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Baccalauréat Mathématiques

STMG Remplacement

Métropole 2017

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Bac STMG Remplacement Métropole 2017

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5 points

exercice 1

Partie A


1.   Arbre pondéré représentant la situation :
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2.   L'événement  Q\cap S peut se traduire par : "le salarié a plus de quarante ans et préfère une salle de sport".

p(Q\cap S)=p(Q)\times p_Q(S)\\\phantom{p(Q\cap S)}=0,55\times0,4\\\phantom{p(Q\cap S)}=0,22\\\\\Longrightarrow\boxed{p(Q\cap S)=0,22}

3. a)   Selon la formule des probabilités totales, nous obtenons :

p(S)=p(Q\cap S)+p(\overline{Q}\cap S)\\\phantom{p(S)}=0,22+p(\overline{Q})\times p_{\overline{Q}}(S)\\\phantom{p(S)}=0,22+0,45\times 0,7\\\phantom{p(S)}=0,535\\\\\Longrightarrow\boxed{p(S)=0,535}

b)   Puisque p (S ) > 0,5, le choix le plus pertinent est la construction d'une salle de sport.

4.   La probabilité qu'un salarié favorable à la construction d'une salle de sport ait plus de quarante ans se calcule par p_S(Q).

p_S(Q)=\dfrac{p(Q\cap S)}{p(S)}\\\\\phantom{p_S(Q)}=\dfrac{0,22}{0,535}\\\\\phantom{p_S(Q)}\approx0,411\\\\\Longrightarrow\boxed{p_S(Q)\approx0,411}

Par conséquent la probabilité qu'un salarié favorable à la construction d'une salle de sport ait plus de quarante ans est environ égale à 0,411 (arrondie au millième).

Partie B


1.   X  suit la loi normale de moyenne mu = 100 et d'écart type sigma = 20.

Par la calculatrice, nous obtenons  p(60\le X\le140)\approx0,95449973

D'où la probabilité qu'un salarié de l'entreprise pratique entre 60 minutes et 140 minutes de sport par semaine est environ égale à 0,95 (arrondie au centième).

Nous pouvions trouver ce résultat par la propriété suivante de la loi normale : p(\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma)\approx0,95.

En effet,

p(60\le X\le140)=p(100-40\le X\le100+40)\\\phantom{p(60\le X\le140)}=p(100-2\times20\le X\le100+2\times20)\\\phantom{p(60\le X\le140)}=p(\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma)\\\phantom{p(60\le X\le140)}\approx0,95

2.   Nous devons déterminer p (X  supegal 140).

Par symétrie de la courbe de la fonction de densité, nous savons que  p(X\le\mu-2\sigma)=p(X\ge\mu+2\sigma) , soit que p (X  infegal 60) = p (X  supegal 140).

Nous avons alors :

p(X\le60)+p(60\le X\le140)+p(X\ge140)=1\\\Longleftrightarrow p(X\ge140)+0,95449973+p(X\ge140)\approx1\\\Longleftrightarrow 2\times p(X\ge140)\approx1-0,95449973\\\Longleftrightarrow 2\times p(X\ge140)\approx0,04550027\\\\\Longleftrightarrow p(X\ge140)\approx\dfrac{0,04550027}{2}\\\\\Longleftrightarrow\boxed{p(X\ge140)\approx0,022750135}

Par conséquent le pourcentage de salariés de l'entreprise qui utilisent suffisamment la salle de sport pour satisfaire à cette recommandation est environ égal à 2,3% (arrondi à 0,1%).

Partie C


1.   Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I300  au seuil de 95 % de la proportion de personnes satisfaites dans cet échantillon de 300 collègues.

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

\left\lbrace\begin{array}l n=300\ge30 \\ p=0,8\Longrightarrow np=300\times0,8=240>5 \\n(1-p)= 300\times(1-0,8)= 300\times0,2=60>5 \end{array}

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I300  au seuil de 95% est :

 I_{300}=\left[0,8-1,96\sqrt{\dfrac{0,8 (1-0,8)}{300}};0,8+1,96\sqrt{\dfrac{0,8 (1-0,8)}{300}}\right]\\\\\Longrightarrow I_{300}\approx[0,75;0,85]

2.   Alix constate que 228 collègues se déclarent satisfaits des installations sportives.

La fréquence observée des collègues satisfaits est  f=\dfrac{228}{300}=0,76

Nous remarquons que  f\in I_{300}.

Par conséquent au risque de se tromper de 5%, les résultats de l'enquête menée par Alix ne remettent pas en question les propos du président.

6 points

exercice 2

Partie A : Electricité provenant des énergies renouvelables en Belgique


1.   Nuage de points de coordonnées (xi  ; yi ) correspondant aux données concernant la Belgique.

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2.   Par la calculatrice, nous obtenons une équation de la droite d'ajustement affine suivant la méthode des moindres carrés : y  = 1,315x  + 1,402 (les coefficients sont arrondis au millième).

3. a)   Droite D  d'équation y  = 1,3x  + 1,4

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b)   2022 = 2005 + 17 implique le rang x  correspondant à l'année 2022 est x  = 17.
Remplaçons x  par 17 dans l'équation de D  et calculons le pourcentage d'électricité correspondant y .

y=1,3\times17+1,4\\\phantom{y}=23,5

D'où la part d'électricité issue des énergies renouvelables en 2022 est estimée à 23,5 % (arrondi à 0,1 %).

4.   Résolvons l'inéquation 1,3x  + 1,4 > 25.

1,3x+1,4>25\Longleftrightarrow1,3x>25-1,4\\\phantom{1,3x+1,4>25}\Longleftrightarrow1,3x>23,6\\\\\phantom{1,3x+1,4<25}\Longleftrightarrow x>\dfrac{23,6}{1,3}\\\\\text{Or  }\ \ \dfrac{23,6}{1,3}\approx18,1538

La plus petite valeur entière de x  sera donc x  = 19, ce qui correspond à l'année 2024.
D'où la part d'électricité issue des énergies renouvelables dépassera 25 % en Belgique à partir de l'année 2024.

Partie B : Electricité provenant des énergies renouvelables en France


1.   Le taux d'évolution global de la part d'électricité issue des énergies renouvelables en France entre 2010 et 2014 se calcule par

                                \dfrac{\text{Valeur finale - Valeur initiale}}{\text{Valeur initiale}}=\dfrac{18,3-14,8}{14,8}\approx0,236

Par conséquent entre 2010 et 2014, le taux d'évolution global de la part d'électricité issue des énergies renouvelables en France est environ de 23,6 % (arrondi à 0,1 %).

2.   Notons par T  le taux d'évolution global et par tm  le taux d'évolution annuel moyen.

Entre 2010 et 2014, le taux d'évolution annuel moyen de la part d'électricité issue des énergies renouvelables en France vérifie la relation  1+T=(1+t_m)^4.

\text{D'où   }\ \ 1+T=(1+t_m)^4\Longleftrightarrow1+0,236=(1+t_m)^4\\\\\phantom{\text{D'où   }\ \ 1+T=(1+t_m)^4}\Longleftrightarrow1,236=(1+t_m)^4\\\\\phantom{\text{D'où   }\ \ 1+T=(1+t_m)^4}\Longleftrightarrow1+t_m=1,236^{\frac{1}4{}}\\\\\phantom{\text{D'où   }\ \ 1+T=(1+t_m)^4}\Longleftrightarrow t_m=1,236^{\frac{1}4{}}-1\\\\\phantom{\text{D'où   }\ \ 1+T=(1+t_m)^4}\Longleftrightarrow t_m\approx0,0544

Par conséquent, le taux d'évolution annuel moyen de la part d'électricité issue des énergies renouvelables en France entre 2010 et 2014 est d'environ 5,5 % (arrondi à 0,1 %).

Interprétation de ce résultat :
Entre 2010 et 2014, la part d'électricité issue des énergies renouvelables en France a agmenté en moyenne de 5,5 % chaque année.

3.   Le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de 5,4 % est égal à 1 + 0,054 = 1,054.
Nous savons qu'en 2014, la part d'électricité issue des énergies renouvelables en France est de 18,3 %.
Sur la période allant de l'année 2014 à l'année 2022, il y a eu 8 hausses de 5,4 %.
1,0548 multiplie 18,3 environegal 27,87.

D'où pour l'année 2022, nous pouvons prévoir une part d'électricité issue des énergies renouvelables en France d'environ 27,87 %.
L'affirmation est donc exacte.

4 points

exercice 3

B(x)=40x^3-561x^2+1917x-200

Affirmation 1 :
Puisque x  représente le nombre de centaines de brosses à dents fabriquées et vendues, nous devons déterminer le signe de B (6).
Or, par le graphique ci-dessous, nous constatons que B (6) est négatif.

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D'où l'affirmation 1 est fausse.

Affirmation 2 :

B'(x)=(40x^3-561x^2+1917x-200)'\\\phantom{B'(x)}=(40x^3)'-(561x^2)'+(1917x)'-200'\\\phantom{B'(x)}=40\times3x^2-561\times2x+1917\times1-0\\\phantom{B'(x)}=120x^2-1122x+1917\\\\\Longrightarrow\boxed{B'(x)=120x^2-1122x+1917}
D'où l'affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3 :
La fonction B'  est une fonction trinôme du second degré.
Or une fonction trinôme du second degré admet au maximum deux racines distinctes.
D'où l'affirmation 3 est fausse.

Affirmation 4 :
Si le bénéfice hebdomadaire maximum était réalisé pour 224 brosses, alors le maximum de la fonction f  serait atteint pour x  = 2,24.
Verifions algébriquement si cette conjecture est vraie.

Résolvons l'équation B' (x ) = 0.

120x^2-1122x+1917=0\\\\\Delta=(-1122)^2-4\times120\times1917\\\phantom{\Delta}=1258884-920160\\\phantom{\Delta}=338724\\\\x_1=\dfrac{1122-\sqrt{338724}}{2\times120}=\dfrac{1122-582}{240}=2,25\Longrightarrow\boxed{x_1=2,25}\\\\x_2=\dfrac{1122+\sqrt{338724}}{2\times120}=\dfrac{1122+582}{240}=7,1\Longrightarrow\boxed{x_2=7,1}

Ce calcul précise la valeur conjecturée : le bénéfice hebdomadaire maximum est réalisé pour 225 brosses à dents fabriquées et vendues.

D'où l'affirmation 4 est fausse.

5 points

exercice 4

Partie A


1. a)   Chaque terme de la suite (un ), à partir du deuxième, est égal au précédent augmenté du nombre constant (-30).
Donc la suite (un ) est une suite arithmétique de raison -30 et dont le premier terme est u 0 = 600.

b)   u_n=u_0+n\times(-30)\Longrightarrow\boxed{u_n=600-30n}

\text{{\red{c)}}}\ \ u_{10}=600-30\times10\\\phantom{u_{10}}=600-300\\\phantom{u_{10}}=300\\\\\Longrightarrow\boxed{u_{10}=300}

Le rang 10 correspond à l'année 2015 + 10 = 2025.

Nous pouvons donc interpréter ce résultat en affirmant que le quota de pêche de cabillaud en 2025 sera de 300 tonnes.

2. a)   La formule à saisir dans la cellule B3 est \boxed{=\$B2-30}

b)   La formule à saisir dans la cellule C3 est \boxed{ =\$C2+\$B3}

3. a)   La quantité totale de cabillaud pêchée entre 2015 et 2025 est donnée par la somme

S=u_0+u_1+u_2+...+u_9+u_{10}.

S  est la somme des 11 premiers termes de la suite arithmétique (un ).

D'où

S=11\times\dfrac{u_0+u_{10}}{2}\\\\\phantom{S}=11\times\left(\dfrac{600+300}{2}\right)\\\\\phantom{S}=11\times450\\\phantom{S}=4950\\\\\Longrightarrow\boxed{u_0+u_1+u_2+...+u_9+u_{10}=4950}

Par conséquent, entre 2015 et 2025, il a été pêché 4950 tonnes de cabillaud.

b)   Nous savons par la question 1c) que le quota de pêche de cabillaud en 2025 est de 300 tonnes.
Donc, en 2026, le quota de pêche est de 300 - 30 = 270 tonnes.
Or la quantité totale de cabillaud pêché entre 2015 et 2025 s'élève à 4950 tonnes de cabillaud.
Puisque le stock de cabillaud de la région concernée était estimé à 5000 tonnes et que hors pêche, le stock reste constant à 5000 tonnes, il ne resterait à disposition que 5000 - 4950 = 50 tonnes de cabillaud.
D'où dans ces conditions, le quota de pêche de 270 tonnes engendrera la disparition du cabillaud.

Par conséquent, la réglementation adoptée ne permettra pas d'éviter à long terme la disparition du cabillaud des côtes des communes littorales concernées.

Partie B


1.   Une augmentation de 12 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,12 = 1,12.

Le stock de cabillaud pour année 2016 se calcule en multipliant le stock de l'année 2015 par 1,12 et en retranchant le quota de pêche de 500 tonnes.

D'où  v_1=1,12\times5000-500\Longrightarrow\boxed{v_1=5100}

2. a)   A l'aide de l'algorithme, établissons le tableau des valeurs de v  pour n  allant de 2 à 9.

(A noter deux erreurs dans l'énoncé proposé lorsque n  = 6 et n  = 7)

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Valeur de }n&2&3&4&5&6&7&8&{\red{9}} \\\hline \text{Valeur de }v&&&&&&&&&\text{(Arrondie à l'unité)}&5212&5337&5478&5635&5812&6009&6230&{\red{6478}}\\\hline \end{array}

Par conséquent lorsque l'utilisateur saisit la valeur n  = 9, la valeur affichée par l'algorithme est 6478.

b)   Cela signifie que le stock de cabillaud pour l'année 2015+9, soit pour l'année 2024, sera de 6478 tonnes avant que ne démarre la saison de pêche.
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