Fiche de mathématiques

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Épreuve anticipée de mathématiques - Sujet 0

Voie technologique - 1e sujet

PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES - QCM (6 pts)

Question 1
Jean consacre 25% de sa journée de dimanche à faire ses devoirs.
80% du temps consacré à ses devoirs est consacré à faire un exposé.
Le pourcentage du temps consacré à l'exposé par rapport à la journée de dimanche est égal à $\overset{ { \white{ _. } } }{{\red{\dfrac 14\times 80\%. }} }$

En effet, le temps consacré à l'exposé représente 80% de 25% de la journée de dimanche.

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or 80\% de 25\%}=\dfrac{80}{100}\times\dfrac{25}{100} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or 80\% de 25\%}}=\dfrac{80}{100}\times\dfrac{1}{4} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or 80\% de 25\%}}=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{80}{100}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or 80\% de 25\%}}=\boxed{\dfrac{1}{4}\times 80\%}}$
La réponse correcte est donc la réponse B.

Question 2
Un prix diminue de 50%. Pour retrouver le prix initial, il faut une augmentation de 100%.

Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ le prix initial.
Le coefficient multiplicateur correspondant à une diminution de 50% est 1 - 0,5 = 0,5.
D'où le prix après la diminution de 50% est $\overset{ { \white{ _. } } } { 0,5\,P. }$

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ le pourcentage d'augmentation permettant de retrouver le prix initial.
Le coefficient multiplicateur correspondant à cette augmentation est $\overset{ { \white{ _. } } } { 1+\dfrac{x}{100} }$

Nous obtenons donc la relation : $\overset{ { \white{ _. } } } { \left(1+\dfrac{x}{100}\right)\times 0,5\,P=P. }$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\quad\left(1+\dfrac{x}{100}\right)\times 0,5\,P=P\quad\Longleftrightarrow\quad \left(1+\dfrac{x}{100}\right)\times 0,5=1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\left(1+\dfrac{x}{100}\right)\times 0,5\,P=P}\quad\Longleftrightarrow\quad \left(1+\dfrac{x}{100}\right)\times \dfrac 12=1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\left(1+\dfrac{x}{100}\right)\times 0,5\,P=P}\quad\Longleftrightarrow\quad 1+\dfrac{x}{100}=2 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\left(1+\dfrac{x}{100}\right)\times 0,5\,P=P}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{x}{100}=1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\left(1+\dfrac{x}{100}\right)\times 0,5\,P=P}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=100} }$

Donc pour retrouver le prix initial, il faut une augmentation de 100%.
La réponse correcte est donc la réponse B.

Question 3
Le prix d'une tablette a baissé : il est passé de 250 euros à 200 euros.
Cela signifie que ce prix a été multiplié par 0,8.

Cela revient à calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{200}{250} }$

$\text{Or }\quad\dfrac{200}{250}=\dfrac{4\times200}{4\times250} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\dfrac{200}{250} } =\dfrac{800}{1000} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad\dfrac{200}{250} } =\boxed{0,8} }$
La réponse correcte est donc la réponse C.

Question 4
La seule égalité vraie est $\overset{ { \white{ _. } } }{{\red{ \dfrac{10^{-5}}{10^{8}}=10^{-13} }} }$

En effet, $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{10^{-5}}{10^{8}}=10^{-5-8}={\red{10^{-13}}} \,. }$
La réponse correcte est donc la réponse C.

Montrons que les autres égalités sont fausses.

${ \white{ xxi } }$ $\text{A.}\quad 40\times\dfrac{1}{40^3}=40^{1-3}={\red{40^{-2}\neq 40^2}} \\\\\text{B.}\quad(2^{-4})^3=2^{-4\times3}={\red{2^{-12}\neq 2^{-1}}} \\\\\text{D.}\quad5^{-6}\times11^{-6}=(5\times11)^{-6}={\red{55^{-6}\neq 55^{-12}}}$

Question 5
L'épaisseur d'une feuille de papier est égale à $\overset{ { \white{ } } } { 70\times10^{-3} }$ mm.
L'épaisseur d'une pile de 2000 feuilles est égale à 14 cm.

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $2000\times 70\times10^{-3}\text{ mm}=\dfrac{2\times 10^3\times70}{10^3}\text{ mm} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 2000\times 70\times10^{-3}\text{ mm}}=2\times70\text{ mm}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 2000\times 70\times10^{-3}\text{ mm}}=140\text{ mm}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 2000\times 70\times10^{-3}\text{ mm}}=\boxed{14\text{ cm}}}$

Question 6
Voici quatre planètes et leur masse.

${\white{WWWWWWWW}}$ $\begin{array}{|c|c|}\hline\overset{ { \white{ _. } } } { \text{Terre}}&5\,973\times10^{21}\text{kg}\\\hline\overset{ { \white{ _. } } } { \text{Mercure}}&33,02\times10^{22}\text{kg}\\\hline\overset{ { \white{ _. } } } { \text{Vénus}}&48\,685\times10^{20}\text{kg}\\\hline\overset{ { \phantom{ _. } } } { \text{Mars}}&6,4185\times10^{23}\text{kg}\\\hline\end{array}$

La planète dont la masse est la plus importante est la Terre.

En effet, voici les quatre planètes et leur masse :

${ \white{ xxi } }$ $\text{Terre}:5\,973\times10^{21}\text{kg}=5,973\times10^3\times10^{21}\text{kg}=5,973\times10^{24}\text{kg}\\\overset{ { \phantom{ _. } } } { \text{Mercure}: 33,02\times10^{22}\text{kg}=3,302\times10^1\times10^{22}\text{kg}=3,302\times10^{23}\text{kg}} \\\overset{ { \phantom{ _. } } } { \text{Vénus}: 48\,685\times10^{20}\text{kg}=4,8685\times10^4\times10^{20}\text{kg}=4,8685\times10^{24}\text{kg}} \\\overset{ { \phantom{ _. } } } { \text{Mars}: 6,4185\times10^{23}\text{kg}}$

Nous observons que : $\overset{ { \white{ _. } } } { 3,302\times10^{23}<6,4185\times10^{23}<4,8685\times10^{24}<5,973\times10^{24} }$

Par conséquent, la planète dont la masse est la plus importante est la Terre.

La réponse correcte est donc la réponse A.

Question 7
On additionne un nombre réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ , avec son triple et son carré.
Le résultat est égal à : $\overset{ { \white{ _. } } }{{\red{ 4x+x^2 }} }$

En effet, la séquence revient au calcul de $\overset{ { \white{ } } } { x+3x+x^2 }$ , soit $\overset{ { \white{ } } } { \boxed{4x+x^2}\,. }$
La réponse correcte est donc la réponse D.

Question 8
Dans la figure ci-dessous, les courbes $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr C }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr C' }$ représentent respectivement les fonctions $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { g. }$

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L'ensemble des solutions de l'inéquation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)\leq g(x) }$ est $\overset{ { \white{ _. } } }{{\red{ [-2\;;\;-1]\,\cup\,[1\;;\;2]. }} }$

La courbe $\overset{ { \white{ _. } } } {{\red{ \mathscr C }} }$ est en-dessous de la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { {\blue\mathscr C'}} }$ sur l'ensemble $\overset{ { \white{ _. } } }{ [-2\;;\;-1]\,\cup\,[1\;;\;2]. }$
La réponse correcte est donc la réponse C.

Question 9
On donne ci-dessous la courbe représentative $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr C }$ d'une fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définie sur l'intervalle [-3 ; 2].

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On s'intéresse à l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=0. }$

Les solutions (si elles existent) de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=0 }$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr C }$ avec l'axe des abscisses.
Par une lecture graphique, nous observons que la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr C }$ coupe l'axe des abscisses en deux points dont les abscisses sont négatives.
La réponse correcte est donc la réponse C.

Question 10
On considère une fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ dont le tableau de signes est donné ci-dessous.

${ \white{ WWWWW } }$ $\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&& x&-\infty&&&2&&&+\infty\\&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&f(x)&&+&&0&&-&\\&&&&&&&\\ \hline \end{array}$

La seule expression possible proposée pour la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est $\overset{ { \white{ _. } } }{{\red{ f(x)= -3x+6. }} }$

En effet, les quatre expressions proposées définissent quatre fonctions affines.
En observant le tableau de signes, nous déduisons que $\overset{ { \white{ _. } } }{f(2)=0. }$
Seules les expressions A et C vérifient cette relation.

En outre, le tableau de signes de $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x) }$ montre que pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x>2, \quad f(x) < 0. }$

Choisissons une valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ supérieure à 2.
Par exemple, $\overset{ { \white{ _. } } } { x = 3. }$
D'après le tableau, nous devons obtenir : $\overset{ { \white{ _. } } } { f(3)<0. }$

Selon l'expression A, nous obtenons : $\overset{ { \white{ _. } } } { f(3)=-9+6=-3<0 }$ et selon l'expression C , nous obtenons : $\overset{ { \white{ _. } } } { f(3)=3-2=1>0 }$
Par conséquent, la seule expression proposée pour la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est l'expression A : $\overset{ { \white{ _. } } }{{\red{ f(x)= -3x+6. }} }$
La réponse correcte est donc la réponse A.

Question 11
On considère la relation $\overset{ { \white{ _. } } } { C=(1+t)^2. }$
On cherche à isoler $\overset{ { \white{ _. } } } { t. }$
On a : $\overset{ { \white{ _. } } }{{\red{t=\sqrt C -1. }} }$

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $C=(1+t)^2\quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt C=1+t\quad \text{avec }1+t\geq 0, \text{soit }t\geq -1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ C=(1+t)^2}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{t=\sqrt C-1}}$

La réponse correcte est donc la réponse B.

Question 12
Le diagramme en barres ci-dessous donne la production d'électricité, en Twh (térawatt-heure) selon son origine (source : INSEE).

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L'année où la production d'électricité d'origine hydraulique était la plus importante est : 2016.
La réponse correcte est donc la réponse D.

DEUXIÈME PARTIE (14 pts)

X points

exercice 1

Une biologiste désire étudier l'évolution de la population de singes sur une île.
En 2025, elle estime qu'il y a 1000 singes sur l'île.

A : Premier modèle

Chaque année, la population de singes baisse de 10%.

1. Montrons qu'en 2026, il y aura 900 singes sur l'île.

Le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de 10% est $\overset{ { \white{ _. } } } { 1-\dfrac{10}{100}=1-0,1=0,9. }$
Le nombre de singes sir l'île en 2026 est donc égal à $\overset{ { \white{ _. } } } { 0,9\times1\,000=900 . }$
Par conséquent, en 2026, il y aura 900 singes sur l'île.

2. Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ o. } } } { n, }$ on note $\overset{ { \white{ +. } } } { u_n }$ le nombre de singes sur l'île pour l'année $\overset{ { \white{ _. } } } { 2025+n. }$
On a donc $\overset{ { \white{ _. } } } { u_0=1\,000. }$

2. a) $\overset{ { \white{ . } } } { u_2 }$ représente le nombre de singes en 2027.

Calculons $\overset{ { \white{ +. } } } { u_2. }$

Nous savons par la question 1. que $\overset{ { \white{ _. } } } { u_1=900. }$
D'où $\overset{ { \white{ _. } } } { u_2=0,9\times u_1=0,9\times 900\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_2=810} }$

2. b) D'après ce premier modèle, nous obtenons : $\overset{ { \white{ _. } } } { u_{n+1}=0,9\times u_n }$ pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { n. }$

Nous en déduisons que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ est une suite géométrique de raison $\overset{ { \white{ _. } } } { q=0,9 }$ et de premier terme $\overset{ { \white{ _. } } } { u_0=1\,000. }$

2. c) Nous devons donner les variations de cette suite.

Nous savons qu'une suite géométrique de raison $\overset{ { \white{ _. } } } { q>0 }$ et de premier terme $\overset{ { \white{ _. } } } { u_0>0 }$ est strictement décroissante si et seulement si $\overset{ { \white{ _. } } } { q<1. }$

Or $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} q=0,9\\u_0=1\,000 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\begin{cases} 0<q<1\\u_0>0 \end{cases}} }$

Par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ est strictement décroissante.

3. Montrons que selon ce modèle, la population de singes est menacée d'extinction.

Le terme général de la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } {u_n=u_0\times q^n. }$
Nous obtenons ainsi pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ O. } } } { n, }$ ${ \white{ xi } }$ $\boxed{u_n=1\,000\times 0,9^n}\,.$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\;0<0,9<1\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to +\infty} 0,9^n=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\;0<0,9<1}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to +\infty} 1\,000\times 0,9^n=0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\;0<0,9<1}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0}}$

Par conséquent, selon ce modèle, la population de singes est effectivement menacée d'extinction.

B : Second modèle

On admet que l'évolution du nombre de singes est modélisée par la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (v_n) }$ ainsi définie :

$\begin{cases} v_{n+1}=0,9v_n+150\,;\quad n\in\N\\v_0=1\,000 \end{cases}$
où $\overset{ { \white{ . } } } { v_n }$ désigne le nombre de singes sur l'île pour l'année $\overset{ { \white{ _. } } } { 2025+n. }$

1. Avec ce modèle, déterminons la population de singes en 2026.

Le rang de $\overset{ { \white{ . } } } { v_n }$ correspondant à l'année 2026 est $\overset{ { \white{ _. } } } { n=1 }$ car $\overset{ { \white{ _. } } } { 2026=2025+1. }$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\quad v_1=0,9v_0+150 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad v_1}=0,9\times 1\,000+150 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad v_1}=900+150 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad v_1}=1\,050 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{v_1=1\,050}$

Donc avec ce modèle, la population de singes en 2026 sera de 1050 singes.

2. La feuille de calcul ci-dessous donne les valeurs arrondies à l'unité des premiers termes de la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (v_n). }$

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Pour obtenir les termes de la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (v_n) }$ , nous devons saisir dans la cellule B3, la formule suivante destinée à être étirée vers le bas : $\overset{ { \white{ _. } } }{{\red{ =\text{0,9*B2+150} }} }$

3. Nous devons indiquer en quelle année la population de singes dépassera pour la première fois 1400 individus.

La feuille de calcul nous indique que $\overset{ { \white{ +. } } } { v_n }$ est supérieur à 1400 pour la première fois lorsque $\overset{ { \white{ _. } } } { n=16. }$
Cela correspond à l'année $\overset{ { \white{ _. } } } { 2025+16=2041. }$

Donc, en 2041, la population de singes dépassera pour la première fois 1400 individus.

X points

exercice 2

On considère une fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définie et dérivable que l'intervalle [-2 ; 6].
Sa courbe représentative, notée $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr C }$ est donnée ci-dessous.

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$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ On sait que la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr C }$ passe par les points de coordonnées (0 ; 8), (2 ; 0) et (4 ; -8).
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ On note $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ la tangente à la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr C }$ au point d'abscisse $\overset{ { \white{ _. } } } { x=2. }$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ On sait que la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ coupe l'axe des ordonnées en $\overset{ { \white{ _. } } } { y=12. }$

1. a) Nous devons déterminer les valeurs de $\overset{ { \white{ _. } } } { f(2) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(2). }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{f(2)=0} }$ car la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr C }$ passe par le point de coordonnées (2 ; 0).

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(2). }$

$\overset{ { \white{ _. } } } { f'(2) }$ représente le coefficient directeur de la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T. }$
La tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ passe par les points de coordonnées (2 ; 0) et (0 ; 12) notés respectivement $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B. }$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $f'(2)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(2) }=\dfrac{12-0}{0-2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(2) }=-6 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f'(2)=-6}$

1. b) Nous devons donner une équation de la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T.}$

Une équation de la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T}$ est de la forme $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{y=ax+b}\,. }$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Le coefficient directeur de la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(2)=-6 }$ .
Donc $\overset{ { \white{ _. } } } { a=-6. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ La tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ passe par le point de coordonnées (0 ; 12).
Dès lors, l'ordonnée à l'origine de $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ est 12.
Donc $\overset{ { \white{ _. } } } { b=12. }$

Par conséquent, une équation de la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T}$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{y=-6x+12}\,. }$

1. c) Tableau de variation de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ complété à l'aide des questions précédentes et du graphique.

${ \white{ WWWWW } }$ $\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&& x&-2&&0&&4&&6\\&&&&&&& \\\hline &&&{\red{8}}&&&&{\red{8}}&\text{Variations de }f&&{\red{\nearrow}}&&{\red{\searrow}}&&{\red{\nearrow}}&\\&{\red{-8}}&&&&{\red{-8}}&&\\ \hline \end{array}$

2. On admet que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est définie sur l'intervalle [-2 ; 6] par $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=0,5x^3-3x^2+8. }$

2. a) Montrons que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ de l'intervalle [-2 ; 6], nous avons : $\overset{ { \white{ _. } } } {f'(x)=1,5x(x-4). }$

Pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ de l'intervalle [-2 ; 6],

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=(0,5x^3-3x^2+8)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }=0,5\times 3x^2-3\times 2x+0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }=1,5x^2-6x } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }=1,5x^2-1,5\times4x } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f'(x) }=1,5x(x-4) } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in[-2\;;\;6],\quad f'(x)=1,5x(x-4)}$

2. b) Nous devons étudier le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ et retrouver le tableau de variation de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur l'intervalle [-2 ; 6].

Étudions le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ sur l'intervalle [-2 ; 6].

${ \white{ WWxxi } }$ $\begin{matrix}1,5x>0\quad\Longleftrightarrow\quad x>0\\1,5x=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=0\\1,5x<0\quad\Longleftrightarrow\quad x<0\\\\x-4>0\quad\Longleftrightarrow\quad x>4\\x-4=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=4\\x-4<0 \quad\Longleftrightarrow\quad x<4\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\x&-2&&0&&4&&6\\ &&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\1,5x&&-&0&+&+&+&\\x-4&&-&-&-&0&+&\\&&&&&&&\\\hline &&&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\\hline \end{array}$

Nous en déduisons le tableau de variation de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur l'intervalle [-2 ; 6].

${ \white{ WWxxi } }$ $\begin{matrix}f(-2)=0,5\times(-2)^3-3\times(-2)^2+8\\\phantom{f(-2)}=0,5\times(-8)-3\times4+8{\white{xxxx}}\\\phantom{f(-2)}=-4-12+8{\white{WWWWWWx}} \\\phantom{f(-2)}=-8{\white{WWWWWWWWWWx}}\\\\f(0)=8{\phantom{WWWWWWWWWWWx}}\\\\f(4)=-8{\phantom{WWWWWWWWWWW}}\\\\f(6)=0,5\times6^3-3\times6^2+8\phantom{WWWW}\\=0,5\times216-3\times36+8\phantom{Wx}\\ =108-108+8{\phantom{WWWWxx}}\\=-8{\phantom{WWxWWWWWWx}}\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\x&-2&&0&&4&&6\\ &&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\\hline &&&8&&&&8 \\f'(x)&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&\\&-8&&&&-8&&\\\hline \end{array}$

Nous retrouvons ainsi le tableau de variation de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur l'intervalle [-2 ; 6] dressé dans la question 1. c).

3. On admet que pout tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ de l'intervalle [0 ; 2], on a $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)\leq -6x+12. }$
Que pouvons-nous en déduire pour la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr C }$ et la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T }$ sur l'intervalle [0 ; 2] ?

La relation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)\leq -6x+12 }$ vérifiée sur l'intervalle [0 ; 2] signifie que sur cet intervalle [0 ; 2], la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr C }$ est située en dessous de la tangente $\overset{ { \white{ _. } } } { T. }$

_{Merci à Hiphigenie et malou pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche}

Publié par malou le 02-09-2025

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