Un joueur de tennis participe à un tournoi.
Ce joueur ne passe au tour suivant que s'il gagne le match du tour qui le précède.
Pour remporter le trophée, il devra gagner trois matchs successifs (quart de finale, demi-finale et finale).
La probabilité qu'il gagne le match du quart de finale est 0,8.
La probabilité qu'il gagne le match de la demi-finale est 0,6.
La probabilité qu'il gagne le match du tour final est 0,4.
1. On considère les événements suivants :
A : " Le joueur quitte le tournoi dès le premier match ". B : " Le joueur atteint la finale ". C : " Le joueur quitte le tournoi après le match de la demi-finale ".
1. a) Nous devons déterminer p(A).
Si le joueur quitte le tournoi dès le premier match (le quart de finale), cela signifie qu'il a perdu ce match.
Or la probabilité qu'il gagne le match du quart de finale est 0,8.
La probabilité qu'il perde ce match est donc de 1 - 0,8 = 0,2.
D'où, p(A) = 0,2.
Arbre pondéré représentant la situation.
Nous devons déterminer p(B).
L'événement B est : Le joueur atteint la finale .
Cela signifie qu'il a gagné le match du quart de final et qu'il a gagné le match de la demi-finale.
1. b) Nous devons déterminer p(C).
L'événement C est : Le joueur quitte le tournoi après le match de la demi-finale .
Cela signifie qu'il a gagné le match du quart de final et qu'il a perdu le match de la demi-finale.
Or la probabilité qu'il gagne le match de la demi-finale est 0,6.
La probabilité qu'il perde ce match de demi-finale est donc de 1 - 0,6 = 0,4.
2. Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de matchs gagnés par ce joueur au cours du tournoi.
2. a) La variable aléatoire X peut prendre les valeurs 0, 1, 2 ou 3.
2. b) Nous devons montrer que p(X = 2) = 0,288.
Le joueur gagne exactement 2 matchs lors du tournoi.
Ce joueur a donc gagné le quart de finale, il a gagné la demi-finale et a perdu la finale.
A l'aide de l'arbre pondéré, nous déduisons que p(X = 2) = 0,8 0,6 0,6.
Par conséquent, p(X = 2) = 0,288.
2. c)X = 0 si le joueur perd le match de quart de finale.
Donc p(X = 0) = p(A) = 0,2.
X = 1 si le joueur quitte le tournoi après le match de la demi-finale.
Par conséquent, p(X = 1) = p(C) = 0,32.
X = 3 si le joueur gagne le tournoi.
Ce joueur a donc gagné le quart de finale, il a gagné la demi-finale et a gagné la finale.
A l'aide de l'arbre pondéré, nous déduisons que p(X = 3) = 0,8 0,6 0,4.
Par conséquent, p(X = 3) = 0,192.
Tableau résumant les résultats :
2. d)Calcul de l'espérance E (X ) de X .
Calcul de la variance V (X ) de X .
6 points
exercice 2
Soit f la fonction définie que ]- ; 2[ par et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
1. a) Nous devons calculer la limite de f en - et en 2-.
1. b) Nous savons que
Donc la droite d'équation y = 2 est une asymptote horizontale à la courbe (C) au voisinage de -.
Nous savons que
Donc la droite d'équation x = 2 est une asymptote verticale à la courbe (C).
2. a) La fonction f est dérivable sur ]- ; 2[.
Pour tout x ]- ; 2[,
2. b) Nous devons dresser le tableau de variation de f .
Pour tout x ]- ; 2[,
Donc la fonction f est strictement décroissante sur ]- ; 2[.
Tableau de variation de f
3. a) La fonction f est continue et strictement décroissante sur ]- ; 2[.
De plus, f (]- ; 2[) = ]- ; 2[.
D'après le théorème de la bijection, la fonction f réalise une bijection de ]- ; 2[ sur l'intervalle J = ]- ; 2[.
3. b) On note f-1 la fonction réciproque de f .
peut s'écrire :
La variable étant une variable muette, nous pouvons écrire : .
Par conséquent, pour tout x appartenant à J,
4. b) Représentation graphique des courbes (C) et (C').
Nous déduisons de la question 4. a) que la courbe (C) (en rouge) est l'image de la courbe (C') (en bleu) par une translation de vecteur
5. On note D la partie du plan limitée par les courbes (C) et (C') et les droites d'équations x = -1 et x = 0.
5. a) La partie D du plan est hachurée sur la figure 1.
5. b) La courbe (C) est au-dessus de la courbe (C') sur l'intervalle [-1 ; 0].
D'où, l'aire de la partie D en unité d'aire est donnée par :
Par conséquent, l'aire de la partie D est égale à 2 unités d'aire.
7 points
exercice 3
1. En utilisant le graphique nous obtenons les informations suivantes :
1. a)f (0) = 1 car la courbe () passe par le point A(0 ; 1).
f' (1) représente le coefficient directeur de la tangente () à la courbe () au point d'abscisse 1.
Or la droite () admet comme équation :
Son coefficient directeur est donc égal à -1 (coefficient de x ).
Par conséquent, f' (1) = -1.
1. b) Les solutions de l'équation f (x ) = 0 sont les abscisses des points d'intersection de la courbe () avec l'axe des abscisses.
Graphiquement, nous comptons trois points d'intersection.
D'où, l'équation f (x ) = 0 possède trois solutions dans .
1. c)
1. d) Tableau de variation de f .
2. L'expression de f est donnée par où a et b sont deux réels. 2. a) La fonction f est dérivable sur (fonction polynôme).
2. b) En utilisant la question 1. a), nous obtenons :
Par conséquent, l'expression de f est donnée par
3. Soit la solution de l'équation f (x ) = 0 qui appartient à l'intervalle ]2 ; 3[.
est solution de l'équation f (x ) = 0 signifie que f ()=0.
4. Soit E la partie du plan limitée par la courbe (), l'axe des abscisses et les droites d'équations x = et x = 3.
4. a) La partie E est hachurée dans le graphique ci-dessous.
4. b) Déterminons l'aire de E (en unité d'aire).
La fonction f est positive sur l'intervalle [ ; 3].
Donc l'aire est donnée par :
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A : " Le joueur quitte le tournoi dès le premier match ".
=0,8\times 0,6 \\\phantom{\text{Dès lors }\,p(B)}=0,48 \\\\\Longrightarrow\boxed{p(B)=0,48})
=0,8\times 0,4 \\\phantom{\text{Dès lors }\,p(C)}=0,32 \\\\\Longrightarrow\boxed{p(C)=0,32})
0,6 &&0,2&&&0,32&&&0,288&&&0,192&\\&&&&&&&&&&&&\\\hline \end{array})
=\sum x_i\times p(X=x_i) \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{E(X)}=0\times p(X=0)+1\times p(X=1)+2\times p(X=2)+3\times p(X=3)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{E(X)}=0\times 0,2+1\times 0,32+2\times 0,288+3\times 0,192} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{E(X)}=1,472} \\\\\Longrightarrow\boxed{E(X)=1,472})
=\sum x_i^2\times p(X=x_i)-(E(X))^2 \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{V(X)}=0^2\times p(X=0)+1^2\times p(X=1)+2^2\times p(X=2)+3^2\times p(X=3)-1,472^2} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{V(X)}=0\times 0,2+1\times 0,32+4\times 0,288+9\times 0,192-2,166784} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{V(X)}=1,033216} \\\\\Longrightarrow\boxed{V(X)=1,033216})
; 2[ par =\dfrac{2x-3}{x-2})
et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé .)
=\dfrac{2x-3}{x-2} =\dfrac{2x-4+1}{x-2} =\dfrac{2x-4}{x-2}+\dfrac{1}{x-2} =\dfrac{2(x-2)}{x-2}+\dfrac{1}{x-2} =2+\dfrac{1}{x-2} \\\\\Longrightarrow\boxed{f(x)=2+\dfrac{1}{x-2}} \\\\\\ \bullet\phantom{x}\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x-2}=0\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=2} \\\\\bullet\phantom{x}\lim\limits_{x\to2^-}\dfrac{1}{x-2}=-\infty\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}\boxed{\lim\limits_{x\to2^-}f(x)=-\infty})
=2.)
=-\infty.)
]-=\left(2+\dfrac{1}{x-2}\right)' \\\\\phantom{f'(x)}=2\,'+\left(\dfrac{1}{x-2}\right)' \\\\\phantom{f'(x)}=0+\dfrac{-(x-2)'}{(x-2)^2} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{-1}{(x-2)^2} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{-1}{(x-2)^2}})
=\dfrac{-1}{(x-2)^2}<0.)
&&-&||\\&&&||\\\hline&2&&||\\f(x)&&\searrow&||\\&&&-\infty||\phantom{xx..}\\ \hline \end{array})
=2+\dfrac{1}{x-2})
peut s'écrire : 
=2+\dfrac{1}{y-2}})
=2+\dfrac{1}{x-2}})
.=f(x)}\,.)
![{\red{\text{4. a) }}}g(x)=\dfrac{1}{x-2}\Longleftrightarrow g(x)+2=\dfrac{1}{x-2}+2 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{\text{4. a) }}}g(x)=\dfrac{1}{x-2}}\Longleftrightarrow g(x)+2=\dfrac{1+2(x-2)}{x-2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{\text{4. a) }}}g(x)=\dfrac{1}{x-2}}\Longleftrightarrow g(x)+2=\dfrac{1+2x-4}{x-2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{\text{4. a) }}}g(x)=\dfrac{1}{x-2}}\Longleftrightarrow g(x)+2=\dfrac{2x-3}{x-2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{{\red{\text{4. a) }}}g(x)=\dfrac{1}{x-2}}\Longleftrightarrow g(x)+2=f(x)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\,]-\infty\,;\,2[,\,f(x)=g(x)+2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\red{\text{4. a) }}}g(x)=\dfrac{1}{x-2}\Longleftrightarrow g(x)+2=\dfrac{1}{x-2}+2 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{\text{4. a) }}}g(x)=\dfrac{1}{x-2}}\Longleftrightarrow g(x)+2=\dfrac{1+2(x-2)}{x-2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{\text{4. a) }}}g(x)=\dfrac{1}{x-2}}\Longleftrightarrow g(x)+2=\dfrac{1+2x-4}{x-2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{\text{4. a) }}}g(x)=\dfrac{1}{x-2}}\Longleftrightarrow g(x)+2=\dfrac{2x-3}{x-2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{{\red{\text{4. a) }}}g(x)=\dfrac{1}{x-2}}\Longleftrightarrow g(x)+2=f(x)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\,]-\infty\,;\,2[,\,f(x)=g(x)+2})
de la partie D en unité d'aire est donnée par : ![\mathscr{D}=\begin{aligned}\int\nolimits_{-1}^{0} \left(\overset{}{f(x)-g(x)}\right)\,\text d x\end{aligned} =\begin{aligned}\int\nolimits_{-1}^{0} \left(\overset{}{g(x)+2-g(x)}\right)\,\text d x\end{aligned} \\\\=\begin{aligned}\int\nolimits_{-1}^{0} 2\,\text d x\end{aligned} = \left[\overset{}{2x}\right]_{-1}^{0} = 2\times0-2\times(-1) =2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathscr{D}=\begin{aligned}\int\nolimits_{-1}^{0} \left(\overset{}{f(x)-g(x)}\right)\,\text d x\end{aligned} =\begin{aligned}\int\nolimits_{-1}^{0} \left(\overset{}{g(x)+2-g(x)}\right)\,\text d x\end{aligned} \\\\=\begin{aligned}\int\nolimits_{-1}^{0} 2\,\text d x\end{aligned} = \left[\overset{}{2x}\right]_{-1}^{0} = 2\times0-2\times(-1) =2)
) passe par le point A(0 ; 1).
) à la courbe (
.=-\infty\phantom{ww}\text{et}\phantom{ww}\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.)
&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&\\&-\infty&&&&-\dfrac{1}{3}&&\\ \hline \end{array})
=\dfrac{1}{3}x^3+ax^2+b)
où a et b sont deux réels.=\dfrac{1}{3}\times(x^3)'+a\times(x^2)'+b' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{1}{3}\times(3x^2)+a\times(2x)+0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=x^2+2ax} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=x^2+2ax})
=1\\f\,'(1)=-1\end{matrix}\right.\phantom{ww}\Longleftrightarrow\phantom{ww}\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{1}{3}\times0^3+a\times0^2+b=1\\1^2+2a\times1=-1\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwwwwww}\phantom{ww}\Longleftrightarrow\phantom{ww}\left\lbrace\begin{matrix}b=1\\1+2a=-1\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwwwwww}\phantom{ww}\Longleftrightarrow\phantom{ww}\left\lbrace\begin{matrix}b=1\\2a=-2\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwwwwww}\phantom{ww}\Longleftrightarrow\phantom{ww}\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}b=1\\a=-1\end{matrix}\right.})
=\dfrac{1}{3}x^3-x^2+1)
la solution de l'équation f (x ) = 0 qui appartient à l'intervalle ]2 ; 3[.=\dfrac{1}{3}x^3-x^2+1\\\overset{{\white{.}}}{f(\alpha)=0\phantom{wwwwwww}}\end{matrix}\right.\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}\dfrac{1}{3}\alpha^3-\alpha^2+1=0 \\\phantom{wwwwwwwwwwwwwwww}\Longrightarrow\phantom{ww}\dfrac{1}{3}\alpha^3=\alpha^2-1 \\\phantom{wwwwwwwwwwwwwwww}\Longrightarrow\phantom{ww}\boxed{\alpha^3=3(\alpha^2-1)})
\Longrightarrow\alpha^3\times\alpha=3\times\alpha(\alpha^2-1) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\bullet{\phantom{w}}\alpha^3=3(\alpha^2-1)}\Longrightarrow\alpha^4=3(\alpha^3-\alpha)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\bullet{\phantom{w}}\alpha^3=3(\alpha^2-1)}\Longrightarrow\alpha^4=3\left(\overset{}{3(\alpha^2-1)-\alpha}\right)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\bullet{\phantom{w}}\alpha^3=3(\alpha^2-1)}\Longrightarrow\alpha^4=3(3\alpha^2-3-\alpha)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\bullet{\phantom{w}}\alpha^3=3(\alpha^2-1)}\Longrightarrow\boxed{\alpha^4=3(3\alpha^2-\alpha-3)} })
de E (en unité d'aire).![\mathscr{E}= \begin{aligned}\int\nolimits_{\alpha}^{3} f(x)\,\text d x\end{aligned}= \begin{aligned}\int\nolimits_{\alpha}^{3} \left(\dfrac{1}{3}x^3-x^2+1\right)\,\text d x\end{aligned}=\left[\dfrac{1}{3}\times\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^3}{3}+x\right]_{\alpha}^{3}\\\\\phantom{E}=\left[\dfrac{x^4}{12}-\dfrac{x^3}{3}+x\right]_{\alpha}^{3}=\left(\dfrac{3^4}{12}-\dfrac{3^3}{3}+3\right)-\left(\dfrac{\alpha^4}{12}-\dfrac{\alpha^3}{3}+\alpha\right) \\\\\phantom{E}=\left(\dfrac{81}{12}-\dfrac{27}{3}+3\right)-\left(\dfrac{\alpha^4}{12}-\dfrac{\alpha^3}{3}+\alpha\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathscr{E}= \begin{aligned}\int\nolimits_{\alpha}^{3} f(x)\,\text d x\end{aligned}= \begin{aligned}\int\nolimits_{\alpha}^{3} \left(\dfrac{1}{3}x^3-x^2+1\right)\,\text d x\end{aligned}=\left[\dfrac{1}{3}\times\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^3}{3}+x\right]_{\alpha}^{3}\\\\\phantom{E}=\left[\dfrac{x^4}{12}-\dfrac{x^3}{3}+x\right]_{\alpha}^{3}=\left(\dfrac{3^4}{12}-\dfrac{3^3}{3}+3\right)-\left(\dfrac{\alpha^4}{12}-\dfrac{\alpha^3}{3}+\alpha\right) \\\\\phantom{E}=\left(\dfrac{81}{12}-\dfrac{27}{3}+3\right)-\left(\dfrac{\alpha^4}{12}-\dfrac{\alpha^3}{3}+\alpha\right))
}{12}+\dfrac{3(\alpha^2-1)}{3}-\alpha \\\\\phantom{E}=\dfrac{3}{4}-\dfrac{3\alpha^2-\alpha-3}{4}+\alpha^2-1-\alpha =\dfrac{3}{4}-\dfrac{3\alpha^2}{4}+\dfrac{\alpha}{4}+\dfrac{3}{4}+\alpha^2-1-\alpha \\\\\phantom{E}=\dfrac{\alpha^2}{4}-\dfrac{3\alpha}{4}+\dfrac{1}{2} =\dfrac{1}{4}(\alpha^2-3\alpha+2) \\\\\Longrightarrow\boxed{\mathscr{E}=\dfrac{1}{4}(\alpha^2-3\alpha+2)\text{ u.a.}})
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