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{{\red{6.\;\text{}a)}}}\quad f'_0(0)=2-1\quad\Longrightarrow\quad\boxed{ f'_0(0)=1}}$

6. b) Nous devons justifier que l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {f'_0(x)=0 }$ admet au moins deux solutions dans $\overset{ { \white{ . } } } {\left]-\dfrac{\sqrt 2}{2}\;;\;\dfrac{\sqrt 2}{2}\right[. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ La fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f'_0 }$ est continue sur $\left[-\dfrac{\sqrt 2}{2}\;;\;0\right].$
${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}f'_0\Big(-\dfrac{\sqrt2}{2}\Big)=-\text e^{\frac{\sqrt2}{2}}<0\\\overset{ { \white{ . } } } {f'_0\left(0\right)=1>0\phantom{xxxxxxx}}\end{matrix}\right.$

Selon le théorème des valeurs intermédiaires,
l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {f'_0(x)=0 }$ admet au moins une solution dans l'intervalle $\left]-\dfrac{\sqrt 2}{2}\;;\;0\right[.$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ La fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f'_0 }$ est continue sur $\left[0\;;\;\dfrac{\sqrt 2}{2}\right].$
${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}f'_0\left(0\right)=1>0\phantom{xxxxxxx}\\\overset{ { \white{ . } } } {f'_0\Big(\dfrac{\sqrt2}{2}\Big)=-\text e^{-\frac{\sqrt2}{2}}<0}\end{matrix}\right.$

Selon le théorème des valeurs intermédiaires,
l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {f'_0(x)=0 }$ admet au moins une solution dans l'intervalle $\left]0\;;\;\dfrac{\sqrt 2}{2}\right[.$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Par conséquent, l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {f'_0(x)=0 }$ admet au moins deux solutions dans $\overset{ { \white{ . } } } {\left]-\dfrac{\sqrt 2}{2}\;;\;\dfrac{\sqrt 2}{2}\right[. }$

7. On admet que l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {f'(x)=0 }$ admet exactement deux solutions $\overset{ { \white{ . } } } {\alpha }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {\beta }$ telles que $\overset{ { \white{ . } } } {-0,34<\alpha <-0,33 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {0,55<\beta <0,56. }$

7. a) Déterminons le signe de $\overset{ { \white{ . } } } {f'_0(x) }$ pour tout élément $\overset{ { \white{ . } } } {x }$ de ${\R. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\longrightarrow \bullet}{\white{x}}$ Déterminons le signe de $\overset{ { \white{ . } } } {f'_0(x) }$ pour tout élément $\overset{ { \white{ . } } } {x }$ dans ${\left]-\infty\,;\,-\dfrac{\sqrt2}{2}\right]\,\cup\,\left[\dfrac{\sqrt2}{2}\,;\,+\infty\right[ } .$

Nous avons montré dans la question 5 que pour tout élément $\overset{ { \white{ . } } } {x }$ de ${\left]-\infty\,;\,-\dfrac{\sqrt2}{2}\right]\,\cup\,\left[\dfrac{\sqrt2}{2}\,;\,+\infty\right[, \quad f'_0(x)<0. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\longrightarrow\bullet}{\white{x}}$ Déterminons le signe de $\overset{ { \white{ . } } } {f'_0(x) }$ pour tout élément $\overset{ { \white{ . } } } {x }$ dans ${\left]-\dfrac{\sqrt 2}{2}\;;\;\dfrac{\sqrt 2}{2}\right[. }$

Nous savons que l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {f'(x)=0 }$ admet exactement deux solutions $\overset{ { \white{ . } } } {\alpha }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {\beta }$ telles que $\overset{ { \white{ . } } } {-0,34<\alpha <-0,33 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {0,55<\beta <0,56. }$

Or $-\dfrac{\sqrt 2}{2}\approx-0,7$ et $\dfrac{\sqrt 2}{2}\approx0,7$

Nous en déduisons que l'équation $\overset{ { \white{ . } } } {f'(x)=0 }$ admet exactement deux solutions $\overset{ { \white{ . } } } {\alpha }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {\beta }$ telles que $\overset{ { \white{ . } } } {-\dfrac{\sqrt 2}{2}<\alpha<\beta<\dfrac{\sqrt 2}{2}. }$

De plus la fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f'_0}$ est continue sur ${\R }$ et ne s'annule pas sur les intervalles $]-\infty \;;\;\alpha[\,,\;]\alpha\;;\;\beta[$ et $]\beta\;;\;+\infty[.$
$\overset{ { \white{ . } } } {f'_0}$ garde alors un signe constant sur chacun de ces intervalles.
Nous obtenons alors :

$\bullet}{\white{x}}\left\lbrace\begin{matrix}-\dfrac{\sqrt 2}{2}\in\;]-\infty \;;\;\alpha[\\\overset{ { \white{ . } } } {f'_0\Big(-\dfrac{\sqrt2}{2}\Big)=-\text e^{\frac{\sqrt2}{2}}<0}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\forall x\in\;]-\infty \;;\;\alpha[,\quad f'_0(x)<0}$

$\bullet}{\white{x}}\left\lbrace\begin{matrix}0\in\;]\alpha\;;\;\beta[\\\overset{ { \white{ . } } } {f'_0(0)=1>0}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\forall x\in\;]\alpha\;;\;\beta[,\quad f'_0(x)>0}$

$\bullet}{\white{x}}\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{\sqrt 2}{2}\in\;]\beta\;;\;+\infty[\\\overset{ { \white{ . } } } {f'_0\Big(\dfrac{\sqrt2}{2}\Big)=-\text e^{-\frac{\sqrt2}{2}}<0}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\forall x\in\;]\beta\;;\;+\infty[,\quad f'_0(x)<0}$

Tableau résumant le signe de $\overset{ { \white{ . } } } {f'_0(x) }$ pour tout élément $\overset{ { \white{ . } } } {x }$ de ${\R. }$

${ \white{ WWWWWWWW } }$ $\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&-\infty&&\alpha&&\beta&&+\infty &&&&&&&&\\\hline &&&&&&&\\f'_0(x)&&-&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\\hline \end{array}$

7. b) Étudions les variations de $\overset{ { \white{ . } } } {f_0 }$ sur ${\R. }$

Déterminons d'abord les limites de $\overset{ { \white{ . } } } {f_0 }$ aux infinis.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to-\infty}f_0(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(2x\text e^{-x^2}+\text e^{-x}\right) }$

${ \phantom{ xxi } }\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}\lim\limits_{x\to-\infty}2x\text e^{-x^2}=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(-\dfrac 2 x \right)\left(-x^2\text e^{-x^2}\right) \\\\ { \white{ xxi } }\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}\left(-\dfrac 2 x \right)=0\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWW}\\\lim\limits_{x\to-\infty}\left(-x^2\text e^{-x^2}\right)\;\underset{(t=-x^2)}{=}\;\lim\limits_{t\to-\infty}t\,\text e^{t}=0\quad(\text{croissances comparées})\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}2x\text e^{-x^2}=0}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}\lim\limits_{x\to-\infty}\text e^{-x}\;\underset{(t=-x)}{=}\;\lim\limits_{t\to+\infty}\text e^{t}=+\infty\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}\text e^{-x}=+\infty}$

$\text{D'où }\;\lim\limits_{x\to-\infty}\left(2x\text e^{-x^2}+\text e^{-x}\right)=+\infty$

Par conséquent $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f_0(x)=+\infty}}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to+\infty}f_0(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(2x\text e^{-x^2}+\text e^{-x}\right) }$

${ \phantom{ xxi } }\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}\lim\limits_{x\to+\infty}2x\text e^{-x^2}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-\dfrac 2 x \right)\left(-x^2\text e^{-x^2}\right) \\\\ { \white{ xxi } }\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-\dfrac 2 x \right)=0\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWW}\\\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-x^2\text e^{-x^2}\right)=\lim\limits_{t\to-\infty}t\,\text e^{t}=0\quad(\text{croissances comparées})\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}2x\text e^{-x^2}=0}$

${ \white{ xxi } }\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^{-x}=\lim\limits_{t\to-\infty}\text e^{t}=0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^{-x}=0}$

$\text{D'où }\;\lim\limits_{x\to+\infty}\left(2x\text e^{-x^2}+\text e^{-x}\right)=0$

Par conséquent $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f_0(x)=0}}$

Nous pouvons dresser le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } {f_0 }$ sur ${\R. }$

${ \white{ WWWWWWWW } } \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&-\infty&&\alpha&&\beta&&+\infty &&&&&&&&\\\hline &&&&&&&\\f'_0(x)&&-&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\\hline &+\infty&&&&f_0(\beta)&&\\f_0(x)&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&\\&&&f_0(\alpha)&&&&0\\\hline \end{array}$

8. Nous devons étudier les branches infinies de la courbe $\mathscr{C}_0.$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Au voisinage de - infini

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to-\infty}f_0(x)=+\infty}$

Calculons $\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f_0(x)}{x}.}$

$\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f_0(x)}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{2x\text e^{-x^2}+\text e^{-x}}{x}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWW}=\lim\limits_{x\to-\infty}2\text e^{-x^2}+\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{\text e^{-x}}{x}} \\\\\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}2\text e^{-x^2}=\lim\limits_{t\to-\infty}2\text e^{t}=0\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWW}\\\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{\text e^{-x}}{x}=-\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{\text e^{-x}}{-x}=-\lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{\text e^{t}}{t}=-\infty\quad(\text{croissances comparées})\end{matrix}\right.$

$\text{D'où }\;\lim\limits_{x\to-\infty}2\text e^{-x^2}+\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{\text e^{-x}}{x}=-\infty$
Par conséquent $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f_0(x)}{x}=-\infty}}$

Nous en déduisons qu'au voisinage de -, la courbe $\mathscr{C}_0$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Au voisinage de + infini

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{x\to+\infty}f_0(x)=0.}$

Nous en déduisons qu'au voisinage de +, la courbe $\mathscr{C}_0$ admet une asymptote horizontale d'équation $\overset{ { \white{ . } } } {y=0}.$ .

9. a) Montrons que $\mathscr{C}_m$ est l'image de $\mathscr{C}_0$ par une transformation plane.

Les fonctions $\overset{ { \white{ . } } } {f_m }$ sont définies sur $\overset{ { \white{ . } } } {\R }$ par $\overset{ { \white{ . } } } {f_m(x)=2x\text e^{-x^2}+\text e^{-x}+m\quad\quad(m\in\N). }$

$\text{Or }\quad f_m(x)=2x\text e^{-x^2}+\text e^{-x}+m\quad\Longleftrightarrow\quad f_m(x)=f_0(x)+m \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text{Or }\quad f_m(x)=2x\text e^{-x^2}+\text e^{-x}+m}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{f_m(x)=f_0(x-0)+m}}$

Dès lors, $\mathscr{C}_m$ est l'image de $\mathscr{C}_0$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{ t_m}\,(0\;;\;m).$

9. b) Représentons les courbes $\mathscr{C}_0\;,\;\mathscr{C}_1$ et $\mathscr{C}_2.$

probleme 3

I) Sur la figure ci-dessous, les points $\overset{ { \white{ . } } } { A,B,C,D,I,J,K,L}$ indiquent la position des huit personnes qui ont dirigé la prière, le bébé étant au point $\overset{ { \white{ . } } } { O.}$

$\overset{ { \white{ . } } } { ABCD}$ est un carré de centre $\overset{ { \white{ . } } } { O}$ et les points $\overset{ { \white{ . } } } {I,J,K,L }$ sont les milieux respectifs des segments $\overset{ { \white{ . } } } {[AB],\,[BC],\,[CD],\,[AD]. }$
La position des mêmes personnes lors des libations a été générée par la similitude plane indirecte $\overset{ { \white{ . } } } { g}$ qui transforme $\overset{ { \white{ _. } } } { B}$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { K}$ et $\overset{ { \white{ _. } } } {K }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { A.}$

10. a) Nous devons justifier que $\overset{ { \white{ . } } } { g}$ est un antidéplacement.

La similitude plane indirecte $\overset{ { \white{ . } } } { g}$ transforme le segment $\overset{ { \white{ _. } } } { [BK]}$ en segment $\overset{ { \white{ _. } } } { [KA].}$
Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { g}$ est une isométrie.

Nous savons que dans un carré, si on joint les milieux des côtés opposés, les segments obtenus sont perpendiculaires aux côtés.
Dans le carré $\overset{ { \white{ . } } } { ABCD}$ , les points $\overset{ { \white{ . } } } { I}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { K}$ sont les milieux respectifs des côtés opposés $\overset{ { \white{ . } } } { [AB]}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { [DC].}$
Dès lors, la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (IK)}$ est perpendiculaire au côté $\overset{ { \white{ . } } } { [AB]}$ en son milieu $\overset{ { \white{ . } } } { I.}$
Il s'ensuit que la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (IK)}$ est la médiatrice du segment $\overset{ { \white{ . } } } { [AB].}$

Puisque tout point d'une médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment, nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { KA=KB.}$
D'où $\overset{ { \white{ . } } } { g}$ est une isométrie indirecte.

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { g}$ est un antidéplacement.

10. b) Nous devons démontrer que $\overset{ { \white{ . } } } { g}$ est une symétrie glissée.

Un antidéplacement est soit une symétrie orthogonale soit une symétrie glissée.
Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { g}$ n'est pas une symétrie orthogonale.
Supposons par l'absurde que $\overset{ { \white{ . } } } { g}$ est une symétrie orthogonale.

D'une part, nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { g(B)=K\quad\Longrightarrow\quad g(g(B))=g(K)=A.}$

D'autre part, nous aurions : $\overset{ { \white{ . } } } { g(g(B))=B. }$
Dès lors, si $\overset{ { \white{ . } } } { g}$ est une symétrie orthogonale, nous obtiendrions $\overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix}g(g(B))=A\\\overset{ { \white{ . } } } {g(g(B))=B}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{A=B} }$ ,
ce qui impossible puisque $A$ et $B$ sont deux sommets du carré $ABCD.$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { g}$ est une symétrie glissée.

Déterminons les éléments caractéristiques de $\overset{ { \white{ . } } } { g }$

Une symétrie glissée d'axe $\overset{ { \white{ . } } } {(D) }$ et de vecteur ${ \vec u}$ est la composée de la symétrie orthogonale $\overset{ { \white{ . } } } {S_{(D)} }$ par rapport à $\overset{ { \white{ . } } } {(D) }$ et de la translation $\overset{ { \white{ . } } } {t_{\vec u} }$ de vecteur ${ \vec u }.$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons le vecteur ${ \vec u }.$

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { g=S_{(D)}\circ t_{\vec u}=t_{\vec u}\circ S_{(D)}}$ et que $\left[\overset{}{ g(B)=K\quad\Longrightarrow\quad g(g(B))=g(K)=A}\right].$

Nous en déduisons que :

${ \white{ xxi } }$ ${ \white{ xxi } }$ $g\circ g=\left(t_{\vec u}\circ S_{(D)}\right)\circ \left(S_{(D)}\circ t_{\vec u}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{g\circ g}=t_{\vec u}\circ \left(S_{(D)}\circ S_{(D)}\right)\circ t_{\vec u} } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{g\circ g}=t_{\vec u}\circ \text{Id}\circ t_{\vec u} } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{g\circ g}=t_{\vec u}\circ t_{\vec u} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{g\circ g}=t_{2\vec u} } \\\\\Longrightarrow\boxed{g\circ g=t_{2\vec u} }$

$\text{Dès lors, }\;(g\circ g)(B)=A\quad\Longleftrightarrow\quad t_{2\vec u}(B)=A \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text{Dès lors, }\;(g\circ g)(B)=A}\quad\Longleftrightarrow\quad 2\vec u=\overrightarrow{BA}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text{Dès lors, }\;(g\circ g)(B)=A}\quad\Longleftrightarrow\quad \vec u=\dfrac 1 2 \overrightarrow{BA}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text{Dès lors, }\;(g\circ g)(B)=A}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\vec u=\overrightarrow{BI}}}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons l'axe $\overset{ { \white{ . } } } { (D) }.$

$g(B)=K\quad\Longleftrightarrow\quad \left(S_{(D)}\circ t_{\overrightarrow{BI}}\right)(B)=K \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{g(B)=K}\quad\Longleftrightarrow\quad S_{(D)}\left( t_{\overrightarrow{BI}}(B)\right)=K} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{g(B)=K}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{S_{(D)}(I)=K}}$

Il s'ensuit que $\overset{ { \white{ . } } } { (D) }$ est la médiatrice du segment $\overset{ { \white{ . } } } { [IK] }.$ ou encore, $\overset{ { \white{ . } } } { (D) }$ est la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (JL) }.$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { g}$ est une symétrie glissée de vecteur ${ \overrightarrow{BI}}$ et d'axe $\overset{ { \white{ . } } } { (JL). }$

10) c) Complétons la figure ci-dessus par son image par $\overset{ { \white{ . } } } { g. }$

Les images des points $\overset{ { \white{ . } } } { A,B,C,D,I,J,K,L,O}$ sont respectivement les points $\overset{ { \white{ . } } } { A',B',C',D',I',J',K',L',O'.}$

11. a) Nous devons déterminer l'expression analytique du demi-tour $\overset{ { \white{ . } } } { S_{\Delta}. }$

La droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta ) }$ est définie par : $\overset{ { \white{ . } } } { -x+1=y+1=z-2=t\quad(t\in\R)}$ , soit par $\overset{ { \white{ . } } } { \overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix}t=-x+1\\t=y+1\phantom{x}\\t=z-2\phantom{x} \end{matrix}\right.}\quad(t\in\R).}$
Donc une représentation paramétrique de $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta ) }$ est : $\overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix}x=-t+1\\\overset{ { \phantom{ . } } } {y=t-1\phantom{x}}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {z=t+2\phantom{x} }\end{matrix}\right.}\quad(t\in\R).$
Dès lors, un vecteur directeur de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta ) }$ est $\overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow{d}\,\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}.}$
Soient M (x ; y ; z ) et M' (x' ; y' ; z' ) deux points de l'espace.

$S_{\Delta}(M)=M'\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}(MM')\perp(\Delta)\phantom{WWWW}\\\overset{ { \white{ . } } } { R=\text{milieu}[MM']\in(\Delta) } \end{matrix}\right.$

${\bullet}{\white{x}}(MM')\perp(\Delta)\quad\Longleftrightarrow\quad\overrightarrow{MM'}\cdot \overrightarrow{d}=0 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ WWWWWWw}\quad\Longleftrightarrow\quad (x'-x)\times(-1)+(y'-y)\times1+(z'-z)\times1=0} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ WWWWWWw}\quad\Longleftrightarrow\quad -(x'-x)+(y'-y)+(z'-z)=0} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{ WWWWWWw}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{-x'+x+y'-y+z'-z=0\quad(1)}}$ .

${\bullet}{\white{x}} R=\text{milieu}[MM']\in(\Delta)\quad\Longleftrightarrow\quad R\,\begin{pmatrix}\dfrac{x+x'}{2}\\\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{y+y'}{2}}\\\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{z+z'}{2}}\end{pmatrix}\in(\Delta)$

Donc les coordonnées du point R vérifient les équations de $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta ) }$ .

Nous obtenons ainsi : $\overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{x+x'}{2}=-t+1\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\dfrac{y+y'}{2}=t-1\phantom{x}}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\dfrac{z+z'}{2}=t+2\phantom{x} }\end{matrix}\right.}$

$\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{x+x'}{2}=-t+1\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\dfrac{y+y'}{2}=t-1\phantom{x}}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\dfrac{z+z'}{2}=t+2\phantom{x} }\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x+x'=-2t+2\\\overset{ { \white{ . } } } { y+y'=2t-2}\phantom{x}\\\overset{ { \white{ . } } } { z+z'=2t+4\phantom{x}}\end{matrix}\right. \\\phantom{WWWWWWWWiW}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x'=-2t+2-x\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y'=2t-2-y}\phantom{x}\\\overset{ { \white{ . } } } { z'=2t+4-z\phantom{x}}\end{matrix}\right.\quad(2)}$

A partir des relations (1) et (2), nous déduisons que :

$-(-2t+2-x)+x+(2t-2-y)-y+(2t+4-z)-z=0.$

Nous obtenons ainsi :

$2t-2+x+x+2t-2-y-y+2t+4-z-z=0 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad 6t+2x-2y-2z=0} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad 3t+x-y-z=0} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad 3t=-x+y+z} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{t=\dfrac 1 3(-x+y+z)\quad(3)}}$

A partir des relations (2) et (3), nous déduisons que :

${ \white{ xxi } } \left\lbrace\begin{matrix}x'=-\dfrac {2}{ 3}(-x+y+z)+2-x\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y'=\dfrac {2}{ 3}(-x+y+z)-2-y}\phantom{x}\\\overset{ { \white{ . } } } { z'=\dfrac {2}{ 3}(-x+y+z)+4-z\phantom{x}}\end{matrix}\right.$

soit $\left\lbrace\begin{matrix}x'=-\dfrac {1}{ 3}x-\dfrac {2}{ 3}y-\dfrac {2}{ 3}z+\dfrac {6}{ 3}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y'=-\dfrac {2}{ 3}x-\dfrac {1}{ 3}y+\dfrac {2}{ 3}z-\dfrac {6}{ 3}}\phantom{x}\\\overset{ { \white{ . } } } { z'=-\dfrac {2}{ 3}x+\dfrac {2}{ 3}y-\dfrac {1}{ 3}z+\dfrac {12}{ 3}\phantom{x}}\end{matrix}\right.$

Par conséquent, l'expression analytique du demi-tour $\overset{ { \white{ . } } } { S_{\Delta} }$ est :

$\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x'=\dfrac {1}{ 3}(-x-2y-2z+6)\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y'=\dfrac {1}{ 3}(-2x-y+2z-6)}\\\overset{ { \white{ . } } } { z'=\dfrac {1}{ 3}(-2x+2y-z+12)}\end{matrix}\right.}$

11. b) Nous devons déterminer les coordonnées des points $\overset{ { \white{ . } } } { A_3,A'_1,A'_2,A'_3.}$

Nous savons que l'espace étant muni d'un repère orthonormé direct $(\Omega \;;\vec i,\vec j,\vec k),$ lors de la prière du premier jour, trois des 6 lampes sont placées aux points $\overset{ { \white{ . } } } { A_1(0\;;\;1\;;\;2),A_2(0\;;\;-1\;;\;2) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { A_3}$ barycentre des points pondérés $\overset{ { \white{ . } } } { (\Omega\,;1)\,;(A_1;-1)\,;(A_2;1) }$ et les trois autres aux points $\overset{ { \white{ . } } } { A'_1,A'_2,A'_3 }$ images respectives des points $\overset{ { \white{ . } } } { A_1,A_2,A_3 }$ par le demi-tour $\overset{ { \white{ . } } } { S_{\Delta} .}$

Les coordonnées du barycentre $\overset{ { \white{ . } } } { A_3}$ se calculent par :

$\left(\dfrac{1\times x_{\Omega}-1\times x_{A_1}+1\times x_{A_2}}{1-1+1}\;;\;\dfrac{1\times y_{\Omega}-1\times y_{A_1}+1\times y_{A_2}}{1-1+1}\;;\;\dfrac{1\times z_{\Omega}-1\times z_{A_1}+1\times z_{A_2}}{1-1+1}\right)$

soit par $\left(\dfrac{1\times 0-1\times 0+1\times 0}{1}\;;\;\dfrac{1\times 0-1\times 1+1\times (-1)}{1}\;;\;\dfrac{1\times 0-1\times 2+1\times 2}{1}\right)$

D'où les coordonnées de $\overset{ { \white{ . } } } { A_3}$ sont $\overset{ { \white{ . } } } { A_3(0\;;\;-2\;;\;0).}$

Utilisons l'expression analytique du demi-tour $\overset{ { \white{ . } } } { S_{\Delta} }$ pour déterminer les coordonnées des points $\overset{ { \white{ . } } } { A'_1,A'_2,A'_3.}$

$A'_1=S_{\Delta}(A_1)\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x_{A'_1}=\dfrac {1}{ 3}(-x_{A_1}-2y_{A_1}-2z_{A_1}+6)\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{A'_1}=\dfrac {1}{ 3}(-2x_{A_1}-y_{A_1}+2z_{A_1}-6)}\\\overset{ { \white{ . } } } { z_{A'_1}=\dfrac {1}{ 3}(-2x_{A_1}+2y_{A_1}-z_{A_1}+12)}\end{matrix}\right.\\\\\phantom{A'_1=S_{\Delta}(A_1)}\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x_{A'_1}=\dfrac {1}{ 3}(0-2\times1-2\times2+6)\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{A'_1}=\dfrac {1}{ 3}(-2\times0-1+2\times2-6)}\\\overset{ { \white{ . } } } { z_{A'_1}=\dfrac {1}{ 3}(-2\times0+2\times1-2+12)}\end{matrix}\right.$

${ \white{ WWWWWWW } }$ $\\\\\phantom{A'_1=S_{\Delta}(A_1)}\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x_{A'_1}=\dfrac {1}{ 3}\times0\phantom{xx}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{A'_1}=\dfrac {1}{ 3}\times(-3)}\\\overset{ { \white{ . } } } { z_{A'_1}=\dfrac {1}{ 3}\times12}\end{matrix}\right. \\\\ \phantom{A'_1=S_{\Delta}(A_1)}\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x_{A'_1}=0\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{A'_1}=-1}\\\overset{ { \white{ . } } } { z_{A'_1}=4}\end{matrix}\right.$
D'où les coordonnées de $\overset{ { \white{ . } } } { A'_1}$ sont $\overset{ { \white{ . } } } { A'_1(0\;;\;-1\;;\;4).}$

Par un calcul analogue, nous obtenons :

$A'_2=S_{\Delta}(A_2)\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x_{A'_2}=\dfrac {1}{ 3}(0-2\times(-1)-2\times2+6)\phantom{x}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{A'_2}=\dfrac {1}{ 3}(-2\times0-(-1)+2\times2-6)}\\\overset{ { \white{ . } } } { z_{A'_2}=\dfrac {1}{ 3}(-2\times0+2\times(-1)-2+12)}\end{matrix}\right. \\\\ \phantom{A'_2=S_{\Delta}(A_2)}\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x_{A'_2}=\dfrac 43\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{A'_2}=-\dfrac 1 3}\\\overset{ { \white{ . } } } { z_{A'_2}=\dfrac{8}{3}}\end{matrix}\right.$
D'où les coordonnées de $\overset{ { \white{ . } } } { A'_2}$ sont $\overset{ { \white{ . } } } { A'_2\left(\dfrac 4 3\;;\;-\dfrac 1 3 \;;\;\dfrac 8 3\right).}$

$A'_3=S_{\Delta}(A_3)\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x_{A'_3}=\dfrac {1}{ 3}(0-2\times(-2)-2\times0+6)\phantom{x}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{A'_3}=\dfrac {1}{ 3}(-2\times0-(-2)+2\times0-6)}\\\overset{ { \white{ . } } } { z_{A'_3}=\dfrac {1}{ 3}(-2\times0+2\times(-2)-0+12)}\end{matrix}\right. \\\\ \phantom{A'_2=S_{\Delta}(A_3)}\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x_{A'_3}=\dfrac {10}{3}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{A'_3}=-\dfrac 4 3}\\\overset{ { \white{ . } } } { z_{A'_3}=\dfrac{8}{3}}\end{matrix}\right.$
D'où les coordonnées de $\overset{ { \white{ . } } } { A'_3}$ sont $\overset{ { \white{ . } } } { A'_3\left(\dfrac {10} {3}\;;\;-\dfrac 4 3 \;;\;\dfrac 8 3\right).}$

12. a) Déterminons l'ensemble $\overset{ { \white{ . } } } { (\gamma )}$ des points $\overset{ { \white{ _. } } } { M}$ du plan d'affixe $\overset{ { \white{ . } } } { z}$ tels que $\overset{ { \white{ . } } } {|z+2\sqrt3-\text i|+|\overline{z}-2\sqrt 3+\text i|=8. }$

Soit un point   $\overset{ { \white{ _. } } } { M}$ d'affixe $\overset{ { \white{ . } } } { z}$ appartenant à l'ensemble $\overset{ { \white{ . } } } { (\gamma ).}$

Nous obtenons alors :

$M\in(\gamma )\quad\Longleftrightarrow\quad |z+2\sqrt3-\text i|+|\overline{z}-2\sqrt 3+\text i|=8 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{M\in(\gamma )}\quad\Longleftrightarrow\quad |z+2\sqrt3-\text i|+\left|\overline{\overline{z}-2\sqrt 3+\text i}\right|=8} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{M\in(\gamma )} \quad\Longleftrightarrow\quad |z+2\sqrt3-\text i|+\left|z-2\sqrt 3-\text i\right|=8 } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{M\in(\gamma )} \quad\Longleftrightarrow\quad |z-(-2\sqrt3+\text i)|+\left|z-(2\sqrt 3+\text i)\right|=8 }$

Soient les points   $\overset{ { \white{ _. } } } { F}$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { F'}$ d'affixes respectives $\overset{ { \white{ . } } } { 2\sqrt 3+\text i}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { -2\sqrt 3+\text i.}$

Dans ce cas, $\overset{ { \white{ . } } } { \left|z-(2\sqrt 3+\text i)\right|=MF}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { \left|z-(-2\sqrt 3+\text i)\right|=MF'}$

Dès lors,    $\overset{ { \white{ . } } } {M\in(\gamma ) \quad\Longleftrightarrow\quad\left|z-(2\sqrt 3+\text i)\right|+ |z-(-2\sqrt3+\text i)|=8}$

soit $\boxed{{M\in(\gamma )} \quad\Longleftrightarrow\quad MF+MF'=8 }$

$\text{Or }\;F'F= \left|(2\sqrt 3+\text i)-(-2\sqrt 3+\text i)\right| \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text{Or }\;F'F}=\left|2\sqrt 3+\text i+2\sqrt 3-\text i\right| } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text{Or }\;F'F}=\left|4\sqrt 3\right| } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text{Or }\;F'F}=4\sqrt 3<8 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{F'F<8}$

Par conséquent, l'ensemble $\overset{ { \white{ . } } } { (\gamma )}$ des points $\overset{ { \white{ _. } } } { M}$ du plan tels que $\overset{ { \white{_. } } } {MF+MF'=8 }$ est l'ellipse dont la mesure du grand axe est égale à 8 et dont les foyers sont les points $\overset{ { \white{ _. } } } { F}$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { F'}$ d'affixes respectives $\overset{ { \white{ . } } } { 2\sqrt 3+\text i}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { -2\sqrt 3+\text i.}$

Calculons l'excentricité $\overset{ { \white{ . } } } {\text e }$ de l'ellipse $\overset{ { \white{ . } } } { (\gamma ).}$

Notons    ${ F'F=2\text c}$ et notons $\overset{ { \white{ _. } } } { 2\text a}$ la longueur du grand axe de l'ellipse.

${ \white{ xxi } }$ $\text e=\dfrac{\text c}{\text a}=\dfrac{2\text c}{2\text a}=\dfrac{F'F}{8}=\dfrac{4\sqrt 3}{8}=\dfrac{\sqrt 3}{2} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\text e=\dfrac{\sqrt 3}{2}}$

12. b) Le plan étant rapporté à un repère orthonormé direct $(O\;;\vec i,\vec j,\vec k)$ , l'arc est modélisé par l'ensemble des points $\overset{ { \white{ _. } } } { M}$ du plan d'affixe $\overset{ { \white{ . } } } { z}$ tels que $\overset{ { \white{ . } } } {|z+2\sqrt3-\text i|+|\overline{z}-2\sqrt 3+\text i|=8 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {1\le \text{Im}(z)\le 3. }$

Nous devons représenter la portion de $\overset{ { \white{ . } } } { (\gamma )}$ qui correspond à l'arc.

Les foyers sont les points $\overset{ { \white{ _. } } } { F}$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { F'}$ d'affixes respectives $\overset{ { \white{ . } } } { 2\sqrt 3+\text i}$ et $\overset{ { \white{ . } } } { -2\sqrt 3+\text i.}$
Donc, dans le repère $(O\;;\vec i,\vec j,\vec k)$ , les foyers sont les points $F\,(2\sqrt 3\;;\;1)$ et $F'\,(-2\sqrt 3\;;\;1)\,.$

Le milieu du segment $\overset{ { \white{ . } } } {[F'F]}$ est le centre $\overset{ { \white{ _. } } } {\Gamma}$ de l'ellipse $\overset{ { \white{ . } } } { (\gamma ).}$
Nous obtenons donc : $\Gamma\;\left(\dfrac{x_F+x_{F'}}{2}\;;\;\dfrac{y_F+y_{F'}}{2}\right)=\left(\dfrac{2\sqrt 3-2\sqrt 3}{2}\;;\;\dfrac{1+1}{2}\right)\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\Gamma\,(0\;;\;1)}$

Notons $\overset{ { \white{ _. } } } { \text b}$ la demi-longueur du petit axe de l'ellipse.
Dans ce cas,    $\overset{ { \white{ . } } } {b^2=a^2-c^2=4^2-(2\sqrt 3)^2=16-12=4\quad\Longrightarrow\quad \boxed{b=2}}$

Nous obtenons ainsi la représentation de la portion de $\overset{ { \white{ . } } } { (\gamma )}$ qui correspond à l'arc.

II)  Selon des statistiques, la probabilité qu'un tireur atteigne la cible lors d'un tir est $\frac 1 3.$
S'il rate un tir, il tire à nouveau dans les mêmes conditions.
Il s'arrête dès qu'il atteint la cible.

13. Nous devons calculer la probabilité    $\overset{ { \white{ . } } } {p_2 }$ pour qu'il n'atteigne la cible qu'au deuxième tir.

L'expérience aléatoire du tir n'admet que deux issues :
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ le succès $S$ de probabilité $\frac 1 3$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ l'échec $\overline S$ de probabilité $1-\frac 1 3=\frac 2 3.$
Nous sommes en présence d'une épreuve de Bernoulli.

La probabilité pour que le tireur n'atteigne la cible qu'au deuxième tir est : $p_2=\dfrac 2 3 \times \dfrac 1 3.$
Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{p_2=\dfrac 2 9}\,.}$

14. Soit $\overset{ { \white{ . } } } { n}$ un nombre entier naturel supérieur ou égal à 2.

14. a) Nous devons calculer la probabilité    $\overset{ { \white{ . } } } {p_n }$ pour que le tireur n'atteigne la cible qu'au n -ième tir.

Dans cette situation, le tireur a raté les $\overset{ { \white{ . } } } {n-1 }$ premiers tirs et a réussi le n -ième tir.

D'où $p_n=\left(\dfrac 2 3\right)^{n-1}\times\dfrac 1 3$ , soit $\boxed{p_n=\dfrac 1 3 \left(\dfrac 2 3\right)^{n-1}}$

14. b) Nous devons déterminer le nombre maximal de tirs à effectuer pour que $\overset{ { \white{ . } } } {p_n }$ soit supérieur à 0,05.

Nous devons donc déterminer le plus grand entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n}$ vérifiant l'inégalité $\overset{ { \white{ . } } } { p_n>0,05.}$

$p_n>0,05\quad\Longleftrightarrow\quad\dfrac 1 3\cdot\left(\dfrac 2 3\right)^{n-1}>0,05 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{p_n>0,05}\quad\Longleftrightarrow\quad\left(\dfrac 2 3\right)^{n-1}>3\times0,05} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{p_n>0,05}\quad\Longleftrightarrow\quad\left(\dfrac 2 3\right)^{n-1}>0,15} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{p_n>0,05}\quad\Longleftrightarrow\quad\ln\left(\left(\dfrac 2 3\right)^{n-1}\right)>\ln(0,15)}$

$\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{p_n>0,05}\quad\Longleftrightarrow\quad(n-1)\ln\left(\dfrac 2 3\right)>\ln(0,15)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{p_n>0,05}\quad\Longleftrightarrow\quad n-1<\dfrac{\ln(0,15)}{\ln\left(\dfrac 2 3\right)}}\quad(\text{changement de sens de l'inégalité car }\ln\left(\dfrac 2 3\right)<1) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{p_n>0,05}\quad\Longleftrightarrow\quad n<1+\dfrac{\ln(0,15)}{\ln\left(\dfrac 2 3\right)}} \\\\\text{Or }\;1+\dfrac{\ln(0,15)}{\ln\left(\dfrac 2 3\right)}\approx5,68.$

Dès lors, le plus grand entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n}$ vérifiant l'inégalité est 5.

Par conséquent, le nombre maximal de tirs à effectuer pour que $\overset{ { \white{ . } } } {p_n }$ soit supérieur à 0,05 est 5 tirs.

Publié par malou/Panter le 17-12-2023

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