On considère un dé cubique équilibré à six faces dont deux portent le chiffre 1 et les autres portent le chiffre 2.
On dispose de deux urnes U1 et U2 contenant des boules indiscernables au toucher. L'urne U1 contient une boule blanche et trois boules rouges. L'urne U2 contient deux boules blanches et deux boules rouges.
Une épreuve consiste à lancer une fois le dé. Si la face supérieure porte le chiffre 1, on tire au hasard une boule de l'urne U1. Si la face supérieure porte le chiffre 2, on tire au hasard une boule de l'urne U2.
On considère les événements suivants : D : "La face supérieure du dé porte le chiffre 1". B : "Tirer une boule blanche".
1. a) Nous devons calculer p(D).
Puisque le dé est équilibré, chaque face a la même probabilité d'apparaître sur la face supérieure.
Nous savons que 2 faces sur 6 portent le chiffre 1.
Donc soit
1. b) Construisons un arbre pondéré représentant la situation.
Nous savons que
Donc
Nous savons que (voir l'arbre du questionnaire).
Donc , soit
Nous savons que si l'événement est réalisé, nous tirons une boule dans l'urne U2.
Puisque cette urne U2 contient 2 boules blanches sur les 4 boules, nous en déduisons que dans ce cas,
Donc , soit
Arbre pondéré de probabilités :
2. a) Nous devons déterminer p(B).
Les événements et forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :
2. b) Sachant que l'on a tiré une boule blanche, nous devons déterminer la probabilité qu'elle provienne de l'urne U2.
La boule provient de l'urne U2 si et seulement si la face supérieure du dé porte le chiffre 2.
Dès lors, nous devons calculer
Par conséquent, sachant que l'on a tiré une boule blanche, la probabilité qu'elle provienne de l'urne U2 est égale à
3. On répète l'épreuve cinq fois de suite en remettant chaque fois la boule tirée dans son urne.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.
3. a) L'expérience consiste à répéter avec remise et de manière indépendante 5 fois le tirage d'une boule.
Lors de chaque tirage, deux résultats sont possibles :
le "succès" : la boule est blanche dont la probabilité est
l'"échec" : la boule est rouge dont la probabilité est
Nous en déduisons que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 5 et .
3. b) Nous devons déterminer
Par conséquent, la probabilité d'obtenir une seule fois une boule blanche est environ égale à 0,24 (valeur arrondie au centième près).
3. c) Soit q la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge.
Soit l'événement R : "obtenir au moins une boule rouge".
Alors l'événement contraire de R est "n'obtenir aucune boule rouge".
L'événement peut également se traduire par "obtenir 5 boules blanches".
5 points
exercice 2
1. b) Nous devons résoudre dans l'équation
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation (E ) est :
2. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct on considère les points A, B et C d'affixes respectives et
2. b) Montrons que le triangle OAC est rectangle isocèle en O.
Montrons que le triangle OAC est rectangle en O.
D'où le triangle OAC est rectangle en O.
Montrons que le triangle OAC est isocèle en O.
D'où le triangle OAC est isocèle en O.
Par conséquent, le triangle OAC est rectangle isocèle en O.
2. c) Nous devons montrer que le quadrilatère OABC est un carré.
Montrons que le quadrilatère OABC est un parallélogramme.
Par conséquent, le quadrilatère OABC est un parallélogramme.
Montrons que le parallélogramme OABC est un losange.
Un parallélogramme possédant deux côtés consécutifs de même longueur est un losange.
Puisque le triangle OAC est isocèle en O, nous savons que OA = OC.
Le parallélogramme OABC possède donc deux côtés consécutifs de même longueur.
Par conséquent, le parallélogramme OABC est un losange.
Montrons que le losange OABC est un carré en montrant que ce losange possède un angle droit.
Le triangle OAC est rectangle en O.
Le losange OABC possède donc un angle droit.
Par conséquent, le losange OABC est un carré.
En conclusion, le quadrilatère OABC est un carré.
3. a) Nous devons montrer que
3. b) Construction du point B.
Voir la figure ci-dessous.
3. c) Construction des points A et C.
Par le milieu H du segment [OB], traçons la droite (d) perpendiculaire à la droite (OB).
Sur la droite (d), plaçons les points A et C de part et d'autre de la droite (OB) tels que AH = HC = 2.
Les points O, A, B et C sont placés dans le sens direct (sens antihoraire).
4. Soit
On désigne par M le point du plan d'affixe
D'où
4. b) Le centre H du cercle circonscrit au triangle rectangle OAB est le milieu de l'hypoténuse [OB].
Puisque OB = 4, le rayon du cercle circonscrit au triangle OAB est égal à 2.
De plus,
Dès lors,
Par conséquent, lorsque varie dans le point M appartient au cercle de rayon 2, circonscrit au triangle OAB.
4 points
exercice 3
On considère les intégrales et
1. a) Pour tout
1. b) Calculons J.
2. a) Nous devons montrer que
2. b) En utilisant les résultats précédents, nous obtenons :
7 points
exercice 4
1. Selon l'énoncé, nous obtenons les résultats suivants.
1. a)La droite d'équation x = 0 est une asymptote à la courbe
Donc par analyse graphique,
La courbe admet une branche parabolique de direction au voisinage de +.
Donc par analyse graphique, et
1. b) représente le coefficient directeur de la tangente T à la courbe au point
Or la droite T admet pour équation :
Par conséquent,
1. c) Tableau de variation de la fonction f .
1. d) Nous savons que la fonction f est continue sur ]0 ; +[ car elle est dérivable sur cet intervalle.
La fonction f est strictement croissante sur ]0 ; +[.
De plus, f (]0 ; +[) = ]- ; +[.
D'après le théorème de la bijection, la fonction f réalise une bijection de ]0 ; +[ dans ]- ; +[.
2. Soit f-1 la fonction réciproque de f et sa courbe représentative dans
2. a) Les courbes et sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x .
Le point est donc le symétrique du point par rapport à la droite d'équation y = x .
D'où sa construction (voir le graphique - question 2. b).
2. b) Représentation de la courbe et de sa tangente T' au point d'abscisse 0.
Dans la suite, on donne , pour tout x ]0 ; +[.
3. a) Pour tout réel x, déterminons l'expression analytique de f-1(x ).
Par conséquent, pour tout réel x, l'expression analytique de la réciproque de f est
3. b) Pour tout réel x,
4. Soit l'aire de la partie du plan limitée par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives et
4. a) En vertu de la symétrie orthogonale par rapport à la droite d'équation y = x , nous déduisons que l'aire de la partie du plan limitée par la courbe ,
l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives et est égale à l'aire de la partie du plan
limitée par la courbe , l'axe des ordonnées et les droites d'équations respectives et ,
soit à l'aire de la partie du plan limitée par la droite d'équation , la courbe et les droites d'équations respectives et (voir le graphique - question 2. b).
D'où
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L'urne U1 contient une boule blanche et trois boules rouges.
D : "La face supérieure du dé porte le chiffre 1".=\dfrac{2}{6},)
soit =\dfrac{1}{3}}\,.})
=\dfrac{1}{3}.)
=1-p(D)=1-\dfrac{1}{3}})
=\dfrac{2}{3}})
=\dfrac{1}{4})
(voir l'arbre du questionnaire).=1-p_D(B)=1-\overset{{\white{.}}}{\dfrac{1}{4}}})
, soit =\dfrac{3}{4}}\,.)
est réalisé, nous tirons une boule dans l'urne U2.=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}.)
=1-p_{\overline{D}}(B)=1-\dfrac{1}{2}})
, soit =\dfrac{1}{2}}\,.)
et =p(D\cap B)+p(\overline{D}\cap B) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(B)}=p(D)\times p_D(B)+p(\overline{D})\times p_{\overline{D}}(B)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(B)}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(B)}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{2}{6}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{p(B)}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{4}{12}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{p(B)}=\dfrac{5}{12}} \\\\\Longrightarrow\boxed{p(B)=\dfrac{5}{12}})
.)
=\dfrac{p(B\cap\overline{D})}{p(B)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p_B(\overline{D})}=\dfrac{p(\overline{D})\times p_{\overline{D}}(B)}{p(B)}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p_B(\overline{D})}=\dfrac{\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{2}}{\dfrac{5}{12}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p_B(\overline{D})}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{5}{12}}=\dfrac{\dfrac{4}{12}}{\dfrac{5}{12}}=\dfrac{4}{5}} \\\\\Longrightarrow\boxed{p_B(\overline{D})=\dfrac{4}{5}})
=\dfrac{5}{12})
..})
=\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}\times\left(\dfrac{5}{12}\right)^1\times\left(\dfrac{7}{12}\right)^{5-1} \\\\\phantom{p(X=1)}=5\times\dfrac{5}{12}\times\left(\dfrac{7}{12}\right)^{4} \\\\\phantom{p(X=1)}=\dfrac{60\,025}{248\,832}\approx0,24 \\\\\Longrightarrow\boxed{p(X=1)\approx0,24})
"n'obtenir aucune boule rouge".
peut également se traduire par "obtenir 5 boules blanches".=1-p(\overline{R}) \\\phantom{\text{D'où }\;q=p(R)}=1-p(X=5) \\\phantom{\text{D'où }\;q=p(R)}=1-\begin{pmatrix}5\\5\end{pmatrix}\times\left(\dfrac{5}{12}\right)^5\times\left(\dfrac{7}{12}\right)^{5-5} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\;q=p(R)}=1-1\times\dfrac{3\,125}{248\,832}\times1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\;q=p(R)}=1-\dfrac{3\,125}{248\,832}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\;q=p(R)}=\dfrac{245\,707}{248\,832}\approx0,987} \\\\\Longrightarrow\boxed{q\approx0,987})
 }}}\;(2\sqrt{3}-2\text{i})^2=(2\sqrt{3})^2-2\times(2\sqrt{3})\times2\text{i}+(2\text{i})^2 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{\text{1. a) }}}\;(2\sqrt{3}-2\text{i})^2}=12-8\text{i}\sqrt{3}-4} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{\text{1. a) }}}\;(2\sqrt{3}-2\text{i})^2}=8-8\text{i}\sqrt{3}} \\\\\Longrightarrow\boxed{(2\sqrt{3}-2\text{i})^2=8-8\text{i}\sqrt{3}})
l'équation :z^2-2(1+\text{i}\sqrt{3})z+4(-1+\text{i}\sqrt{3})=0.)
![\underline{\text{Discriminant}}:\;\Delta=[-2(1+\text{i}\sqrt{3})]^2-4\times1\times4(-1+\text{i}\sqrt{3}) \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\;\Delta}=4(1^2+2\text{i}\sqrt{3}+(\text{i}\sqrt{3})^2)-16(-1+\text{i}\sqrt{3}) \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\;\Delta}=4(1+2\text{i}\sqrt{3}-3)-16(-1+\text{i}\sqrt{3}) \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\;\Delta}=4(-2+2\text{i}\sqrt{3})-16(-1+\text{i}\sqrt{3}) \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\;\Delta}=-8+8\text{i}\sqrt{3}+16-16\text{i}\sqrt{3} \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\;\Delta}=8-8\text{i}\sqrt{3} \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\;\Delta}=(2\sqrt{3}-2\text{i})^2\quad(\text{voir question 1. a})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\underline{\text{Discriminant}}:\;\Delta=[-2(1+\text{i}\sqrt{3})]^2-4\times1\times4(-1+\text{i}\sqrt{3}) \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\;\Delta}=4(1^2+2\text{i}\sqrt{3}+(\text{i}\sqrt{3})^2)-16(-1+\text{i}\sqrt{3}) \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\;\Delta}=4(1+2\text{i}\sqrt{3}-3)-16(-1+\text{i}\sqrt{3}) \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\;\Delta}=4(-2+2\text{i}\sqrt{3})-16(-1+\text{i}\sqrt{3}) \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\;\Delta}=-8+8\text{i}\sqrt{3}+16-16\text{i}\sqrt{3} \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\;\Delta}=8-8\text{i}\sqrt{3} \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\;\Delta}=(2\sqrt{3}-2\text{i})^2\quad(\text{voir question 1. a}))
+(2\sqrt{3}-2\text{i})}{2}=\dfrac{2+2\text{i}\sqrt{3}+2\sqrt{3}-2\text{i}}{2} \\\\\phantom{\underline{\text{Racines}}:\;z_1}=\dfrac{2(1+\sqrt{3}-\text{i}(1-\sqrt{3}))}{2}=1+\sqrt{3}-\text{i}(1-\sqrt{3}) \\\\\phantom{\underline{\text{Racines}}:}\;z_2=\dfrac{2(1+\text{i}\sqrt{3})-(2\sqrt{3}-2\text{i})}{2}=\dfrac{2+2\text{i}\sqrt{3}-2\sqrt{3}+2\text{i}}{2} \\\\\phantom{\underline{\text{Racines}}:\;z_2}=\dfrac{2(1-\sqrt{3}+\text{i}(1+\sqrt{3}))}{2}=1-\sqrt{3}+\text{i}(1+\sqrt{3}))
\,;\,1-\sqrt{3}+\text{i}(1+\sqrt{3})\right\rbrace}})
,)
on considère les points A, B et C d'affixes respectives \,,\;z_B=2+2\text{i}\sqrt{3})
et .)
![{\red{\text{2. a)}}}\;\text{i}z_A=\text{i}\left[\overset{}{1+\sqrt{3}-\text{i}(1-\sqrt{3})}\right] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{\text{2. a)}}}\;\text{i}z_A}=\text{i}(1+\sqrt{3})-\text{i}^2(1-\sqrt{3})} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{\text{2. a)}}}\;\text{i}z_A}=\text{i}(1+\sqrt{3})+(1-\sqrt{3})} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{\text{2. a)}}}\;\text{i}z_A}=1-\sqrt{3}+\text{i}(1+\sqrt{3})} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{{\red{\text{2. a)}}}\;\text{i}z_A}=z_C} \\\\\Longrightarrow\boxed{z_C=\text{i}z_A}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\red{\text{2. a)}}}\;\text{i}z_A=\text{i}\left[\overset{}{1+\sqrt{3}-\text{i}(1-\sqrt{3})}\right] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{\text{2. a)}}}\;\text{i}z_A}=\text{i}(1+\sqrt{3})-\text{i}^2(1-\sqrt{3})} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{\text{2. a)}}}\;\text{i}z_A}=\text{i}(1+\sqrt{3})+(1-\sqrt{3})} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{\text{2. a)}}}\;\text{i}z_A}=1-\sqrt{3}+\text{i}(1+\sqrt{3})} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{{\red{\text{2. a)}}}\;\text{i}z_A}=z_C} \\\\\Longrightarrow\boxed{z_C=\text{i}z_A})
Montrons que le triangle OAC est rectangle en O.![\left(\widehat{\overrightarrow{OA}\,,\overrightarrow{OC}}\right)=\arg\left(\dfrac{z_C}{z_A}\right) \\\phantom{\left(\widehat{\overrightarrow{OA}\,,\overrightarrow{OB}}\right)}=\arg(\text{i})\quad\; \text{car }z_C=\text{i}z_A \\\phantom{\left(\widehat{\overrightarrow{OA}\,,\overrightarrow{OB}}\right)}=\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi] \\\\\Longrightarrow\boxed{\left(\widehat{\overrightarrow{OA}\,,\overrightarrow{OC}}\right)=\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\widehat{\overrightarrow{OA}\,,\overrightarrow{OC}}\right)=\arg\left(\dfrac{z_C}{z_A}\right) \\\phantom{\left(\widehat{\overrightarrow{OA}\,,\overrightarrow{OB}}\right)}=\arg(\text{i})\quad\; \text{car }z_C=\text{i}z_A \\\phantom{\left(\widehat{\overrightarrow{OA}\,,\overrightarrow{OB}}\right)}=\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi] \\\\\Longrightarrow\boxed{\left(\widehat{\overrightarrow{OA}\,,\overrightarrow{OC}}\right)=\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]})
![\left\lbrace\begin{matrix}z_A=1+\sqrt{3}-\text{i}(1-\sqrt{3})\\\\z_B-z_C=(2+2\text{i}\sqrt{3})-[1-\sqrt{3}+\text{i}(1+\sqrt{3})]\end{matrix}\right. \\\\\\\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}z_A=1+\sqrt{3}-\text{i}(1-\sqrt{3})\\\\z_B-z_C=2+2\text{i}\sqrt{3}-1+\sqrt{3}-\text{i}-\text{i}\sqrt{3}\end{matrix}\right. \\\\\\\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}z_A=1+\sqrt{3}-\text{i}(1-\sqrt{3})\\\\z_B-z_C=1+\text{i}\sqrt{3}+\sqrt{3}-\text{i}\end{matrix}\right. \\\\\\\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}z_A={\red{1+\sqrt{3}-\text{i}(1-\sqrt{3})}}\\\\z_B-z_C={\red{1+\sqrt{3}-\text{i}(1-\sqrt{3})}}\end{matrix}\right. \\\\\\\Longrightarrow\boxed{z_A=z_B-z_C}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left\lbrace\begin{matrix}z_A=1+\sqrt{3}-\text{i}(1-\sqrt{3})\\\\z_B-z_C=(2+2\text{i}\sqrt{3})-[1-\sqrt{3}+\text{i}(1+\sqrt{3})]\end{matrix}\right. \\\\\\\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}z_A=1+\sqrt{3}-\text{i}(1-\sqrt{3})\\\\z_B-z_C=2+2\text{i}\sqrt{3}-1+\sqrt{3}-\text{i}-\text{i}\sqrt{3}\end{matrix}\right. \\\\\\\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}z_A=1+\sqrt{3}-\text{i}(1-\sqrt{3})\\\\z_B-z_C=1+\text{i}\sqrt{3}+\sqrt{3}-\text{i}\end{matrix}\right. \\\\\\\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}z_A={\red{1+\sqrt{3}-\text{i}(1-\sqrt{3})}}\\\\z_B-z_C={\red{1+\sqrt{3}-\text{i}(1-\sqrt{3})}}\end{matrix}\right. \\\\\\\Longrightarrow\boxed{z_A=z_B-z_C})
 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}}=4(\dfrac{1}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2})} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}}=\dfrac{4}{2}+\dfrac{4\text{i}\sqrt{3}}{2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}}=2+2\text{i}\sqrt{3}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}}=z_B} \\\\\Longrightarrow\boxed{z_B=4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}})
![\theta\in [0\,;\,\pi].](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\theta\in [0\,;\,\pi].)
 }\;}}M=B\quad\Longleftrightarrow\quad z_M=z_B \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{\text{4. a) }\;}}M=B}\quad\Longleftrightarrow\quad 1+\text{i}\sqrt{3}+2\text{e}^{\text{i}\theta}=2+2\text{i}\sqrt{3}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{\text{4. a) }\;}}M=B}\quad\Longleftrightarrow\quad 2\text{e}^{\text{i}\theta}=1+\text{i}\sqrt{3}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{\text{4. a) }\;}}M=B}\quad\Longleftrightarrow\quad \text{e}^{\text{i}\theta}=\dfrac{1}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{{\red{\text{4. a) }\;}}M=B}\quad\Longleftrightarrow\quad \cos\theta+\text{i}\sin\theta=\dfrac{1}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{{\red{\text{4. a) }\;}}M=B}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\cos\theta=\dfrac{1}{2}\\\\\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{{\red{\text{4. a) }\;}}M=B}\quad\Longleftrightarrow\quad \theta=\dfrac{\pi}{3}})
![HM=|z_M-z_H| \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{KM}=\left|(1+\text{i}\sqrt{3}+2\text{e}^{\text{i}\theta})-2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right|} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{KM}=\left|(2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}+2\text{e}^{\text{i}\theta})-2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right|} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{KM}=\left|2\text{e}^{\text{i}\theta}\right|} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{HM}=2} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,\theta\in[0\,;\,\pi],\;HM=2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?HM=|z_M-z_H| \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{KM}=\left|(1+\text{i}\sqrt{3}+2\text{e}^{\text{i}\theta})-2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right|} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{KM}=\left|(2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}+2\text{e}^{\text{i}\theta})-2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right|} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{KM}=\left|2\text{e}^{\text{i}\theta}\right|} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{HM}=2} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,\theta\in[0\,;\,\pi],\;HM=2})
varie dans ![\overset{{\white{.}}}{[0\,;\,\pi],}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{[0\,;\,\pi],})
le point M appartient au cercle de rayon 2, circonscrit au triangle OAB.^2}\,\text d x\end{aligned}})
et }\,\text d x\end{aligned}.})
![\overset{{\white{.}}}{x\in[\sqrt{\text{e}}\,;\,\text{e}\,]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{x\in[\sqrt{\text{e}}\,;\,\text{e}\,]})
![\dfrac{x}{x^2-1}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x^2-(x^2-1)}{x(x^2-1)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\dfrac{x}{x^2-1}-\dfrac{1}{x}}=\dfrac{x^2-x^2+1}{x(x^2-1)}}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\dfrac{x}{x^2-1}-\dfrac{1}{x}}=\dfrac{1}{x(x^2-1)}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in[\sqrt{\text{e}}\,;\,\text{e}\,],\;\dfrac{1}{x(x^2-1)}=\dfrac{x}{x^2-1}-\dfrac{1}{x}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\dfrac{x}{x^2-1}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x^2-(x^2-1)}{x(x^2-1)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\dfrac{x}{x^2-1}-\dfrac{1}{x}}=\dfrac{x^2-x^2+1}{x(x^2-1)}}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\dfrac{x}{x^2-1}-\dfrac{1}{x}}=\dfrac{1}{x(x^2-1)}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in[\sqrt{\text{e}}\,;\,\text{e}\,],\;\dfrac{1}{x(x^2-1)}=\dfrac{x}{x^2-1}-\dfrac{1}{x}})
}\,\text d x\end{aligned} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{J}=\begin{aligned}\int\nolimits_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}} \,\left(\dfrac{x}{x^2-1}-\dfrac{1}{x}\right)\,\text d x\end{aligned}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{J}=\begin{aligned}\int\nolimits_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}} \,\dfrac{x}{x^2-1}\,\text d x\end{aligned}-\begin{aligned}\int\nolimits_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}} \,\dfrac{1}{x}\,\text d x\end{aligned}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{J}=\dfrac{1}{2}\begin{aligned}\int\nolimits_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}} \,\dfrac{2x}{x^2-1}\,\text d x\end{aligned}-\begin{aligned}\int\nolimits_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}} \,\dfrac{1}{x}\,\text d x\end{aligned}})
![\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{J}=\dfrac{1}{2}\begin{aligned}\int\nolimits_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}} \,\dfrac{(x^2-1)'}{x^2-1}\,\text d x\end{aligned}-\begin{aligned}\int\nolimits_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}} \,\dfrac{1}{x}\,\text d x\end{aligned}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{J}=\dfrac{1}{2}\left[\overset{}{\ln|x^2-1|}\right]_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}}-\left[\overset{}{\ln|x|}\right]_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{J}=\dfrac{1}{2}\left[\overset{}{\ln(\text{e}^2-1)-\ln(\text{e}-1)}\right]-\left[\overset{}{\ln\text{e}-\ln\sqrt{\text{e}}}\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{J}=\dfrac{1}{2}\left[\overset{}{\ln\dfrac{\text{e}^2-1}{\text{e}-1}}\right]-\left[\overset{}{\ln\dfrac{\text{e}}{\sqrt{\text{e}}}}\right]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{J}=\dfrac{1}{2}\begin{aligned}\int\nolimits_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}} \,\dfrac{(x^2-1)'}{x^2-1}\,\text d x\end{aligned}-\begin{aligned}\int\nolimits_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}} \,\dfrac{1}{x}\,\text d x\end{aligned}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{J}=\dfrac{1}{2}\left[\overset{}{\ln|x^2-1|}\right]_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}}-\left[\overset{}{\ln|x|}\right]_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{J}=\dfrac{1}{2}\left[\overset{}{\ln(\text{e}^2-1)-\ln(\text{e}-1)}\right]-\left[\overset{}{\ln\text{e}-\ln\sqrt{\text{e}}}\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{J}=\dfrac{1}{2}\left[\overset{}{\ln\dfrac{\text{e}^2-1}{\text{e}-1}}\right]-\left[\overset{}{\ln\dfrac{\text{e}}{\sqrt{\text{e}}}}\right]} )
![\\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{J}=\dfrac{1}{2}\left[\overset{}{\ln\dfrac{(\text{e}-1)(\text{e}+1)}{\text{e}-1}}\right]-\left[\overset{}{\ln\sqrt{\text{e}}}\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{J}=\dfrac{1}{2}\left[\overset{}{\ln(\text{e}+1)}\right]-\overset{}{\dfrac{1}{2}}} \\\\\Longrightarrow\boxed{J=-\overset{}{\dfrac{1}{2}}+\dfrac{1}{2}\ln(\text{e}+1)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{J}=\dfrac{1}{2}\left[\overset{}{\ln\dfrac{(\text{e}-1)(\text{e}+1)}{\text{e}-1}}\right]-\left[\overset{}{\ln\sqrt{\text{e}}}\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{J}=\dfrac{1}{2}\left[\overset{}{\ln(\text{e}+1)}\right]-\overset{}{\dfrac{1}{2}}} \\\\\Longrightarrow\boxed{J=-\overset{}{\dfrac{1}{2}}+\dfrac{1}{2}\ln(\text{e}+1)})
}.})
![2K=\begin{aligned}\int\nolimits_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}} \,\dfrac{2x\ln x}{(x^2-1)^2}\,\text d x\end{aligned} \\\\\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\begin{aligned}\int\nolimits_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}} u(x)v'(x)\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}}-\begin{aligned}\int\nolimits_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}} u'(x)v(x)\,\text d x\end{aligned}}}. \\\\\left\lbrace\begin{matrix}u(x)=\ln x\phantom{wwwww}\Longrightarrow\phantom{ww}u'(x)=\dfrac{1}{x}\phantom{ww}\\v'(x)=\dfrac{2x}{(x^2-1)^2}\phantom{wwwwwwwv}\Longrightarrow\quad v(x)=\dfrac{\overset{}{-1}}{x^2-1}\phantom{ww}\end{matrix}\right.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?2K=\begin{aligned}\int\nolimits_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}} \,\dfrac{2x\ln x}{(x^2-1)^2}\,\text d x\end{aligned} \\\\\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\begin{aligned}\int\nolimits_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}} u(x)v'(x)\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}}-\begin{aligned}\int\nolimits_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}} u'(x)v(x)\,\text d x\end{aligned}}}. \\\\\left\lbrace\begin{matrix}u(x)=\ln x\phantom{wwwww}\Longrightarrow\phantom{ww}u'(x)=\dfrac{1}{x}\phantom{ww}\\v'(x)=\dfrac{2x}{(x^2-1)^2}\phantom{wwwwwwwv}\Longrightarrow\quad v(x)=\dfrac{\overset{}{-1}}{x^2-1}\phantom{ww}\end{matrix}\right.)
![\text{Dès lors, }\ 2K=\begin{aligned}\int\nolimits_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}} \,\dfrac{2x\ln x}{(x^2-1)^2}\;\text{d}x \end{aligned}=\left[\overset{}{\ln x\times\left(\dfrac{-1}{x^2-1}\right)}\right]\limits_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}}-\begin{aligned}\int\nolimits_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}}\dfrac{1}{x}\times\left(\dfrac{-1}{x^2-1}\right)\,\text d x\end{aligned} \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWxWW}=\left[\overset{}{\dfrac{-\ln x}{x^2-1}}\right]\limits_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}}+\begin{aligned}\int\nolimits_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}}\dfrac{1}{x(x^2-1)}\,\text d x\end{aligned} \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWxWW}=\left[\overset{}{\dfrac{-\ln x}{x^2-1}}\right]\limits_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}}+J](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{Dès lors, }\ 2K=\begin{aligned}\int\nolimits_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}} \,\dfrac{2x\ln x}{(x^2-1)^2}\;\text{d}x \end{aligned}=\left[\overset{}{\ln x\times\left(\dfrac{-1}{x^2-1}\right)}\right]\limits_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}}-\begin{aligned}\int\nolimits_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}}\dfrac{1}{x}\times\left(\dfrac{-1}{x^2-1}\right)\,\text d x\end{aligned} \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWxWW}=\left[\overset{}{\dfrac{-\ln x}{x^2-1}}\right]\limits_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}}+\begin{aligned}\int\nolimits_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}}\dfrac{1}{x(x^2-1)}\,\text d x\end{aligned} \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWxWW}=\left[\overset{}{\dfrac{-\ln x}{x^2-1}}\right]\limits_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}}+J)
(\text{e}+1)}+\dfrac{1}{2(\text{e}-1)}+J \\\\\phantom{WWWWWWWWWxWWWW}=\dfrac{-2+(\text{e}+1)}{2(\text{e}-1)(\text{e}+1)}+J \\\\\phantom{WWWWWWWWWxWWWW}=\dfrac{\text{e}-1}{2(\text{e}-1)(\text{e}+1)}+J \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWxWW}=\dfrac{1}{2(\text{e}+1)}+J \\\\\Longrightarrow\boxed{2K=J+\dfrac{1}{2(\text{e}+1)}})
}\\\overset{}{J=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\ln(\text{e}+1)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad 2K=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\ln(\text{e}+1)+\dfrac{1}{2(\text{e}+1)} \\\phantom{WWWWWWWWWWw}\Longrightarrow\quad \boxed{K=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\ln(\text{e}+1)+\dfrac{1}{4(\text{e}+1)}})
.)
=-\infty}\,.)
)
admet une branche parabolique de direction )
au voisinage de +
.=+\infty})
et }{x}=0.)
)
représente le coefficient directeur de la tangente T à la courbe .)
=\dfrac{4}{3}}\,.)
)
sa courbe représentative dans .)
)
est donc le symétrique du point )
par rapport à la droite d'équation y = x .
=\ln\left(\dfrac{x+\sqrt{x^2+4x}}{2}\right))
, pour tout x 
]0 ; +\quad\Longleftrightarrow\quad \ln\left(\dfrac{x+\sqrt{x^2+4x}}{2}\right)=y \\\phantom{y=f(x)\quad}\Longleftrightarrow\quad \dfrac{x+\sqrt{x^2+4x}}{2}=\text{e}^y \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{y=f(x)\quad}\Longleftrightarrow\quad x+\sqrt{x^2+4x}=2\text{e}^y} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{y=f(x)\quad}\Longleftrightarrow\quad \sqrt{x^2+4x}=2\text{e}^y-x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{y=f(x)\quad}\Longrightarrow\quad (\sqrt{x^2+4x})^2=(2\text{e}^y-x)^2})
\quad}\Longrightarrow\quad x^2+4x=4\text{e}^{2y}-4x\text{e}^{y}+x^2} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{y=f(x)\quad}\Longrightarrow\quad 4x=4\text{e}^{2y}-4x\text{e}^{y}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{y=f(x)\quad}\Longrightarrow\quad 4x+4x\text{e}^{y}=4\text{e}^{2y}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{y=f(x)\quad}\Longrightarrow\quad 4x(1+\text{e}^{y})=4\text{e}^{2y}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{y=f(x)\quad}\Longrightarrow\quad x(1+\text{e}^{y})=\text{e}^{2y}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{y=f(x)\quad}\Longrightarrow\quad x=\dfrac{\text{e}^{2y}}{1+\text{e}^{y}}} \\ {\white{vv}})
=\dfrac{\text{e}^{2x}}{1+\text{e}^{x}}.)
=\dfrac{\text{e}^{2x}}{1+\text{e}^{x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f^{-1}(x)}=\dfrac{\text{e}^{2x}\,{\red{+\,\text{e}^{x}-\text{e}^{x}}}}{1+\text{e}^{x}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f^{-1}(x)}=\dfrac{(\text{e}^{x}+\text{e}^{2x})-\text{e}^{x}}{1+\text{e}^{x}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f^{-1}(x)}=\dfrac{\text{e}^{x}(1+\text{e}^{x})-\text{e}^{x}}{1+\text{e}^{x}}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f^{-1}(x)}=\dfrac{\text{e}^{x}(1+\text{e}^{x})}{{1+\text{e}^{x}}}-\dfrac{\text{e}^{x}}{1+\text{e}^{x}}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f^{-1}(x)}=\text{e}^{x}-\dfrac{\text{e}^{x}}{1+\text{e}^{x}}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\R,\;f^{-1}(x)=\text{e}^{x}-\dfrac{\text{e}^{x}}{1+\text{e}^{x}}} )
l'aire de la partie du plan limitée par la courbe 
et 
est égale à l'aire de la partie du plan
limitée par la courbe 
et 
,
soit à l'aire de la partie du plan limitée par la droite d'équation 
et 
(voir le graphique - question 2. b).\right)\,\text d x\end{aligned}}\,.)
![{\red{\text{4. b) }}}\;\mathscr{A}=\begin{aligned}\int\nolimits_0^{\ln5}\left(\dfrac{25}{6}-f^{-1}(x)\right)\,\text d x\end{aligned} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWW}=\begin{aligned}\int\nolimits_0^{\ln5}\left(\dfrac{25}{6}-\text{e}^{x}+\dfrac{\text{e}^{x}}{1+\text{e}^{x}}\right)\,\text d x\end{aligned}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWW}=\left[\dfrac{25}{6}x-\text{e}^{x}+\ln(1+\text{e}^{x})\right]_0^{\ln5}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWW}=\left[\dfrac{25}{6}\ln5-\text{e}^{\ln5}+\ln(1+\text{e}^{\ln5})\right]-\left[\dfrac{25}{6}\times0-\text{e}^{0}+\ln(1+\text{e}^{0})\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWW}=\left[\dfrac{25}{6}\ln5-5+\ln(1+5)\right]-\left[0-1+\ln(1+1)\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWW}=\dfrac{25}{6}\ln5-5+\ln6+1-\ln2} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWW}=\dfrac{25}{6}\ln5-4+\ln\dfrac{6}{2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWW}=\dfrac{25}{6}\ln5-4+\ln3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\red{\text{4. b) }}}\;\mathscr{A}=\begin{aligned}\int\nolimits_0^{\ln5}\left(\dfrac{25}{6}-f^{-1}(x)\right)\,\text d x\end{aligned} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWW}=\begin{aligned}\int\nolimits_0^{\ln5}\left(\dfrac{25}{6}-\text{e}^{x}+\dfrac{\text{e}^{x}}{1+\text{e}^{x}}\right)\,\text d x\end{aligned}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWW}=\left[\dfrac{25}{6}x-\text{e}^{x}+\ln(1+\text{e}^{x})\right]_0^{\ln5}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWW}=\left[\dfrac{25}{6}\ln5-\text{e}^{\ln5}+\ln(1+\text{e}^{\ln5})\right]-\left[\dfrac{25}{6}\times0-\text{e}^{0}+\ln(1+\text{e}^{0})\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWW}=\left[\dfrac{25}{6}\ln5-5+\ln(1+5)\right]-\left[0-1+\ln(1+1)\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWW}=\dfrac{25}{6}\ln5-5+\ln6+1-\ln2} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWW}=\dfrac{25}{6}\ln5-4+\ln\dfrac{6}{2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWW}=\dfrac{25}{6}\ln5-4+\ln3})
Publié par malou
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