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Baccalauréat Mathématiques

STMG Remplacement

Polynésie Française 2017

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Bac STMG Remplacement Polynésie Française 2017

4 points

exercice 1

1. Notons par t_m le taux d'évolution mensuel moyen.

Durant les 3 derniers mois, le taux d'évolution mensuel moyen vérifie la relation $1+0,30=(1+t_m)^3.$

$\text{D'où }\ \ 1,3=(1+t_m)^3\Longleftrightarrow1+t_m=1,3^{\frac{1}{3}}\\\\\phantom{\text{D'où }\ \ 1,3=(1+t_m)^4}\Longleftrightarrow t_m=1,3^{\frac{1}{3}}-1\\\\\phantom{\text{D'où }\ \ 1,3=(1+t_m)^4}\Longleftrightarrow t_m\approx0,0914$

Le taux d'évolution mensuel moyen est donc égal à 9,14 % (arrondi à 0,01 %).
Par conséquent la réponse correcte est la réponse $\red{\boxed{\text{a.}}}$

2. Le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de 12 % est égal à 1 - 0,12 = 0,88.
Si t est le taux exprimant la hausse pour revenir au prix initial, alors t vérifie la relation $0,88^2\times(1+t)=1.$

$0,88^2\times(1+t)=1\Longleftrightarrow1+t=\dfrac{1}{0,88^2}\\\\\phantom{0,88^2\times(1+t)=1}\Longleftrightarrow t=\dfrac{1}{0,88^2}-1\\\\\phantom{0,88^2\times(1+t)=1}\Longleftrightarrow t\approx0,2913$

Nous en déduisons que la hausse doit être de 29,13 %.
Par conséquent la réponse correcte est la réponse $\red{\boxed{\text{c.}}}$

3. Nous observons par le tableau que la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle [-2,5 ; 4].
Or -1 appartient

[-2,5 ; 4].
Nous en déduisons que f' (-1) < 0.
Par conséquent la réponse correcte est la réponse $\red{\boxed{\text{b.}}}$

4. Un intervalle de fluctuation au seuil de 95% du taux de remplissage des chambres en France pour 2015 est donné par $I_{850}=\left[0,748-\dfrac{1}{\sqrt{850}};0,748+\dfrac{1}{\sqrt{850}}\right]$

$\Longrightarrow\boxed{I_{850}\approx[0,713\ ;\ 0,783]}$
Par conséquent la réponse correcte est la réponse $\red{\boxed{\text{c.}}}$

4 points

exercice 2

1. Le taux d'évolution global du nombre d'incivilités entre 2011 et 2015 se calcule par

$\dfrac{\text{Valeur finale - Valeur initiale}}{\text{Valeur initiale}}=\dfrac{375-857}{857}\approx-0,562$

D'où entre 2011 et 2015, le nombre d'incivilités a subi une baisse d'environ 56,2 % (arrondi à 0,1 %).
Par conséquent le maire n'a pas raison.

2. Par la calculatrice, nous obtenons une équation de la droite d'ajustement affine du nuage de points de coordonnées (x_i ; y_i ) suivant la méthode des moindres carrés : y = -124,03x + 916,57 (les coefficients sont arrondis à 0,01 près).

3. Représentation de la droite D d'équation y = -124x + 917.

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4. La valeur de x correspondant à l'année 2018 est x = 7.
Dans l'équation de la droite D , remplaçons x par 7 et calculons la valeur de y .

y = -124 multiplie

7 + 917 = 49.

Donc selon ce modèle, nous pouvons prévoir 49 incivilités en 2018.

6 points

exercice 3

Partie A

1. Arbre pondéré représentant la situation :

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${\red{\text{2. a)} }}\ \ p(D\cap I)=p(D)\times p_D(I)\\\phantom{{\red{\text{2. a)} }}\ \ p(D\cap I)}=0,60\times0,12\\\phantom{{\red{\text{2. a)} }}\ \ p(D\cap I)}=0,072\\\\\Longrightarrow\boxed{p(D\cap I)=0,072}$

b) Selon la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$p(I)=p(D\cap I)+p(\overline{D}\cap I)\\\\\phantom{p(I)}=0,072+p(\overline{D})\times p_{\overline{D}}(I)\\\\\phantom{p(I)}=0,072+0,40\times0,21\\\phantom{p(I)}=0,156\\\\\Longrightarrow\boxed{p(I)=0,156}$

3. Sachant que la personne choisie se déclare intéressée par les offres d'abonnement, la probabilité qu'elle ait été contactée par un collaborateur expérimenté est donnée par $p_I(\overline{D}).$

$p_I(\overline{D})=\dfrac{p(\overline{D}\cap I)}{p(I)}\\\\\phantom{p_I(\overline{D})}=\dfrac{p(\overline{D})\times p_{\overline{D}}(I)}{p(I)}\\\\\phantom{p_I(\overline{D})}=\dfrac{0,40\times 0,21}{0,156}\\\\\phantom{p_I(\overline{D})}\approx0,538\\\\\Longrightarrow\boxed{p_I(\overline{D})\approx0,538}$

D'où sachant que la personne choisie se déclare intéressée par les offres d'abonnement, la probabilité qu'elle ait été contactée par un collaborateur expérimenté est environ égale à 0,538 (arrondie à 0,001 près).

Partie B

1. La variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance

= 9000 et d'écart-type sigma

= 450.

Nous devons calculer p (X < 9500).

$p(X<9500)=p(X\le9000)+p(9000<X<9500)\\\phantom{p(X<9500)}=0,5+p(9000<X<9500)\\\phantom{p(X<9500)}\approx0,5+0,367\\\phantom{p(X<9500)}\approx0,867\\\\\Longrightarrow\boxed{p(X<9500)\approx0,867}$

2. Par la calculatrice, nous obtenons $\boxed{p(8100< X<9900)\approx0,9545}$

Nous pouvions trouver ce résultat par la propriété suivante de la loi normale : $p(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)\approx0,95.$

En effet,

$p(8100<X<900)=p(9000-900<X<9000+900)\\\phantom{p(8100<X<9900)}=p(9000-2\times450<X<9000+2\times450)\\\phantom{p(8100<X<9900)}=p(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)\\\phantom{p(8100<X<9900)}\approx0,95$

3. Calculons la probabilité que le nombre de personnes contactées soit au moins 8750 en une semaine.

$p(X>8750)=p(8750<X<9000)+p(X\ge9000)\\\phantom{p(X<9500)}=p(8750<X<9000)+0,5\\\phantom{p(X<9500)}\approx0,21+0,5\\\phantom{p(X<9500)}\approx0,71\\\\\Longrightarrow\boxed{p(X>8750)\approx0,71}$

Avoir 3 chances sur 4 d'obtenir cet objectif signifie que la probabilité d'atteindre cet objectif est égale à 0,75.
Puisque 0,71 est inférieur à 0,75, nous avons moins de 3 chances sur 4 d'atteindre cet objectif.
6 points

exercice 4

Partie A

1. Une diminution de 18 % correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 - 0,18 = 0,82.

$c_2=0,82\times c_1\\\phantom{c_2}=0,82\times35\\\phantom{c_2}=28,7\\\\\Longrightarrow\boxed{c_2=28,7}\\\\c_3=0,82\times c_2\\\phantom{c_3}=0,82\times28,7\\\phantom{c_3}=23,534\\\\\Longrightarrow\boxed{c_3\approx23,5}$

2. a) Chaque terme de la suite (c_n ), à partir du deuxième, est égal au précédent multiplié par le nombre constant 0,82.
Donc la suite (c_n ) est une suite géométrique de raison 0,82 et dont le premier terme est c ₁ = 35.

b) Le terme général de la suite (c_n ) est donné par $c_n=c_1\times0,82^{n-1}$ , soit $c_n=35\times(0,82)^{n-1}$
Le rang correspondant au mois de décembre est n = 12.

$c_{12}=35\times(0,82)^{11}\approx3,945.$
D'où le chiffre d'affaires pour le mois de décembre 2018 s'élève à environ 3,945 millions d'euros.

3. Déterminons le plus petit entier naturel n pour lequel c_n < 5.

Par le tableur de la calculatrice, nous obtenons $c_{10}\approx5,87\ \ \text{et} \ \ c_{11}\approx4,81$ .

Nous en déduisons alors que le chiffre d'affaires mensuel sera pour la première fois inférieur à 5 millions d'euros au cours du mois de novembre.

4. Algorithme complété :

Variables : U nombre réel
                        N nombre entier
Traitement : U prend la valeur 35
                            N prend la valeur 1
                             TANT QUE U supegal

5
                                  U prend la valeur 0,82 U
                                  N prend la valeur N + 1
                             FIN TANT QUE
Sortie : AFFICHER N

Partie B

1. $f(x)=\dfrac{15x+20}{x}\ \ \ \ \ \ \ \ \text{où }\ x\in[1\ ;\ 12]$

$f'(x)=\dfrac{(15x+20)'\times x-(15x+20)\times x'}{x^2}\\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{15\times x - (15x+20)\times1}{x^2}\\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{15x - (15x+20)}{x^2}\\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{15x - 15x-20}{x^2}\\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{-20}{x^2}\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{-20}{x^2}}$

Variante de calcul :

$f(x)=\dfrac{15x+20}{x}\\\\\phantom{f(x)}=\dfrac{15x}{x}+\dfrac{20}{x}\\\\\Longrightarrow\boxed{f(x)=15+\dfrac{20}{x}}\\\\f'(x)=15'+\left(\dfrac{20}{x}\right)'\\\\\phantom{f'(x)}=0-\dfrac{20}{x^2}\\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{20}{x^2}\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{-20}{x^2}}$

Puisque -20 < 0 et x ² > 0, nous en déduisons que f' (x ) < 0 sur l'intervalle [1 ; 12].

2. $f(x)=15+\dfrac{20}{x}$

$x\in[1;12]\Longrightarrow x>0\\\\\phantom{x\in[1;12]}\Longrightarrow \dfrac{20}{x}>0\\\\\phantom{x\in[1;12]}\Longrightarrow 15+\dfrac{20}{x}>0+15\\\\\phantom{x\in[1;12]}\Longrightarrow\boxed{f(x)>15}$

Par conséquent avec ce modèle, le chiffre d'affaires mensuel restera supérieur à 15 millions d'euros durant l'année 2018.

Variante :

Nous aurions pu démontrer cette proposition en utilisant la question précédente.

Nous avons montré dans la question 1 que f' (x ) < 0 sur l'intervalle [1 ; 12].
Donc la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle [1 ; 12], ce qui implique que si x appartient

[1 ; 12], alors f (x ) > f (12).
Or f (12) environegal

16,7.

D'où si x appartient

[1 ; 12], alors f (x ) > 15.

Par conséquent avec ce modèle, le chiffre d'affaires mensuel restera supérieur à 15 millions d'euros durant l'année 2018.

Publié par malou/Panter le 08-05-2018

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