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Baccalauréat Mathématiques

STMG Remplacement

Polynésie Française 2017

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Bac STMG Remplacement Polynésie Française 2017

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4 points

exercice 1

1.   Notons par  tm  le taux d'évolution mensuel moyen.

Durant les 3 derniers mois, le taux d'évolution mensuel moyen vérifie la relation  1+0,30=(1+t_m)^3.

\text{D'où   }\ \ 1,3=(1+t_m)^3\Longleftrightarrow1+t_m=1,3^{\frac{1}{3}}\\\\\phantom{\text{D'où   }\ \ 1,3=(1+t_m)^4}\Longleftrightarrow t_m=1,3^{\frac{1}{3}}-1\\\\\phantom{\text{D'où   }\ \ 1,3=(1+t_m)^4}\Longleftrightarrow t_m\approx0,0914

Le taux d'évolution mensuel moyen est donc égal à 9,14 % (arrondi à 0,01 %).
Par conséquent la réponse correcte est la réponse \red{\boxed{\text{a.}}}

2.   Le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de 12 % est égal à 1 - 0,12 = 0,88.
Si t  est le taux exprimant la hausse pour revenir au prix initial, alors t  vérifie la relation  0,88^2\times(1+t)=1.

 0,88^2\times(1+t)=1\Longleftrightarrow1+t=\dfrac{1}{0,88^2}\\\\\phantom{0,88^2\times(1+t)=1}\Longleftrightarrow t=\dfrac{1}{0,88^2}-1\\\\\phantom{0,88^2\times(1+t)=1}\Longleftrightarrow t\approx0,2913

Nous en déduisons que la hausse doit être de 29,13 %.
Par conséquent la réponse correcte est la réponse \red{\boxed{\text{c.}}}

3.   Nous observons par le tableau que la fonction f  est strictement décroissante sur l'intervalle [-2,5 ; 4].
Or -1 appartient [-2,5 ; 4].
Nous en déduisons que f' (-1) < 0.
Par conséquent la réponse correcte est la réponse \red{\boxed{\text{b.}}}

4.   Un intervalle de fluctuation au seuil de 95% du taux de remplissage des chambres en France pour 2015 est donné par I_{850}=\left[0,748-\dfrac{1}{\sqrt{850}};0,748+\dfrac{1}{\sqrt{850}}\right]

\Longrightarrow\boxed{I_{850}\approx[0,713\ ;\ 0,783]}
Par conséquent la réponse correcte est la réponse \red{\boxed{\text{c.}}}

4 points

exercice 2

1.   Le taux d'évolution global du nombre d'incivilités entre 2011 et 2015 se calcule par

                                \dfrac{\text{Valeur finale - Valeur initiale}}{\text{Valeur initiale}}=\dfrac{375-857}{857}\approx-0,562

D'où entre 2011 et 2015, le nombre d'incivilités a subi une baisse d'environ 56,2 % (arrondi à 0,1 %).
Par conséquent le maire n'a pas raison.

2.   Par la calculatrice, nous obtenons une équation de la droite d'ajustement affine du nuage de points de coordonnées (xi  ; yi ) suivant la méthode des moindres carrés : y  = -124,03x  + 916,57 (les coefficients sont arrondis à 0,01 près).

3.   Représentation de la droite D  d'équation y  = -124x  + 917.

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4.   La valeur de x  correspondant à l'année 2018 est x  = 7.
Dans l'équation de la droite D , remplaçons x  par 7 et calculons la valeur de y .

y  = -124 multiplie 7 + 917 = 49.

Donc selon ce modèle, nous pouvons prévoir 49 incivilités en 2018.

6 points

exercice 3

Partie A


1.   Arbre pondéré représentant la situation :

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{\red{\text{2. a)} }}\ \ p(D\cap I)=p(D)\times p_D(I)\\\phantom{{\red{\text{2. a)} }}\ \ p(D\cap I)}=0,60\times0,12\\\phantom{{\red{\text{2. a)} }}\ \ p(D\cap I)}=0,072\\\\\Longrightarrow\boxed{p(D\cap I)=0,072}

b)   Selon la formule des probabilités totales, nous obtenons :

p(I)=p(D\cap I)+p(\overline{D}\cap I)\\\\\phantom{p(I)}=0,072+p(\overline{D})\times p_{\overline{D}}(I)\\\\\phantom{p(I)}=0,072+0,40\times0,21\\\phantom{p(I)}=0,156\\\\\Longrightarrow\boxed{p(I)=0,156}

3.   Sachant que la personne choisie se déclare intéressée par les offres d'abonnement, la probabilité qu'elle ait été contactée par un collaborateur expérimenté est donnée par p_I(\overline{D}).

p_I(\overline{D})=\dfrac{p(\overline{D}\cap I)}{p(I)}\\\\\phantom{p_I(\overline{D})}=\dfrac{p(\overline{D})\times p_{\overline{D}}(I)}{p(I)}\\\\\phantom{p_I(\overline{D})}=\dfrac{0,40\times 0,21}{0,156}\\\\\phantom{p_I(\overline{D})}\approx0,538\\\\\Longrightarrow\boxed{p_I(\overline{D})\approx0,538}

D'où sachant que la personne choisie se déclare intéressée par les offres d'abonnement, la probabilité qu'elle ait été contactée par un collaborateur expérimenté est environ égale à 0,538 (arrondie à 0,001 près).

Partie B


1.   La variable aléatoire X  suit la loi normale d'espérance mu = 9000 et d'écart-type sigma  = 450.

Nous devons calculer p (X  < 9500).

p(X<9500)=p(X\le9000)+p(9000<X<9500)\\\phantom{p(X<9500)}=0,5+p(9000<X<9500)\\\phantom{p(X<9500)}\approx0,5+0,367\\\phantom{p(X<9500)}\approx0,867\\\\\Longrightarrow\boxed{p(X<9500)\approx0,867}

2.   Par la calculatrice, nous obtenons  \boxed{p(8100< X<9900)\approx0,9545}

Nous pouvions trouver ce résultat par la propriété suivante de la loi normale : p(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)\approx0,95.

En effet,

p(8100<X<900)=p(9000-900<X<9000+900)\\\phantom{p(8100<X<9900)}=p(9000-2\times450<X<9000+2\times450)\\\phantom{p(8100<X<9900)}=p(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)\\\phantom{p(8100<X<9900)}\approx0,95

3.   Calculons la probabilité que le nombre de personnes contactées soit au moins 8750 en une semaine.

p(X>8750)=p(8750<X<9000)+p(X\ge9000)\\\phantom{p(X<9500)}=p(8750<X<9000)+0,5\\\phantom{p(X<9500)}\approx0,21+0,5\\\phantom{p(X<9500)}\approx0,71\\\\\Longrightarrow\boxed{p(X>8750)\approx0,71}

Avoir 3 chances sur 4 d'obtenir cet objectif signifie que la probabilité d'atteindre cet objectif est égale à 0,75.
Puisque 0,71 est inférieur à 0,75, nous avons moins de 3 chances sur 4 d'atteindre cet objectif.
6 points

exercice 4

Partie A


1.   Une diminution de 18 % correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 - 0,18 = 0,82.

c_2=0,82\times c_1\\\phantom{c_2}=0,82\times35\\\phantom{c_2}=28,7\\\\\Longrightarrow\boxed{c_2=28,7}\\\\c_3=0,82\times c_2\\\phantom{c_3}=0,82\times28,7\\\phantom{c_3}=23,534\\\\\Longrightarrow\boxed{c_3\approx23,5}

2. a)   Chaque terme de la suite (cn ), à partir du deuxième, est égal au précédent multiplié par le nombre constant 0,82.
Donc la suite (cn ) est une suite géométrique de raison 0,82 et dont le premier terme est c 1 = 35.

b)   Le terme général de la suite (cn ) est donné par  c_n=c_1\times0,82^{n-1} , soit  c_n=35\times(0,82)^{n-1}
Le rang correspondant au mois de décembre est n  = 12.

c_{12}=35\times(0,82)^{11}\approx3,945.
D'où le chiffre d'affaires pour le mois de décembre 2018 s'élève à environ 3,945 millions d'euros.

3.   Déterminons le plus petit entier naturel n pour lequel cn  < 5.

Par le tableur de la calculatrice, nous obtenons  c_{10}\approx5,87\ \ \text{et} \ \ c_{11}\approx4,81.

Nous en déduisons alors que le chiffre d'affaires mensuel sera pour la première fois inférieur à 5 millions d'euros au cours du mois de novembre.

4.   Algorithme complété :

Variables : U  nombre réel
                        N  nombre entier
Traitement : U  prend la valeur 35
                            N  prend la valeur 1
                             TANT QUE U  supegal  5
                                  U  prend la valeur 0,82 multiplie U 
                                  N  prend la valeur N  + 1
                             FIN TANT QUE
Sortie : AFFICHER N 

Partie B


1.   f(x)=\dfrac{15x+20}{x}\ \ \ \ \ \ \ \ \text{où }\ x\in[1\ ;\ 12]

f'(x)=\dfrac{(15x+20)'\times x-(15x+20)\times x'}{x^2}\\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{15\times x - (15x+20)\times1}{x^2}\\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{15x - (15x+20)}{x^2}\\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{15x - 15x-20}{x^2}\\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{-20}{x^2}\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{-20}{x^2}}

Variante de calcul :

f(x)=\dfrac{15x+20}{x}\\\\\phantom{f(x)}=\dfrac{15x}{x}+\dfrac{20}{x}\\\\\Longrightarrow\boxed{f(x)=15+\dfrac{20}{x}}\\\\f'(x)=15'+\left(\dfrac{20}{x}\right)'\\\\\phantom{f'(x)}=0-\dfrac{20}{x^2}\\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{20}{x^2}\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{-20}{x^2}}

Puisque -20 < 0 et x ² > 0, nous en déduisons que f' (x ) < 0 sur l'intervalle [1 ; 12].

2.   f(x)=15+\dfrac{20}{x}

x\in[1;12]\Longrightarrow x>0\\\\\phantom{x\in[1;12]}\Longrightarrow \dfrac{20}{x}>0\\\\\phantom{x\in[1;12]}\Longrightarrow 15+\dfrac{20}{x}>0+15\\\\\phantom{x\in[1;12]}\Longrightarrow\boxed{f(x)>15}

Par conséquent avec ce modèle, le chiffre d'affaires mensuel restera supérieur à 15 millions d'euros durant l'année 2018.

Variante :

Nous aurions pu démontrer cette proposition en utilisant la question précédente.

Nous avons montré dans la question 1 que f' (x ) < 0 sur l'intervalle [1 ; 12].
Donc la fonction f  est strictement décroissante sur l'intervalle [1 ; 12], ce qui implique que si x appartient [1 ; 12], alors f (x ) > f (12).
Or f (12) environegal 16,7.

D'où si x appartient [1 ; 12], alors f (x ) > 15.

Par conséquent avec ce modèle, le chiffre d'affaires mensuel restera supérieur à 15 millions d'euros durant l'année 2018.
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