Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Mathématiques ES-L Pondichéry 2017

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La calculatrice est autorisée.


exercice 1-Commun à tous les candidats-(4 points)


Sujet Bac ES-L Obligatoire et spécialité Pondichery 2017 : image 2

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exercice 2-Commun à tous les candidats-(5 points)


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exercice 3-Candidats ayant suivi l'enseignement obligatoire-(5 points)


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exercice 3-Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité-(5 points)


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exercice 4-Commun à tous les candidats-(6 points)


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exercice 1 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS

1. f'(x) = 0 signifie que le coefficient directeur de la tangente à la courbe \mathscr{C} au point d'abscisse x est égal à 0, soit que la tangente à la courbe en ce point est horizontale.
Selon le graphique, nous pouvons conjecturer l'existence de deux points de \mathscr{C} en lesquels les tangentes sont horizontales.
Les abscisses de ces points appartiennent respectivement à l'intervalle [0 ; 1] et à l'intervalle [5 ; 6].

Réponse : (b) 2

2. f'(7) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe \mathscr{C} au point d'abscisse 7. Or la fonction est strictement décroissante sur l'intervalle [6 ; 8].
Donc au point de \mathscr{C} d'abscisse 7, ce coefficient directeur est strictement négatif.

Réponse : (c) strictement négatif

3. Sur l'intervalle [4 ; 7], les coefficients directeurs des tangentes à la courbe \mathscr{C} diminuent sans cesse en passant de nombres réels positifs à des nombres réels négatifs.
Puisque f'(x) représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe \mathscr{C} au point d'abscisse x, les valeurs de f'(x) diminuent sans cesse sur l'intervalle [4 ; 7].
La fonction dérivée f' est donc décroissante sur l'intervalle [4 ; 7]

Réponse : (c) décroissante sur [4 ; 7]

4. La fonction f est deux fois dérivable sur l'intervalle ]0 ; 10].
La courbe \mathscr{C} admettra un point d'inflexion sur l'intervalle ]0 ; 10] si et seulement si la dérivée seconde f" s'annule en changeant de signe en une valeur x de cet intervalle.

Or f''(x)=(\ln x-\dfrac{x}{2}+1)'=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}

f''(x)=0\Longleftrightarrow\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}=0 \Longleftrightarrow\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow x=2
Parmi les réponses proposées, la seule abscisse correcte est l'abscisse 2.

Réponse : (c) d'abscisse 2



exercice 2 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS

Partie A


1. Arbre de probabilité

Sujet Bac ES-L Obligatoire et spécialité Pondichery 2017 : image 18


2. a) L'événement "La personne choisie a terminé le marathon en moins de 234 minutes et est âgée de plus de 60 ans" se traduit par A\cap\overline{B}.

En utilisant l'arbre pondéré, nous obtenons :

P(A\cap\overline{B})=P(A)\times P_A(\overline{B})\\\\P(A\cap\overline{B})=0,34\times0,05 \\\\\boxed{P(A\cap\overline{B})=0,017}

b) En utilisant la formule de Bayes (probabilités totales), nous obtenons :

P(\overline{B})=P(A\cap\overline{B})+P(\overline{A}\cap\overline{B})\\\\P(\overline{B})=P(A)\times P_A(\overline{B})+P(\overline{A})\times P_{\bar{A}}(\overline{B}) \\\\P(\overline{B})=0,34\times0,05+0,66\times0,16\\\\P(\overline{B})=0,1226
En arrondissant cette valeur à 10^{-3}, nous trouvons : \boxed{P(\overline{B})\approx0,123}

c) Nous savons que P_{\bar{B}}(A)=\dfrac{P(A\cap\overline{B})}{P(\overline{B})}

Donc P_{\bar{B}}(A)\approx\dfrac{0,017}{0,123}\Longrightarrow\boxed{P_{\bar{B}}(A)\approx0,138}

Interprétation :

Parmi les joueurs ayant plus de 60 ans, 13,8 % environ parmi eux ont terminé le marathon en moins de 234 minutes.


Partie B


1. Par la calculatrice, nous obtenons : P(210\le T\le270)\approx0,54343114

En arrondissant cette valeur à 10^{-3}, nous trouvons : \boxed{P(210\le T\le270)\approx0,543}

2. L'événement "Le coureur a mis entre 210 minutes et 270 minutes pour finir le marathon" se traduit par

210\le T\le270

L'événement "Le coureur a terminé sa course en moins de 240 minutes" se traduit par

T\le240

La question posée revient à calculer P_{210\le T\le270}(T\le240)

P_{210\le T\le270}(T\le240)=\dfrac{P((T\le240)\cap(210\le T\le270))}{P(210\le T\le270)}

Or (T\le240)\cap(210\le T\le270)=210\le T\le240 et par la calculatrice, P(210\le T\le240)\approx0,246

D'où

P_{210\le T\le270}(T\le240)=\dfrac{P(210\le T\le240)}{P(210\le T\le270)}\\\\P_{210\le T\le270}(T\le240)\approx\dfrac{0,246}{0,543}\\\\\Longrightarrow\boxed{P_{210\le T\le270}(T\le240)\approx0,453}

3. a) P(T\le 300)=0,5+P(250\le T\le300)

P(T\le 300)\approx0,5+0,40008767\\\\\Longrightarrow\boxed{P(T\le 300)\approx0,9}

b) Nous savons que P(T\ge t)+P(T\le t)=1

Donc \\\ 0,9+P(T\le t)=1

P(T\le t)=1-0,9\\\\P(T\le t)=0,1
Par la calculatrice, nous trouvons : \boxed{t\approx200}

c) Interprétation :

90% des participants ont couru le marathon en plus de 200 minutes.



exercice 3 - CANDIDATS AYANT SUIVI L'ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

1. u_1=0,8u_0+45

u_1=0,8\times150+45\\\\u_1=120+45\\\\\boxed{u_1=165}

u_2=0,8u_1+45

u_2=0,8\times165+45\\\\u_2=132+45\\\\\boxed{u_2=177}

2. a) L'algorithme permettant de calculer puis d'afficher le plus petit entier naturel n tel que u_n\ge220 est l'algorithme 2.
L'algorithme 1 affichera 0 et ne fera aucun calcul puisque la condition n'est pas vérifiée par la première valeur de U qui est égale à 150.

b) En exécutant l'algorithme, nous obtenons u_{12}\approx219,8460392 et u_{13}\approx220,8768314
L'algorithme 2 s'arrêtera donc à la valeur N = 13 puisque 220,8768314 > 220.

3. a) v_{n+1}=u_{n+1}-225

v_{n+1}=(0,8u_n+45)-225\\\\v_{n+1}=0,8u_n+45-225\\\\v_{n+1}=0,8u_n-180\\\\v_{n+1}=0,8u_n-0,8\times225\\\\v_{n+1}=0,8(u_n-225)\\\\\boxed{v_{n+1}=0,8v_n}

D'où (v_n) est une suite géométrique de raison 0,8 et dont le premier terme est

v_0=u_0-225=150-225=-75

b) Le terme général de la suite (v_n) est v_n=v_0\times0,8^n, soit v_n=-75\times0,8^n
Or v_n=u_n-225\Longrightarrow u_n=225+v_n

Nous en déduisons donc que pour tout entier naturel n, \boxed{u_n=225-75\times0,8^n}

4. Soit X_n le nombre de participants en 2015+n
Alors X_0=150 puisque le nombre de participants en 2015 est égal à 150.
De plus, si d'une année à la suivante, 20% des participants quittent la course, nous pouvons supposer que 80% des participants reviennent l'année suivante, soit un nombre égal à 0,8\times X_n
A ce nombre, nous ajoutons les 45 nouveaux participants.

Donc X_{n+1}=0,8\times X_n+45

Nous retrouvons ainsi la suite u_n définie en début d'énoncé.

Par conséquent, \boxed{X_{n}=225-75\times0,8^n}

Nous déterminerons le nombre n de participants pour que le nombre total de participants ne dépasse pas 250 en résolvant l'inéquation X_n\le250

225-75\times0,8^n\le250\\\\-75\times0,8^n\le250-225\\\\-75\times0,8^n\le25

Cette dernière inéquation est vérifiée par toutes les valeurs entières naturelles n puisque quel que soit le nombre naturel n, nous avons : 0,8^n>0\Longrightarrow-75\times0,8^n<0
L'inéquation X_n\le250 est donc vérifiée pour toutes les valeurs entières naturelles n.

Nous en déduisons que le nombre de participants sera toujours inférieur à 250 et de ce fait, aucune inscription ne devra être refusée.


exercice 3 - CANDIDATS AYANT SUIVI L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

1. a) Déterminons d'abord le degré de chaque sommet du graphe.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Sommet}&A&B&C&M&N&W\\\hline\text{Degré}&2&2&4&3&3&4\\\hline \end{array}

Puisque ce graphe possède exactement deux sommets de degré impair, il admet une chaîne eulérienne.
Par conséquent, il existe un trajet qui permet à Alexis d'emprunter chaque liaison aérienne une et une seule fois.

b. Exemple d'un tel trajet : N - B - C - W - M - N - W - A - C - M.

2. Utilisons l'algorithme de Dijkstra afin de déterminer le trajet le moins cher reliant Boston à Miami ainsi que le coût de ce trajet.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline&A&B&C&M&N&W\\\hline B&&\ \ \ 0\ \ \ &&&&\\\hline C&&&130_B&&170_B&\\\hline N&230_C&&&280_C&170_B&250_C\\\hline A&230_C&&&280_C&&250_C\\\hline W&&&&280_C&&250_C\\\hline M&&&&280_C&&\\ \hline \end{array}

Nous en déduisons que le trajet le moins cher est le trajet B - C - M.

Le trajet B - C coûte 130 dollars et le trajet C - M coûte 150 dollars
Donc le coût minimal pour relier Boston à Miami s'élève à 130 + 150 = 280 dollars

3. a) Matrice adjacente P de ce graphe

P=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\  1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\  0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\  0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\  1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

b) Puisque Alexis souhaite utiliser au maximum trois liaisons, nous calculerons P^2 et P^3.

P^2=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1\\  1 & 2 & 0 & 2 & 0 & 2\\  1 & 0 & 4 & 1 & 3 & 2\\  2 & 2 & 1 & 3 & 1 & 2\\  1 & 0 & 3 & 1 & 3 & 1\\  1 & 2 & 2 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}

P^3=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 6 & 3 & 4 & 6\\  2 & 0 & 7 & 2 & 6 & 3\\  6 & 7 & 4 & 9 & 3 & 9\\  3 & 2 & 9 & 4 & 7 & 7\\  4 & 6 & 3 & 7 & 2 & 8\\  6 & 3 & 9 & 7 & 8 & 6 \end{pmatrix}

L'élément (1;2) des matrices P, P^2 et P^3 donne le nombre de trajets Atlanta-Boston respectivement à 1, 2 et 3 liaisons.

Nous déduisons donc qu'il n'y a pas de trajet direct A - B (évident!), qu'il y a un trajet en deux liaisons (le trajet A-C-B) et deux trajets en trois liaisons (les trajets A-W-C-B et A-W-N-B).
Il existe donc trois trajets possibles.



exercice 4 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS

Partie A


1. Les solutions de l'équation f(x) = 10 sont les abscisses des points d'intersection de la courbe \mathscr{C} avec la droite horizontale d'équation y = 10.
Si x_1 et x_2 sont les solutions de cette équation, alors \boxed{0<x_1<1} et \boxed{2<x_2<3}.

2. Le maximum de la fonction f est environ égal à 14,8 et semble être atteint pour x = 1.

3. La fonction f est continue et positive sur l'intervalle [0 ; 7].

D'où \int\limits_0^3f(x)\,dx exprime l'aire du domaine compris entre la courbe \mathscr{C}, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 1 et x = 3.
Les graphiques suivants montrent que la seule réponse correcte est la réponse \boxed{\text{(b)}\ [18;26]}
. .
Sujet Bac ES-L Obligatoire et spécialité Pondichery 2017 : image 20
. .
Sujet Bac ES-L Obligatoire et spécialité Pondichery 2017 : image 19


Partie B


1. Calcul de la dérivée f'(x)

f'(x)=(2xe^{-x+3})'\\\\f'(x)=(2x)'\times e^{-x+3}+2x\times(e^{-x+3})'\\\\f'(x)=2\times e^{-x+3}+2x\times(-e^{-x+3})\\\\f'(x)=2e^{-x+3}-2xe^{-x+3}\\\\\boxed{f'(x)=(-2x+2)e^{-x+3}}

2.a) Puisque la fonction exponentielle est strictement positive, le signe de la dérivée f' est celui de (-2x+2)

-2x+2=0\Longleftrightarrow x=1\\-2x+2>0\Longleftrightarrow x<1\\-2x+2<0\Longleftrightarrow x>1
Nous obtenons ainsi le tableau de variation de la fonction f :

\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&0&&1&&7\\\hline -2x+2&&+&0&-&\\\hline f'(x)&&+&0&-&\\\hline &&&2e^2&& \\ f(x)&&\nearrow&&\searrow& \\ &0&&&&14e^{-4}\\ \hline \end{array}

b) La fonction f admet un maximum égal à 2e^2. Ce maximum est atteint pour x = 1.

3. a) La fonction f est continue et strictement croissante sur [0 ; 1].

10\in[0;2e^2]\Longrightarrow10\in[f(0);f(1)]

En appliquant le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 10 admet une unique solution \alpha dans l'intervalle [0 ; 1].

La fonction f est continue et strictement croissante sur [1 ; 7].

10\in[2e^2;14e^{-4}]\Longrightarrow10\in[f(1);f(7)]

En appliquant le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 10 admet une unique solution \beta dans l'intervalle [1 ; 7].

Par conséquent, l'équation f(x) > 10 admet deux solutions \alpha et \beta sur l'intervalle [0 ; 7].

b) Selon l'énoncé, nous savons que \boxed{\alpha\approx0,36}
En utilisant la fonction TABLE de la calculatrice, nous trouvons \boxed{\beta\approx2,16}

4. F(x)=(-2x-2)e^{-x+3}

a) Les fonctions F et f étant définies sur le même ensemble, F est une primitive de f si et seulement si F' = f.

F'(x)=[(-2x-2)e^{-x+3}]'\\\\F'(x)=(-2x-2)'\times e^{-x+3}+(-2x-2)\times (e^{-x+3})'\\\\F'(x)=(-2)\times e^{-x+3}+(-2x-2)\times (-e^{-x+3})\\\\F'(x)=-2e^{-x+3}+2xe^{-x+3}+2e^{-x+3}\\\\F'(x)=2xe^{-x+3}\\\\\boxed{F'(x)=f(x)}

D'où F est une primitive de f.

b) La fonction f ne prenant que des valeurs positives sur [1 ; 3], l'aire demandée est donnée par :

\int\limits_1^3f(x)\,dx=\left[F(x)\right]\limits_1^3=F(3)-F(1)\\\\\int\limits_1^3f(x)\,dx=(-2\times3-2)e^{-3+3}-(-2\times1-2)e^{-1+3}\\\\\int\limits_1^3f(x)\,dx=-8e^{0}-(-4)e^{2}=-8\times1+4e^{2}\\\\\int\limits_1^3f(x)\,dx=4e^{2}-8]

Par conséquent, l'aire du domaine plan délimité par les droites d'équation x = 1, x = 3, l'axe des abscisses et la courbe \mathscr{C} est égale à \boxed{(4e^{2}-8)\ \tex{u. a.}}

5. a) La valeur moyenne du bénéfice, en milliers d'euros, lorsque l'entreprise vend entre 100 et 300 objets est donnée par :

m=\dfrac{1}{3-1}\int\limits_1^3f(x)\,dx\\\\m=\dfrac{1}{2}(4e^2-8)\\\\m=2e^2-4\\\\m\approx10,778

D'où lorsque l'entreprise vend entre 100 et 300 objets, le bénéfice moyen, à l'euro près, est de 10 778 euros.

b) La question revient à résoudre l'inéquation f(x) > 10.
Par les questions précédentes, nous pouvons dresser le tableau de variation de f suivant :

\begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline x&0&&\alpha\approx0,36&&1&&\beta\approx2,16&&7\\\hline &&&&&2e^2&&&& \\ &&&&\nearrow&&\searrow&&&\\ f(x)&&&10&&&&10&&\\ &&\nearrow&&&&&&\searrow& \\ &0&&&&&&&&14e^{-4}\\ \hline \end{array}

Nous en déduisons que f(x)>10\Longleftrightarrow 0,36<x<2,16

Par conséquent, pour que le bénéfice soit supérieur à 10 000 euros, l'entreprise devra vendre entre 36 et 216 objets.
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