Fiche de mathématiques

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Mathématiques

Série D

Côte d'Ivoire 2021

Durée : 4 heures

Coefficient : 4 Tout modèle de calculatrice scientifique est autorisé.
Les tables trigonométriques et logarithmiques et les règles à calculs sont autorisées. 2 points

exercice 1

Pour chaque énoncé, écris Vrai si l'énoncé est vrai ou de Faux si l'énoncé est faux.
Aucune justification n'est demandée.

Affirmation n° 1 La fonction ln est strictement décroissante sur ]0 ; + infini

[.

Affirmation n° 2 La fonction ln est la primitive sur ]0 ; + infini

[ de la fonction : $x\to \frac 1 x$ qui s'annule en 1.

Affirmation n° 3 On considère la suite u définie par : $\left\lbrace\begin{matrix} u_0=2 & \\ \forall n \in \textbf N ,& \; u_{n+1}=3u_n& \end{matrix}\right.$
La suite u est arithmétique.

Affirmation n° 4 Soit f une fonction numérique dérivable sur un intervalle K.
a et b sont deux éléments de K tels que a < b .
S'il existe deux nombres réels m et M tels que pour tout x élément de [a ; b ], m infegal

f ' (x )

M , alors : $m(b-a)\le f(b)-f(a)\le M(b-a)$ .

2 points

exercice 2

Pour chacun des énoncés incomplets des cinq propositions ci-dessous, quatre réponses A, B, C et D sont proposées dont une seule permet d'avoir l'énoncé juste.
Écris, sur ta feuille de copie, le numéro de l'énoncé incomplet suivi de la lettre correspondant à la bonne réponse.

Énoncé incomplet n° 1. Soit u la suite numérique définie par : $\left\lbrace\begin{matrix} u_0=-2 & \\ \forall n \in \textbf N ,& \; u_{n+1}=\sqrt{ 2 + u_n}.& \end{matrix}\right.$
La suite u a pour limite ...
${\white{ww}$ A : - infini

${\white{ww}$ B : 2
${\white{ww}$ C : 0
${\white{ww}$ D : + infini

.

Énoncé incomplet n° 2. L'inéquation (E) : x appartient

R, ln(x) - 1 infegal

0 , a pour ensemble de solutions ...

${\white{ww}$ A : ]- infini

; e]
${\white{ww}$ B : ]0 ; e]
${\white{ww}$ C : [e ; + infini

[
${\white{ww}$ D : vide

.

Énoncé incomplet n° 3. On pose : $z=-\sqrt 3 + i .$ On note r le module de z et theta

l'argument principal de z.
r et theta

vérifient ...
${\white{ww}$ A : r = 2 et $\theta = \dfrac {5\pi}{6}$
${\white{ww}$ B : r = 2 et $\theta = \dfrac {-5\pi}{6}$
${\white{ww}$ C : r = 2 et $\theta = \dfrac {2\pi}{3}$
${\white{ww}$ D : r = 1 et $\theta = \dfrac {5\pi}{6} .$

Énoncé incomplet n° 4. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O ; vectu

). Soient I et J les points d'affixes respectives 1 et i. On note ( gammamaj

) l'ensemble des points M du plan d'affixe z vérifiant : $|z-1|=|z-i|.$
( gammamaj

) est ...
${\white{ww}$ A : la droite (IJ) privée du segment [IJ]
${\white{ww}$ B : la droite (IJ)
${\white{ww}$ C : la médiatrice du segment [IJ]
${\white{ww}$ D : le cercle de centre I et de rayon 1.

Énoncé incomplet n° 5. Soit f une fonction numérique dérivable sur un intervalle K telle que : $\forall x \in \text K, \; f'(x) > 0 \,.$
f est une bijection de K vers f (K).
$\forall a \in f(\text K ) \,, (f^{-1})'(a)$ est égal à ...
${\white{ww}$ A : $\dfrac{1}{f'(a)}$
${\white{ww}$ B : $\dfrac{-1}{f^{-1}(a)}$
${\white{ww}$ C : $f'(f^{-1}(a))$
${\white{ww}$ D : $\dfrac{1}{f'(f^{-1}(a))}.$

3 points

exercice 3

Dans une ville, 30% de la population ont un âge supérieur ou égal à 65 ans.
60% des personnes ayant un âge supérieur ou égal à 65 ans sont atteints de la Covid-19.
0,1% des personnes de moins de 65 ans sont atteints de la Covid-19.

1. On prend une personne au hasard et on donne les événements suivants :
S " la personne a un âge supérieur ou égal à 65 ans " ;
C " le personne est atteinte de la Covid-19 " .
${\white{w}$ a. Dresse un arbre pondéré qui représente la situation.
${\white{w}$ b. Donne la probabilité P_S(C) des personnes atteintes de la Covid-19 sachant qu'elles ont plus de 65 ans.
${\white{w}$ c. Calcule la probabilité pour que la personne ait au moins 65 ans et soit atteinte de la Covid-19.
2. Justifie que la probabilité de l'événement C est : 0,1807.
3. On prend au hasard n personnes dans la ville et on note P _n la probabilité d'avoir au moins une personne atteinte de la Covid-19 (n appartient

N*\{1} ).
${\white{w}$ a. Justifie que : quelquesoit

N*\{1}, $P_n=1-(0,8193)^n.$
${\white{w}$ b. Détermine le nombre minimal de personnes pour que la probabilité d'avoir au moins une personne atteinte de la Covid-19 dépasse 99,99 %.

4 points

exercice 4

On considère la fonction numérique f définie sur R par : $f(x)=(x+1)\text e ^{1-x} -x+1.$
On note (C ) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J).
L'unité graphique est le centimètre.

1. On admet que $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to -\infty}}f(x) =-\infty$ et $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to -\infty}}\dfrac{f(x)}{x} =+\infty.$
Interprète graphiquement ces résultats.
2. a. Calcule la limite de f en + infini

.
${\white{w}$ b. Justifie que la droite (D) d'équation y =-x + 1 est une asymptote à (C) en + infini

.
3. Soit g la fonction numérique définie sur R par : $g(x)=x\text e^{1-x}+ 1.$
On admet qu'il existe un nombre réel alpha

élément de l'intervalle [-0,4 ; -0,2] tel que g ( alpha

)=0 et
$\left\lbrace\begin{matrix} \forall x \in ]-\infty \,; \,\alpha[, \; g(x) < 0\\ \forall x \in ]\alpha\,;\, + \infty[, \; g(x) > 0 \end{matrix}\right.$
On admet que f est dérivable sur R.
${\white{w}$ a. Justifie que : $\forall x \in \texbf R\,, f'(x)=-g(x).$
${\white{w}$ b. Étudie le sens de variation de f .
${\white{w}$ c. Dresse le tableau de variation de f.
4. On admet que (C) est au dessus de (D) sur [-1 ; + infini

[ et au dessous de (D) sur ]- infini

; -1].
Construis (C). (T
prendras : alpha

=-0,3 et f ( alpha

) = 3,9).
5. a. Interprète graphiquement l'intégrale K telle que $K= \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} (f(x)-(-x+1))\text d x.\end{aligned}$
${\white{w}$ b. Justifie, à l'aide d'une intégration par parties, que K = 2e - 3.

4 points

exercice 5

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O; vectu

) d'unité graphique le centimètre.
On réalisera une figure qu'on complétera tout au long de l'exercice.
On note A et B les points d'affixes respectives 8 et 4 + 4i.

1. On considère la similitude directe S de centre O telle que S(A)=B.
${\white{w}$ a. Justifie que la similitude directe S a pour écriture complexe : $z'=\left(\dfrac 1 2 +\dfrac 1 2 i \right) z.$
${\white{w}$ b. Détermine le rapport et l'angle de S.
2. On considère les points A_n tels que $\left\lbrace\begin{matrix} A_0=A\\ \forall n \in \textbf N\,, A_{n+1}=S(A_n) \end{matrix}\right.$
On désigne par z_n l'affixe du point A_n .
${\white{w}$ a. Démontre par récurrence que : $\forall n \in \textbf N\,, z_n=8\left(\dfrac 1 2 +\dfrac 1 2 i \right) ^n.$
${\white{w}$ b. Démontre que le triangle OA_nA_n+1 est rectangle et isocèle en A_n+1.
3. a. Place successivement les points A₀ , A₁ , A₂ , A₃ et A₄.
${\white{w}$ b. Justifie que l'aire a₁ en cm²,du triangle OA₀A₁ est 16.
${\white{w}$ c. Déduis du résultat précédent l'aire a, en cm², du polygone A₀ A₁ A₂ A₃A₄.

5 points

exercice 6

Une société fabrique et commercialise des produits cosmétiques. Les relevés, en millions de Francs CFA, des frais publicitaires mensuels de la société et de son chiffre d'affaires mensuel sont consignés dans le tableau suivant.
$\begin{array} {|c|cccccccccc|} \hline \text{Frais publicitaires} & 1 &| & 2 & | & 3 &| & 4 & | & 5& \\\hline \text{Chiffre d'affaires} & 60 & | & 66 & | & 69& | & 75 & | & 81& \\ \hline \end{array}$

Le directeur commercial veut investir davantage dans la publicité pour que le chiffre d'affaires mensuel atteigne 100 millions de Francs CFA.
Informée du problème, sa fille, qui est une de tes camarades de classe, te sollicite pour trouver le montant des frais à investir dans la publicité afin d'atteindre 100 millions comme chiffre d'affaires.
Fais une proposition argumentée.

Correction

Bac D Côte d'Ivoire 2021

2 points

exercice 1

Affirmation n° 1 : affirmation fausse
La fonction ln n'est pas strictement décroissante sur ]0 ; + infini

[.
Un contre-exemple le montre facilement.
Les nombres 1 et e appartiennent à l'intervalle ]0 ; + infini

[.
Nous savons que 1 < e puisque e environegal

2,718.
Si la fonction ln était strictement décroissante, nous aurions : ln(1) > ln(e), ce qui n'est pas le cas puisque les égalités ln(1) = 0 et ln(e) = 1 impliquent que ln(1) < ln(e).
Donc l'affirmation n°1 est fausse.
En fait, la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + infini

[.

Affirmation n° 2 : affirmation vraie
Nous savons que la fonction ln est définie, continue et dérivable sur ]0,+ infini

[ vérifiant : ln(1) = 0 et pour tout réel strictement positif x : $\ln '(x)=\dfrac{1}{x}$
Dès lors, La fonction ln est la primitive sur ]0 ; + infini

[ de la fonction : $x\to \frac 1 x$ qui s'annule en 1.
Donc l'affirmation n°2 est vraie.

Affirmation n° 3 : affirmation fausse
On considère la suite u définie par : $\left\lbrace\begin{matrix} u_0=2 & \\ \forall n \in \N ,& \; u_{n+1}=3u_n& \end{matrix}\right.$
Déterminons les trois premiers termes de cette suite.

$\boxed{ u_0=2} \\ u_{1}=3u_0=3\times2=6\Longrightarrow\boxed{u_1=6}\\ u_2=3u_1=3\times6=18\Longrightarrow\boxed{u_2=18}$

$\left\lbrace\begin{matrix}u_2-u_1=6-2=4\\u_3-u_2=18-6=12\end{matrix}\right.\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}\boxed{u_2-u_1\neq u_3-u_2}$ .
La suite u n'est dès lors pas arithmétique.
Donc l'affirmation n°3 est fausse.
En fait, la suite u est une suite géométrique.

Affirmation n° 4 : affirmation vraie
Il s'agit de l'inégalité des accroissements finis.

2 points

exercice 2

Énoncé incomplet n° 1. Soit u la suite numérique définie par : $\left\lbrace\begin{matrix} u_0=-2 & \\ \forall n \in \textbf N ,& \; u_{n+1}=\sqrt{ 2 + u_n}.& \end{matrix}\right.$
${\white{wwwwwwwwwwwww,}}$ La suite u a pour limite 2. ${\white{ww}}$ (Réponse B)
Justification
Nous observons que $\left\lbrace\begin{matrix}u_0=-2\phantom{wwwwwwwwwww}\\u_1=\sqrt{2+u_0}=\sqrt{2-2} =0\\u_2=\sqrt{2+u_1}=\sqrt{2+0} =\sqrt{2}\end{matrix}\right.\phantom{www}\Longrightarrow\phantom{www}\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}u_0=-2\\u_1=0\phantom{w}\\u_2=\sqrt{2}\end{matrix}\right.}$

Montrons par récurrence que la suite u est croissante.
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que : $\overset{{\white{.}}}{u_0<u_1.}$
C'est évident puisque $\overset{{\white{.}}}{-2<0\Longleftrightarrow u_0<u_1.}$

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{u_n<u_{n+1}}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{u_{n+1}<u_{n+2}.}$
En effet,

$u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}<\sqrt{2+u_{n+1}}=u_{n+2}\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}<u_{n+2}}$
Donc l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que la suite u est croissante.

Montrons par récurrence que la suite u est majorée par 2.
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que : $\overset{{\white{.}}}{u_0<2.}$
C'est évident puisque $\overset{{\white{.}}}{-2<2\Longleftrightarrow u_0<2.}$

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{u_n<2}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{u_{n+1}<2.}$
En effet,

$u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}\Longrightarrow u_{n+1}<\sqrt{2+2}\phantom{ww}(\text{car }u_n<2) \\\phantom{u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}}\Longrightarrow u_{n+1}<\sqrt{4} \\\\\phantom{u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}}\Longrightarrow \boxed{u_{n+1}<2}$
Donc l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que la suite u est
bornée par 2.
Étant croissante et bornée par 2, la suite u admet une limite $\overset{{\white{.}}}{\ell }.$

$\overset{{\white{.}}}{\ell }$ est solution de l'équation $\ell=\sqrt{2+\ell}.$
$\ell=\sqrt{2+\ell}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\ell\ge0\\\ell^2=2+\ell\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\ell\ge0\\\ell^2-\ell-2=0\end{matrix}\right.$

Résolvons l'équation du second degré : $\ell^2-\ell-2=0.$

$\text{Discriminant : }\Delta=(-1)^2-4\times1\times(-2) \\\phantom{\text{Discriminant : }\Delta}=1+8 \\\phantom{\text{Discriminant : }\Delta}=9>0 \\\\\text{Racines : }\ell_1=\dfrac{1-\sqrt{9}}{2}=-1 \\\phantom{\text{Racines : }}\ell_2=\dfrac{1+\sqrt{9}}{2}=2$

La valeur $\overset{{\white{.}}}{\ell=-1}$ est à rejeter car $\overset{{\white{.}}}{\ell\ge0}.$
D'où $\boxed{\ell=2}$
Par conséquent la suite u a pour limite 2.

Énoncé incomplet n° 2. L'inéquation (E) : x appartient

, ln(x ) - 1 infegal

0 , a pour ensemble de solutions $\overset{{\white{.}}}{{\red{]0\,;\,\text{e}].}}{\white{w}}}$ (Réponse B)
Justification
ln(x ) n'est défini que pour x > 0.
Résolvons donc l'inéquation ln(x ) - 1 infegal

0 pour tout x dans l'intervalle ]0 ; + infini

[.

$\ln(x)-1\le0\Longleftrightarrow\ln(x)\le1\Longleftrightarrow x\le\text{e}^1 \Longleftrightarrow x\le\text{e} \\\\\text{Or }x>0. \\\\\text{D'où }\ \boxed{0<x\le\text{e}}$
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation est ]0 ; e].

Énoncé incomplet n° 3. On pose : $z=-\sqrt{3}+\text{i}.$ On note r le module de z et theta

l'argument principal de z .
${\white{wwwwwwwwwwwww,}}$ r et theta

vérifient : ${\red{r=2\ \text{et }\theta=\dfrac{5\pi}{6}.}}$
Justification
$r=|-\sqrt{3}+\text{i}|=\sqrt{(-\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2 \\\\\Longrightarrow\boxed{r=2}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\cos(\theta)=\dfrac{-\sqrt{3}}{r}\\\overset{{\white{.}}}{\sin(\theta)=\dfrac{1}{r}}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\cos(\theta)=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\\\overset{{\white{.}}}{\sin(\theta)=\dfrac{1}{2}}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\boxed{\theta=\dfrac{5\pi}{6}}$

Énoncé incomplet n° 4. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\overset{{\white{.}}}{(\text{O}\,;\;\vec{u},\vec{v}).}$
${\white{wwwwwwwwwwwww,}}$ Soient I et J les points d'affixes respectives 1 et i.
${\white{wwwwwwwwwwwww,}}$ On note () l'ensemble des points M du plan d'affixe z vérifiant : |z - 1| = |z - i|.
${\white{wwwwwwwwwwwww,}}$ ( gammamaj

) est la médiatrice du segment [IJ]. ${\white{ww}}$ (Réponse C)
Justification

$|z-1|=|z-\text{i}|\Longleftrightarrow MI=MJ.$
Les points M sont donc équidistants des points I et J.
Par conséquent, l'ensemble des points M est la médiatrice du segment [IJ].

Énoncé incomplet n° 5. Soit f une fonction numérique dérivable sur un intervalle K telle que :
${\white{wwwwwwwwwwwww,}}$ $\overset{{\white{.}}}{\forall x \in \text K, \; f'(x) > 0 \,.}$
${\white{wwwwwwwwwwwww,}}$ f est une bijection de K vers f (K).
${\white{wwwwwwwwwwwww,}}$ $\overset{{\white{.}}}{\forall a \in f(\text K ) \,, (f^{-1})'(a)}$ est égal à $\overset{{\white{.}}}{{\red{\dfrac{1}{f'(f^{-1}(a))}.}}}$ ${\white{ww}}$ (Réponse D)
Justification
Par définition de fonction réciproque, nous avons : $\forall\ x\in f(K),\ f(f^{-1}(x))=x.$
En dérivant les deux membres et en utilisant la formule de dérivation de la fonction composée, nous obtenons :

$\forall x\in\,f(K),\ \left(\overset{}{f(f^{-1}(x))}\right)'=x'\Longrightarrow f'(f^{-1}(x))\times (f^{-1})'(x)=1. \\\\\phantom{\forall x\in\,f(K),\ \left(\overset{}{f(f^{-1}(x))}\right)'=x'}\Longrightarrow \boxed{(f^{-1})'(x)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}}.$

3 points

exercice 3

1. b) 60% des personnes ayant un âge supérieur ou égal à 65 ans sont atteints de la Covid-19.
D'où $\overset{{\white{.}}}{\boxed{P_S(C)=0,6}}$

1. c) Nous devons déterminer $P(S\cap C).$

$P(S\cap C)=P(S)\times P_S(C) \\\phantom{P(S\cap C)}=0,3\times0,6 \\\phantom{P(S\cap C)}=0,18 \\\\\Longrightarrow \boxed{P(S\cap C)=0,18}$
Par conséquent, la probabilité que la personne ait au moins 65 ans et soit atteinte de la Covid-19 est égale à 0,18.

2. Nous devons déterminer P(C).

Les événements $\overset{{\white{.}}}{S}$ et $\overline{S}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(C)=P(S\cap C)+P(\overline{S}\cap C) \\\phantom{P(C)}=0,18+P(\overline{S})\times P_{\overline{S}}(C) \\\phantom{P(C)}=0,18+0,7\times0,001 \\\phantom{P(C)}=0,1807 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(C)=0,1807}$

3. On prend au hasard n personnes dans la ville et on note P_n la probabilité d'avoir au moins une personne atteinte de la Covid-19 $(n\in\N^*\setminus\lbrace1\rbrace).$

3. a) Nous avons montré dans la question 2. que si on choisit une personne au hasard, la probabilité qu'elle soit atteinte de la Covid est égale à 0,1807.
Donc la probabilité qu'elle ne soit pas atteinte de la Covid-19 est égale à 1 - 0,1807 = 0,8193.
Si on prend au hasard n personnes, la probabilité qu'aucune d'entre elles ne soit atteinte de la Covid-19 est
égale à (0,8193)ⁿ.
Dès lors, la probabilité d'avoir au moins une personne atteinte de la Covid-19 est P_n = 1 - (0,8193)ⁿ.

3. b) Nous devons déterminer le plus petit entier naturel n vérifiant l'inégalité $P_n>0,9999.$

$P_n>0,9999\Longleftrightarrow1-(0,8193)^n>0,9999 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P_n>0,9999}\Longleftrightarrow-(0,8193)^n>0,9999-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P_n>0,9999}\Longleftrightarrow-(0,8193)^n>-0,0001} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P_n>0,9999}\Longleftrightarrow(0,8193)^n<0,0001} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{P_n>0,9999}\Longleftrightarrow\ln((0,8193)^n)<\ln(0,0001)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{P_n>0,9999}\Longleftrightarrow n\times\ln(0,8193)<\ln(0,0001)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{P_n>0,9999}\Longleftrightarrow n>\dfrac{\ln(0,0001)}{\ln(0,8193)}\ (\text{changement de sens de l'inégalité car }\ln(0,8193)<0) }$
$\text{Or }\ \dfrac{\ln(0,0001)}{\ln(0,8193)}\approx46,2$
D'où la plus petite valeur de l'entier naturel n vérifiant l'inégalité est n = 47.
Par conséquent, il faudra au minimum 47 personnes pour que la probabilité d'avoir au moins une personne atteinte de la Covid-19 soit supérieure à 99,99 %.

4 points

exercice 4

On considère la fonction numérique f définie sur

par : $f(x)=(x+1)\,\text e ^{1-x} -x+1.$

1. $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to -\infty}}f(x) =-\infty$ signifie que la courbe (C ) admet une branche infinie.
Si de plus, $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to -\infty}}\dfrac{f(x)}{x} =+\infty$ , la courbe (C ) admet une branche parabolique de direction (Oy) en - infini

.

${\red{2.\text{ a) }}}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(x+1)=+\infty\\\overset{}{\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{1-x}=0}\end{matrix}\right.\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}{\blue{\lim\limits_{x\to+\infty}(x+1)\,\text{e}^{1-x}=0}}\phantom{ww}(\text{croissances comparées}) \\\\\left\lbrace\begin{matrix}{\blue{\lim\limits_{x\to+\infty}(x+1)\,\text{e}^{1-x}=0}}\\\overset{}{\lim\limits_{x\to+\infty}(-x+1)=-\infty}\end{matrix}\right.\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}\lim\limits_{x\to+\infty}[(x+1)\,\text{e}^{1-x}-x+1]=-\infty \\\\\Longrightarrow\phantom{ww}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty}$

${\red{2.\text{ b) }}}\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(-x+1)]=\lim\limits_{x\to+\infty}(x+1)\,\text{e}^{1-x}=0\phantom{ww}(\text{voir 2. a}) \\\\\phantom{www}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(-x+1)]=0}$
Nous en déduisons que la droite (D) d'équation y = -x + 1 est une asymptote à (C ) en +.

3. Soit g la fonction numérique définie sur

par : $g(x)=x\text e^{1-x}+ 1.$
On admet que f est dérivable sur

.

3. a) Pour tout réel x ,

$f'(x)=[(x+1)\,\text e ^{1-x} -x+1]' \\\overset{}{\phantom{f'(x)}=[(x+1)\,\text e ^{1-x}]'-1+0} \\\overset{}{\phantom{f'(x)}=[(x+1)\,\text e ^{1-x}]'-1} \\\overset{}{\phantom{f'(x)}=(x+1)'\times\text e ^{1-x}+(x+1)\times(\text e ^{1-x})'-1} \\\overset{}{\phantom{f'(x)}=1\times\text e ^{1-x}+(x+1)\times(1-x)'\text e ^{1-x}-1} \\\overset{}{\phantom{f'(x)}=\text e ^{1-x}+(x+1)\times(-1)\,\text e ^{1-x}-1} \\\overset{}{\phantom{f'(x)}=\text e ^{1-x}-x\text e ^{1-x}-\text e ^{1-x}-1} \\\overset{}{\phantom{f'(x)}=-x\text e ^{1-x}-1} \\\overset{}{\phantom{f'(x)}=-(x\text e ^{1-x}+1)} \\\overset{}{\phantom{f'(x)}=-g(x)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in\R,\ f'(x)=-g(x)}$

3. b) On admet qu'il existe un nombre réel élément de l'intervalle [-0,4 ; -0,2] tel que g ( alpha

) = 0 et

$\left\lbrace\begin{matrix} \forall x \in ]-\infty \,; \,\alpha[, \; g(x) < 0\\ \forall x \in ]\alpha\,;\, + \infty[, \; g(x) > 0 \end{matrix}\right.$
Nous obtenons ainsi le tableau de signes de la fonction g et par conséquent, le tableau de signes de f' (x ).

${\white{wwwww}}\begin{array}{|c|ccccc|}\hline&&&&&\\ x&-\infty&&\alpha&&+\infty\\&&&&& \\\hline &&&&&&g(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline &&&&&&f'(x)=-g(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline \end{array}$

D'où, la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle $]-\infty\,;\,\alpha[$
${\white{wwwwwwwwwww.w}}$ strictement décroissante sur l'intervalle $]\alpha\,;\,+\infty[.$ .

3. c) Sur base de la question 3. b), nous pouvons déduire le tableau de variations de la fonction f .

${\white{wwwww}}\begin{array}{|c|ccccc|}\hline&&&&&\\ x&-\infty&&\alpha\approx-0,3&&+\infty\\&&&&& \\\hline &&&&&&f'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline &&&f(\alpha)\approx3,9&&&f(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&-\infty&&&&-\infty\\\hline \end{array}$

4. Représentation de la courbe (C ).

5. a) a) $K= \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} (f(x)-(-x+1))\text d x.\end{aligned}$ représente l'aire du domaine situé entre la courbe (C ), la droite (D) et les droites d'équations x = 0 et x = 1.

5. b) Déterminons la valeur de $K= \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} (f(x)-(-x+1))\text d x.\end{aligned}.$

$K= \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} (f(x)-(-x+1))\text d x\end{aligned} \\\\\Longrightarrow{K}= \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} (x+1)\,\text{e}^{1-x}\text d x.\end{aligned}$

$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{ \begin{aligned}\int\limits_0^1u(x)v'(x)\,\text{d}x\end{aligned}=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_0^1-\begin{aligned}\int\limits_0^1u'(x)v(x)\,\text{d}x\end{aligned}}}. \\\\\left\lbrace\begin{matrix}u(x)=x+1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ u'(x)=1\ \ \ \ \ \ \\v'(x)=\text{e}^{1-x}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ v(x)=-\text{e}^{1-x}\end{matrix}\right.\\\\ \text{Dès lors, }\ K=\left[\overset{}{(x+1)\times(-\text{e}^{1-x})}\right]\limits_0^1-\begin{aligned}\int\limits_0^11\times(-\text{e}^{1-x})\,\text{d}x\end{aligned} \\\phantom{\text{Dès lors, }\ K}=\left[\overset{}{-(x+1)\,\text{e}^{1-x}}\right]\limits_0^1-\begin{aligned}\int\limits_0^1(-\text{e}^{1-x})\,\text{d}x\end{aligned}$

${\white{wwwwwww,}}$ $\phantom{\text{Dès lors, }\ K}=\left[\overset{}{-(x+1)\,\text{e}^{1-x}}\right]\limits_0^1-\left[\overset{}{\text{e}^{1-x}}\right]\limits_0^1$
${\white{wwwwwww,}}$ $=\left[\overset{}{(-x-1)\,\text{e}^{1-x}-\text{e}^{1-x}}\right]\limits_0^1$
${\white{wwwwwww,}}$ $=\left[\overset{}{(-x-1-1)\,\text{e}^{1-x}}\right]\limits_0^1 \\\\=\left[\overset{}{(-x-2)\,\text{e}^{1-x}}\right]\limits_0^1 \\\\=(-1-2)\,\text{e}^{1-1}-(0-2)\,\text{e}^{1-0} =-3+2\,\text{e}.$

Par conséquent, $\boxed{K=2\,\text{e}-3}$

4 points

exercice 5

On note A et B les points d'affixes respectives 8 et 4 + 4i.

1. On considère la similitude directe S de centre O telle que S(A)=B.

1. a) Nous savons que l'écriture complexe d'une similitude directe est de la forme $z'=az+b$ avec a different

0.
Comme le point O est le centre de la similitude S, nous savons que S(O) = O.
Nous en déduisons que

$\left\lbrace\begin{matrix}S(O)=O\\S(A)=B\end{matrix}\right.\phantom{x}\Longleftrightarrow\phantom{x}\left\lbrace\begin{matrix}z_O=a\,z_O+b\\z_B=a\,z_A+b\end{matrix}\right.\phantom{x}\Longleftrightarrow\phantom{x}\left\lbrace\begin{matrix}0=a\times0+b\\4+4\text{i}=a\times8+b\end{matrix}\right. \\\\\phantom{xxxxxxxxxxx}\Longleftrightarrow\phantom{x}\left\lbrace\begin{matrix}b=0\\4+4\text{i}=8a+b\end{matrix}\right.\phantom{x}\Longleftrightarrow\phantom{x}\left\lbrace\begin{matrix}b=0\\8a=4+4\text{i}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{xxxxxxxxxxx}\Longleftrightarrow\phantom{x}\left\lbrace\begin{matrix}b=0\\a=\dfrac{1}{8}(4+4\text{i})\end{matrix}\right.\phantom{x}\Longleftrightarrow\phantom{x}\left\lbrace\begin{matrix}b=0\\a=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i}\end{matrix}\right.$

D'où, la similitude directe S a pour écriture complexe : $z'=\left(\dfrac 1 2 +\dfrac 1 2 i \right) z.$

1. b) Rapport k de S.

$k=\left|\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i}\right|=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
D'où le rapport de la similitude S est égal à $\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$

Angle theta

de S.

Nous savons que $\overset{{\white{.}}}{\theta=\arg\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i}\right).}$
$\left\lbrace\begin{matrix}\cos(\theta)=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\overset{}{\sin(\theta)=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\end{matrix}\right.\phantom{ww}\Longleftrightarrow\phantom{xx}\left\lbrace\begin{matrix}\cos(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\overset{}{\sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\end{matrix}\right.\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{xx}\theta=\dfrac{\pi}{4}\,[2\pi]$

D'où l'angle principal de la similitude S est $\dfrac{\pi}{4}.$

2. On considère les points A_n tels que $\left\lbrace\begin{matrix} A_0=A\\ \forall n \in \N\,, A_{n+1}=S(A_n) \end{matrix}\right.$
On désigne par z_n l'affixe du point A_n .

2. a) Démontrons par récurrence que : $\forall n \in \textbf N\,, z_n=8\left(\dfrac 1 2 +\dfrac 1 2 i \right) ^n.$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que : $\overset{{\white{.}}}{z_0=8\left(\dfrac 1 2 +\dfrac 1 2 i \right) ^0.}$
z ₀ est l'affixe du point A ₀, soit 8.
De plus, $\overset{{\white{.}}}{8\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i}\right)^0=8\times1=8.}$
Donc $\overset{{\white{.}}}{z_0=8\left(\dfrac 1 2 +\dfrac 1 2 i \right) ^0}$ et par conséquent, l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{z_n=8\left(\dfrac 1 2 +\dfrac 1 2 i \right) ^n}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{z_{n+1}=8\left(\dfrac 1 2 +\dfrac 1 2 i \right) ^{n+1}.}$
En effet,
$A_{n+1}=S(A_n)\Longrightarrow z_{n+1}=\left(\dfrac 1 2 +\dfrac 1 2 i \right) z_n \\\phantom{A_{n+1}=S(A_n)}\Longrightarrow z_{n+1}=\left(\dfrac 1 2 +\dfrac 1 2 i \right) \times8\left(\dfrac 1 2 +\dfrac 1 2 i \right) ^n \\\phantom{A_{n+1}=S(A_n)}\Longrightarrow \boxed{z_{n+1}=8\left(\dfrac 1 2 +\dfrac 1 2 i \right) ^{n+1}}$
Donc l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{z_n=8\left(\dfrac 1 2 +\dfrac 1 2 i \right) ^n.}$

2. b) Montrons que le triangle OA_nA_n +1 est isocèle en A_n +1.

${\white{wwwww}}$ $OA_{n+1}=|z_{n+1}| =\left|8\left(\dfrac 1 2 +\dfrac 1 2 i \right) ^{n+1}\right| \\\phantom{OA_{n+1}}=8\left|\dfrac 1 2 +\dfrac 1 2 i \right|^{n+1} \\\phantom{OA_{n+1}}=8\left(\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}}\right)^{n+1} \\\phantom{OA_{n+1}}=8\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}}\right)^{n+1} \\\phantom{OA_{n+1}}\\\phantom{OA_{n+1}}\\\phantom{OA_{n+1}}\\\phantom{OA_{n+1}}\\\phantom{OA_{n+1}}\\\phantom{OA_{n+1}}\\\phantom{OA_{n+1}}{\white{w}}$ ${\white{wwwww}}$ ${\white{wwwww}}$ $A_nA_{n+1}=|z_{n+1}-z_n| \\\phantom{A_nA_{n+1}}=\left|8\left(\dfrac 1 2 +\dfrac 1 2 i \right) ^{n+1}-8\left(\dfrac 1 2 +\dfrac 1 2 i \right) ^{n}\right| \\\phantom{A_nA_{n+1}}=\left|8\left(\dfrac 1 2 +\dfrac 1 2 i \right) ^{n}\left(\dfrac 1 2 +\dfrac 1 2 i-1\right) \right| \\\phantom{A_nA_{n+1}}=\left|8\left(\dfrac 1 2 +\dfrac 1 2 i \right) ^{n}\left(-\dfrac 1 2 +\dfrac 1 2 i\right) \right| \\\phantom{A_nA_{n+1}}=8\left(\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}}\right)^n\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}} \\\phantom{A_nA_{n+1}}=8\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}}\right)^n\sqrt{\dfrac{1}{2}} \\\phantom{A_nA_{n+1}}=8\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}}\right)^{n+1}$
D'où OA_n +1 = A_nA_n +1 et par suite, le triangle OA_nA_n +1 est isocèle en A_n +1.

Montrons que le triangle OA_nA_n +1 est rectangle.

$OA_{n+1}=A_nA_{n+1}=8\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}}\right)^{n+1}\Longrightarrow (OA_{n+1})^2+(A_nA_{n+1})^2=64\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}+64\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} \\\phantom{OA_{n+1}=A_nA_{n+1}=8\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}}\right)^{n+1}}\Longrightarrow (OA_{n+1})^2+(A_nA_{n+1})^2=128\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} \\\phantom{OA_{n+1}=A_nA_{n+1}=8\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}}\right)^{n+1}}\Longrightarrow (OA_{n+1})^2+(A_nA_{n+1})^2=128\left(\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} \\\phantom{OA_{n+1}=A_nA_{n+1}=8\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}}\right)^{n+1}}\Longrightarrow {\blue{(OA_{n+1})^2+(A_nA_{n+1})^2=64\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}}} \\\\OA_n=|z_n|=\left|8\left(\dfrac 1 2 +\dfrac 1 2 i \right) ^{n}\right|=8\left(\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}}\right)^n=8\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}}\right)^n\Longrightarrow{\blue{(OA_n)^2=64\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}}} \\\\\text{D'où }\boxed{(OA_n)^2=(OA_{n+1})^2+(A_nA_{n+1})^2}$
Par la réciproque du théorème de Pythagore, nous en déduisons que le triangle OA_nA_n +1 est rectangle en A_n +1.
Par conséquent, le triangle OA_nA_n +1 est isocèle rectangle en A_n +1.

3. a) Nous savons que $\forall n \in \textbf N\,, z_{n+1}=\left(\dfrac 1 2 +\dfrac 1 2 i \right) z_n.$

$z_0=z_A=8 \\\\z_1=z_B=(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i})z_0=8(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i})=4+4\text{i} \\\\z_2=(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i})z_1=(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i})(4+4\text{i})=4\text{i} \\\\z_3=(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i})z_2=(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i})4\text{i}=-2+2\text{i} \\\\z_4=(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i})z_3=(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i})(-2+2\text{i})=-2$ ${\white{wwwww}}$ $\Longrightarrow$ ${\white{wwwww}}$ $A_0\,(8 ; 0) \\\\A_1\,(4\, ; 4){\white{\dfrac{1}{2}}} \\\\A_2\,(0\, ; 4){\white{\dfrac{1}{2}}} \\\\A_3\,(-2\, ; 2){\white{\dfrac{1}{2}}} \\\\A_4\,(-2\, ; 0){\white{\dfrac{1}{2}}}$

3. b) Nous savons par la question 2. b) que le triangle OA₀A₁ est rectangle et isocèle en A₁. Nous avons également montré dans cette question que : $OA_{n+1}=A_nA_{n+1}=8\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}}\right)^{n+1}.$
Dès lors, $OA_{1}=A_0A_{1}=8\,\sqrt{\dfrac{1}{2}}.$

Le triangle OA₀A₁ admet pour base OA₁ et pour hauteur A₀A₁.
L'aire $\mathscr{A}_0$ du triangle OA₀A₁ est donnée par la formule : $\mathscr{A}_0=\dfrac{OA_1\times A_0A_1}{2}$
$\mathscr{A}_0=\dfrac{8\,\sqrt{\dfrac{1}{2}}\times8\,\sqrt{\dfrac{1}{2}}}{2}=\dfrac{64\times\dfrac{1}{2}}{2}\Longrightarrow\boxed{\mathscr{A}_0=16}$
Par conséquent, l'aire du triangle OA₀A₁ est égale à 16 cm².

3. c) Le polygone A₀A₁A₂A₃A₄ est la réunion des triangles OA₀A₁, OA₁A₂, OA₂A₃, OA₃A₄.
Le rapport de la similitude S est $k=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
D'où le rapport des aires est $k^2=\dfrac{1}{2.}$
Nous en déduisons que les aires respectives des triangles OA₀A₁, OA₁A₂, OA₂A₃ et OA₃A₄ sont égales à 16, 8, 4 et 2.
Par conséquent, l'aire du polygone A₀A₁A₂A₃A₄ est égale à 16 + 8 + 4 + 2 = 30 cm².

5 points

exercice 6

Une société fabrique et commercialise des produits cosmétiques. Les relevés X , en millions de Francs CFA, des frais publicitaires mensuels de la société et de son chiffre d'affaires mensuel Y sont consignés dans le tableau suivant.

$\begin{array} {|c|cccccccccc|} \hline \text{Frais publicitaires }x_i & 1 &| & 2 & | & 3 &| & 4 & | & 5& \\\hline \text{Chiffre d'affaires }y_i & 60 & | & 66 & | & 69& | & 75 & | & 81& \\ \hline \end{array}$
Représentons le nuage de points associé à la série statistique (X,Y). Les points concernés sont de couleur bleue.

Ce nuage de points permet d'envisager un ajustement affine car les points sont relativement bien alignés.
Déterminons à l'aide de la calculatrice l'équation réduite de la droite (D) d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés.
L'équation réduite de la droite de régression linéaire de y en x est de la forme y = ax + b .
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons a = 5,1 et b = 54,9.
Donc l'équation réduite de la droite (D) de régression linéaire de y en x est y = 5,1x + 54,9.

Le directeur commercial veut investir davantage dans la publicité pour que le chiffre d'affaires mensuel atteigne 100 millions de Francs CFA.
Déterminons le montant des frais publicitaires correspondant à un chiffre d'affaires de 100 millions de Francs CFA en remplaçant y par 100 dans l'équation de (D) et en calculant la valeur de x .
$\overset{{\white{.}}}{100}=5,1x+54,9\Longleftrightarrow5,1x=100-54,9 \\\phantom{100=5,1x+54,9}\Longleftrightarrow5,1x=45,1 \\\phantom{100=5,1x+54,9}\Longleftrightarrow x=\dfrac{45,1}{5,1} \\\phantom{100=5,1x+54,9}\Longrightarrow \boxed{x\approx8,843}$
Par conséquent, pour atteindre un chiffre d'affaires de 100 millions, le directeur devra investir
environ 8 850 000 Francs CFA.

Publié par malou le 20-09-2022

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