Fiche de mathématiques

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Épreuve anticipée de mathématiques - Sujet 0

Spécialité Maths - 2e sujet

PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES - QCM (6 pts)

QUESTION 1 - Réponse A.

On considère l'arbre de probabilité complété ci-dessous.

${ \white{ xxxxi } }$

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Nous devons déterminer la probabilité de l'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { B. }$

Les événements $\overset{{\white{_.}}}{A}$ et $\overset{{\white{}}}{\overline A}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $p(B)= p(A\cap B)+ p(\overline A\cap B) \\\overset{ { \white{ _. } } } {\phantom{ p(B)}= p(A)\times p_A(B)+ p(\overline A)\times p_{\overline A}(B)} \\\overset{ { \white{ _. } } } {\phantom{ p(B)}=0,4\times 0,3+0,6\times 0,1} \\\overset{ { \phantom{ _. } } } {\phantom{ p(B)}=0,18} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{ p(B)=0,18}$

Par conséquent, la probabilité de l'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ est égale à 0,18.

QUESTION 2 - Réponse A.

Une tablette coûte 200 euros. Son prix diminue de 30%.
Déterminons le prix après cette diminution.

Le coefficient multiplicateur correspondant à une diminution de 30% est $\overset{ { \white{ _. } } } { 1-0,3=0,7. }$
Donc le prix de la tablette après la réduction de 30% est $\overset{ { \white{ . } } } { 0,7\times 200 }$ euros, soit 140 euros.

QUESTION 3 - Réponse B.

Une réduction de 50% est suivie d'une augmentation de 50%.

Le coefficient multiplicateur correspondant à une réduction de 50% est $\overset{ { \white{ _. } } } { 1-0,5=0,5. }$
Le coefficient multiplicateur correspondant à une augmentation de 50% est $\overset{ { \white{ _. } } } { 1+0,5=1,5. }$
D'où le coefficient multiplicateur global est $\overset{ { \white{ _. } } } {1,5\times 0,5=0,75. }$
Ce coefficient multiplicateur est égal à $\overset{ { \white{ _. } } } { 1-0,25, }$ ce qui correspond à une réduction de 25%.

QUESTION 4 - Réponse B.

Dans un lycée, le quart des élèves sont internes, parmi eux, la moitié sont des filles.

La proportion des filles internes par rapport à l'ensemble des élèves du lycée est égale à la moitié du quart.

Or $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac12\times\dfrac 14=\dfrac 18=0,125. }$

Donc la proportion des filles internes par rapport à l'ensemble des élèves est de 12,5%.

QUESTION 5 - Réponse D.

On considère le nombre $\overset{ { \white{ _. } } } { N=\dfrac{10^7}{5^2}. }$

${ \white{ xxi } }$ $N=\dfrac{10^7}{5^2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ N }=\dfrac{10^2\times10^5}{5^2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ N }=\dfrac{100\times10^5}{25} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ N }=\dfrac{100}{25}\times 10^5 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ N }=4\times 10^5 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{N=4\times 10^5}$

QUESTION 6 - Réponse B.

Un appareil a besoin d'une énergie de $\overset{ { \white{ _. } } } { 7,5\times 10^6 }$ Joules (J) pour se mettre en route.
Nous devons déterminer à combien de kiloWatts-heure (kWh) cela correspond sachant que $\overset{ { \white{ _. } } } {1\text{ kWh}=3,6\times 10^6\text{ J.} }$

Dressons un tableau de proportionnalité.

${ \white{ WWWWW } }$ $\begin{array}{|c|c|c|}\hline&&& \text{kWh}&1&x&&&\\\hline &&&\text{J}&3,6\times 10^6&7,5\times 10^6\\&&\\ \hline \end{array}$

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $1\times7,5\times 10^6=3,6\times 10^6\times x\quad\Longleftrightarrow\quad 7,5=3,6 x \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 1\times7,5\times 10^6=3,6\times 10^6\times x}\quad\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{7,5}{3,6}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 1\times7,5\times 10^6=3,6\times 10^6\times x}\quad\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{75}{36}=\dfrac{25}{12}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 1\times7,5\times 10^6=3,6\times 10^6\times x}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x\approx 2,08}}$

QUESTION 7 - Réponse C.

Le plan est muni d'une repère orthogonal.
On note $\overset{ { \white{ _. } } } { d }$ la droite passant par les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A\,(0;-1) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B\,(2;5). }$
Déterminons le coefficient directeur $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { d. }$

${ \white{ xxi } }$ $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ a }=\dfrac{5-(-1)}{2-0} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ a }=\dfrac{5+1}{2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ a }=3} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{a=3}$

QUESTION 8 - Réponse C.

On a représenté ci-dessous une droite $\overset{ { \white{ _. } } } { D. }$

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Déterminons l'équation susceptible de représenter la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { D. }$

La droite $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ passe par le point de cordonnées $\overset{ { \white{ _. } } } { (0;0). }$
Les équations $\overset{ { \white{ . } } } { 2x+y+1=0 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { y=2x-1 }$ ne sont pas vérifiées pour $\overset{ { \white{ _. } } } { (x;y)=(0;0). }$
Nous écartons donc les réponses B et D.

La fonction représentant la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ est décroissante.
Le coefficient directeur de $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ est donc négatif, ce qui n'est pas le cas pour la réponse A. puisque l'équation peut s'écrire $\overset{ { \white{ _. } } } { y=2x }$ et le coefficient directeur est le nombre positif 2.

Par conséquent, la réponse correcte est la réponse C.

QUESTION 9 - Réponse C.

On note $\overset{ { \white{ _. } } } { S }$ l'ensemble des solutions de l'équation $\overset{ { \white{ } } } { x^2=10 }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R. }$

Nous avons : $\overset{ { \white{ _. } } } { x^2=10\quad\Longleftrightarrow\quad x=-\sqrt{10}\quad\text{ou}\quad x=\sqrt{10} }$
Dès lors, $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{ S=\lbrace-\sqrt{10}\;;\;\sqrt{10}\rbrace} }$

QUESTION 10 - Réponse A.

Déterminons le tableau de signes de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=(3x-15)(x+2) }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{matrix}3x-15=0\quad\Longleftrightarrow\quad3x=15\\\overset{ { \white{ _. } } } {\phantom{3x-15=}\quad\Longleftrightarrow\quad x=5 }\\3x-15<0\quad\Longleftrightarrow\quad x<5\\3x-15>0\quad\Longleftrightarrow\quad x>5\\\\x+2=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=-2\\x+2<0\quad\Longleftrightarrow\quad x<-2\\x+2>0\quad\Longleftrightarrow\quad x>-2\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix}\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&& x&-\infty&&-2&&5&&+\infty\\&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&3x-15&&-&-&-&0&+&\\x+2&&-&0&+&+&+&\\&&&&&&&\\\hline &&&&&&&\\ (3x-15)(x+2)&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\ \hline \end{array}$

soit le tableau non détaillé :

${ \white{ WWWWWW } }$ $\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&& x&-\infty&&-2&&5&&+\infty\\&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\f(x)&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\ \hline \end{array}$

QUESTION 11 - Réponse C.

Déterminons l'expression développée de $\overset{ { \white{ _. } } } { (2x+0,5)^2. }$

${ \white{ xxi } }$ $(2x+0,5)^2=(2x)^2+2\times 2x\times 0,5+(0,5)^2 \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{ (2x+0,5)^2=4x^2+2x+0,25}$

QUESTION 12 - Réponse C.

Lorsqu'un point mobile suit une trajectoire circulaire de rayon $\overset{ { \white{ _. } } } { R }$ , en mètre (m), son accélération centripète $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ (en m/s²) s'exprime en fonction de sa vitesse $\overset{ { \white{ . } } } { v }$ (en m/s) de la manière suivante : $\overset{ { \white{ } } } { a=\dfrac{v^2}{R}. }$

Déterminons l'expression permettant d'exprimer la vitesse $\overset{ { \white{ _. } } } { v. }$

${ \white{ xxi } }$ $a=\dfrac{v^2}{R}\quad\Longleftrightarrow\quad v^2=ar \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ a=\dfrac{v^2}{R}}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{v=\sqrt{ar} }\quad (v\geq 0)}$

*****************************************************************************************

DEUXIÈME PARTIE (14 pts)

X points

exercice 1

En 2020, une ville comptait 10 000 habitants.
On modélise l'évolution du nombre d'habitants de cette ville par la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ définie ainsi :

$\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases}u_{n+1}=1,08u_n-300\,,\quad n\in\N\\u_0=10\,000 \end{cases} }$

où $\overset{ { \white{ m. } } } { u_n }$ représente le nombre d'habitants pour l'année $\overset{ { \white{ _. } } } { 2020+n. }$

1. $\overset{ { \white{ m. } } } { u_1 }$ représente le nombre d'habitants que compte la ville en 2021.

${ \white{ xxi } }$ $u_{1}=1,08\times u_0-300 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_1 }=1,08\times 10\,000-300} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_1 }=10\,800-300} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_1 }=10\,500} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{u_1=10\,500}$

2. On considère la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (v_n) }$ définie pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { v_n=u_n-3\,750. }$

2. a) Déterminons $\overset{ { \white{ . } } } { v_0. }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}v_0=u_0-3\,750\\u_0=10\,000 \end{cases}\quad \Longrightarrow\quad v_0=10\,000-3\,750 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases}v_0=u_0-3\,750\\u_0=10\,000 \end{cases}}\quad \Longrightarrow\quad \boxed{v_0=6\,250 }}$

2. b) Nous devons démontrer que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { n,\quad v_{n+1}=1,08\,v_n. }$

Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n, }$

${ \white{ xxi } }$ $v_{n+1}=u_{n+1}-3\,750 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_{n+1}}=1,08\,u_n-300-3\,750 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_{n+1}}=1,08\,u_n-4\,050 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_{n+1}}=1,08\,u_n-18\times3\,750 }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_{n+1}}=1,08\,(u_n-3\,750 ) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ v_{n+1}}=1,08\,v_n } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\forall\,n\in\N,\quad v_{n+1}=1,08\,v_n}$

2. c) Nous en déduisons que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (v_n) }$ est géométrique de raison $\overset{ { \white{ _. } } } { q=1,08 }$ et de premier terme $\overset{ { \white{ _. } } } { v_0=6\,250. }$

2. d) Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ m. } } } { n }$ , exprimons $\overset{ { \white{ m. } } } { v_n }$ en fonction de $\overset{ { \white{ . } } } { n. }$

Le terme général de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (v_n) }$ est $\overset{{\white{.}}}{v_n=v_0\times q^n.}$
Donc, pour tout $\overset{{\white{.}}}{n\in\N,\quad \boxed{v_n=6\,250\times 1,08^n}}$

2. e) Nous devons en déduire que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ m. } } } { n, }$ on a : $\overset{ { \white{ m. } } } { u_n=6\,250\times 1,08^n + 3750. }$

En effet, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} v_n=u_n-3\,750\\v_n= 6\,250\times 1,08^n \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad u_n-3\,750= 6\,250\times 1,08^n \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} v_n=u_n-3\,750\\v_n= 6\,250\times 1,08^n \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{ u_n= 6\,250\times 1,08^n+3\,750 }}$

3. La municipalité envisage d'ouvrir une nouvelle école maternelle dès que la population atteindra 19 000 habitants.
Selon le tableau, la population dépasse 19 000 habitants pour la première fois lorsque $\overset{ { \white{ _. } } } { n=12. }$
L'année correspondant au rang $\overset{ { \white{ _. } } } { n=12 }$ se détermine par : 2020 + 12 = 2032.
Or la construction d'un tel établissement nécessite deux ans.
Par conséquent, la construction de l'école doit commencer en 2030.

X points

exercice 2

Le plan est muni d'un repère orthogonal.

Partie A

On considère la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ définie sur l'intervalle [-5 ; 3] par : $\overset{ { \white{ _. } } } { P(x)=2x^2+x-10. }$

1. a) Nous devons déterminer les racines de $\overset{ { \white{ _. } } } { P. }$

${ \white{ xxi } }$ $\underline{\text{Discriminant de } 2x^2+x-10}:\quad\Delta=1^2-4\times2\times(-10) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Discriminant de } 2x^2+x-10:\Delta\quad}=1+80} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Discriminant de } 2x^2+x-10:\Delta\quad}=81>0}$

${ \white{ xxi } }$ $\underline{\text{Racines de } P}:\quad x_1=\dfrac{-1-\sqrt {81}}{2\times 2}=\dfrac{-1-9}{4}=-\dfrac{10}{4}=-2,5\in[-5\;;\;3] \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Racines de } P:\quad} x_2=\dfrac{-1+\sqrt {81}}{2\times 2}=\dfrac{-1+9}{4}=\dfrac{8}{4}=2\in[-5\;;\;3]}$

D'où les racines de $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ sont -2,5 et 2.

1. b) Nous devons en déduire l'axe de symétrie de la parabole d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { y=P(x). }$

L'axe de symétrie de la parabole passe par le point de coordonnées $\overset{ { \white{ _. } } } { (\alpha\;;\;0) }$ où $\overset{ { \white{ _. } } } { \alpha=\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{-2,5+2}{2}=-0,25. }$

Par conséquent, l'axe de symétrie de la parabole d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { y=P(x) }$ est la droite d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{x=-0,25} }$

2. Nous devons établir le tableau de signe de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ sur l'intervalle [-5 ; 3].

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ admet deux racines : -2,5 et 2.
Le coefficient principal de $\overset{ { \white{ _. } } } { 2x^2+x-10 }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { 2>0. }$
Nous obtenons ainsi le tableau de signe de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ sur l'intervalle [-5 ; 3].

${ \white{ WWWWWWW } }$ $\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&& x&-5&&-2,5&&2&&3\\&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&P(x)&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\ \hline \end{array}$

Partie B

On considère la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définie et dérivable sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [-5\;;\;3] }$ dont on donne ci-dessous la courbe représentative $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f. }$

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La tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ à la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ au point $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ d'abscisse 2 est horizontale.

1. Nous devons donner la valeur du nombre dérivé $\overset{ { \white{ _. } } } {f'(2). }$
$\overset{ { \white{ _. } } } { f'(2) }$ représente le coefficient directeur de la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ à la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { C_f }$ au point $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ d'abscisse 2.
Nous savons que la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ est horizontale et par suite que son coefficient directeur est nul.

Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{f'(2)=0}\,. }$

2. Nous devons résoudre l'inéquation $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x)<0 . }$

Avec la précision permise par le graphique, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ semble être strictement décroissante sur l'intervalle ]-2,5 ; 2[.

Dès lors, l'ensemble des solutions de l'inéquation $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x)<0 }$ est l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]-2,5\;;\;2[ . }$

3. On sait que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ a pour expression sur l'intervalle [-5 ; 3] : $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=(4x^2-14x+8)\text e^{0,5x} . }$

Nous devons démontrer que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartenant à l'intervalle [-5 ; 3], on a : $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x)=P(x)\text e^{0,5x} . }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartenant à l'intervalle [-5 ; 3],

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\Big[(4x^2-14x+8)\text e^{0,5x}\Big]' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }=(4x^2-14x+8)'\times\text e^{0,5x}+(4x^2-14x+8)\times(\text e^{0,5x})' } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }=(8x-14)\times\text e^{0,5x}+(4x^2-14x+8)\times0,5\,\text e^{0,5x} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }=\Big[(8x-14)+0,5\,(4x^2-14x+8)\Big]\,\text e^{0,5x} }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }=(8x-14+2x^2-7x+4)\,\text e^{0,5x} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }=(2x^2+x-10)\,\text e^{0,5x} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }=P(x)\,\text e^{0,5x} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in[-5\;;3]\,,\quad\;f'(x)=P(x)\,\text e^{0,5x} }$

4. Nous devons dresser le tableau de variation de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur l'intervalle [-5 ; 3].

Puisque l'exponentielle est strictement positive sur $\overset{ { \white{ . } } } { \R, }$ le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { P(x) }$ étudié dans la partie A.

Nous obtenons ainsi le tableau de signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ sur l'intervalle [-5 ; 3].

${ \white{ WWWWWWW } }$ $\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&& x&-5&&-2,5&&2&&3\\&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&P(x)&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\\hline &&&&&&&&f'(x)&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\ \hline \end{array}$

Nous en déduisons le tableau de variation de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur l'intervalle [-5 ; 3] (Il n'est pas demandé de calculer les images ).

${ \white{ WWWWWWW } }$ $\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&& x&-5&&-2,5&&2&&3\\&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&f'(x)&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\\hline &&&&&&&&f&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&\\&&&&&&&\\ \hline \end{array}$

_{Merci à Hiphigenie et malou pour cette contribution}

Publié par malou le 09-08-2025

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