1.f'(x) = 0 signifie que le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse x est égal à 0,
soit que la tangente à la courbe en ce point est horizontale.
Selon le graphique, nous pouvons conjecturer l'existence de deux points de en lesquels les tangentes sont horizontales.
Les abscisses de ces points appartiennent respectivement à l'intervalle [0 ; 1] et à l'intervalle [5 ; 6].
Réponse : (b) 2
2.f'(7) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 7.
Or la fonction est strictement décroissante sur l'intervalle [6 ; 8].
Donc au point de d'abscisse 7, ce coefficient directeur est strictement négatif.
Réponse : (c) strictement négatif
3. Sur l'intervalle [4 ; 7], les coefficients directeurs des tangentes à la courbe diminuent sans cesse
en passant de nombres réels positifs à des nombres réels négatifs.
Puisque f'(x) représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse x,
les valeurs de f'(x) diminuent sans cesse sur l'intervalle [4 ; 7].
La fonction dérivée f' est donc décroissante sur l'intervalle [4 ; 7]
Réponse : (c) décroissante sur [4 ; 7]
4. La fonction f est deux fois dérivable sur l'intervalle ]0 ; 10].
La courbe admettra un point d'inflexion sur l'intervalle ]0 ; 10]
si et seulement si la dérivée seconde f" s'annule en changeant de signe en une valeur x de cet intervalle.
Or
Parmi les réponses proposées, la seule abscisse correcte est l'abscisse 2.
Réponse : (c) d'abscisse 2
5 points
exercice 2 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS
Partie A
1.Arbre de probabilité
2. a) L'événement "La personne choisie a terminé le marathon en moins de 234 minutes
et est âgée de plus de 60 ans" se traduit par .
En utilisant l'arbre pondéré, nous obtenons :
b) En utilisant la formule de Bayes (probabilités totales), nous obtenons :
En arrondissant cette valeur à , nous trouvons :
c) Nous savons que
Donc
Interprétation :
Parmi les joueurs ayant plus de 60 ans, 13,8 % environ parmi eux ont terminé le marathon en moins de 234 minutes.
Partie B
1. Par la calculatrice, nous obtenons :
En arrondissant cette valeur à , nous trouvons :
2. L'événement "Le coureur a mis entre 210 minutes et 270 minutes pour finir le marathon" se traduit par
L'événement "Le coureur a terminé sa course en moins de 240 minutes" se traduit par
La question posée revient à calculer
Or et par la calculatrice,
D'où
3. a)
b) Nous savons que
Donc
Par la calculatrice, nous trouvons :
c)Interprétation :
90% des participants ont couru le marathon en plus de 200 minutes.
5 points
exercice 3 - CANDIDATS AYANT SUIVI L'ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
1.
2. a) L'algorithme permettant de calculer puis d'afficher le plus petit entier naturel n tel que
est l'algorithme 2.
L'algorithme 1 affichera 0 et ne fera aucun calcul puisque la condition n'est pas vérifiée par la première valeur de U qui est égale à 150.
b) En exécutant l'algorithme, nous obtenons et
L'algorithme 2 s'arrêtera donc à la valeur N = 13 puisque 220,8768314 > 220.
3. a)
D'où est une suite géométrique de raison 0,8 et dont le premier terme est
b) Le terme général de la suite est , soit
Or
Nous en déduisons donc que pour tout entier naturel n,
4. Soit le nombre de participants en
Alors puisque le nombre de participants en 2015 est égal à 150.
De plus, si d'une année à la suivante, 20% des participants quittent la course, nous pouvons supposer que 80% des participants reviennent l'année suivante, soit un nombre égal à
A ce nombre, nous ajoutons les 45 nouveaux participants.
Donc
Nous retrouvons ainsi la suite définie en début d'énoncé.
Par conséquent,
Nous déterminerons le nombre n de participants pour que le nombre total de participants ne dépasse pas 250 en résolvant l'inéquation
Cette dernière inéquation est vérifiée par toutes les valeurs entières naturelles n puisque quel que soit le nombre naturel n, nous avons :
L'inéquation est donc vérifiée pour toutes les valeurs entières naturelles n.
Nous en déduisons que le nombre de participants sera toujours inférieur à 250 et de ce fait, aucune inscription ne devra être refusée. 5 points
exercice 3 - CANDIDATS AYANT SUIVI L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
1. a) Déterminons d'abord le degré de chaque sommet du graphe.
Puisque ce graphe possède exactement deux sommets de degré impair, il admet une chaîne eulérienne.
Par conséquent, il existe un trajet qui permet à Alexis d'emprunter chaque liaison aérienne une et une seule fois.
b. Exemple d'un tel trajet : N - B - C - W - M - N - W - A - C - M.
2. Utilisons l'algorithme de Dijkstra afin de déterminer le trajet le moins cher reliant Boston à Miami ainsi que le coût de ce trajet.
Nous en déduisons que le trajet le moins cher est le trajet B - C - M.
Le trajet B - C coûte 130 dollars et le trajet C - M coûte 150 dollars
Donc le coût minimal pour relier Boston à Miami s'élève à 130 + 150 = 280 dollars
3. a) Matrice adjacente P de ce graphe
b) Puisque Alexis souhaite utiliser au maximum trois liaisons, nous calculerons et .
L'élément (1;2) des matrices , et donne le nombre de trajets Atlanta-Boston
respectivement à 1, 2 et 3 liaisons.
Nous déduisons donc qu'il n'y a pas de trajet direct A - B (évident!), qu'il y a un trajet en deux liaisons (le trajet A-C-B)
et deux trajets en trois liaisons (les trajets A-W-C-B et A-W-N-B).
Il existe donc trois trajets possibles.
6 points
exercice 4 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS
Partie A
1. Les solutions de l'équation f(x) = 10 sont les abscisses des points d'intersection de la courbe
avec la droite horizontale d'équation y = 10.
Si et sont les solutions de cette équation, alors et .
2. Le maximum de la fonction f est environ égal à 14,8 et semble être atteint pour x = 1.
3. La fonction f est continue et positive sur l'intervalle [0 ; 7].
D'où exprime l'aire du domaine compris entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 1 et x = 3.
Les graphiques suivants montrent que la seule réponse correcte est la réponse
. .. .
Partie B
1. Calcul de la dérivée f'(x)
2.a) Puisque la fonction exponentielle est strictement positive, le signe de la dérivée f' est celui de (-2x+2)
Nous obtenons ainsi le tableau de variation de la fonction f :
b) La fonction f admet un maximum égal à . Ce maximum est atteint pour x = 1.
3. a) La fonction f est continue et strictement croissante sur [0 ; 1].
En appliquant le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 10 admet une unique solution dans l'intervalle [0 ; 1].
La fonction f est continue et strictement croissante sur [1 ; 7].
En appliquant le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 10 admet une unique solution dans l'intervalle [1 ; 7].
Par conséquent, l'équation f(x) > 10 admet deux solutions et sur l'intervalle [0 ; 7].
b) Selon l'énoncé, nous savons que
En utilisant la fonction TABLE de la calculatrice, nous trouvons
4.
a) Les fonctions F et f étant définies sur le même ensemble,
F est une primitive de f si et seulement si F' = f.
D'où F est une primitive de f.
b) La fonction f ne prenant que des valeurs positives sur [1 ; 3],
l'aire demandée est donnée par :
]
Par conséquent, l'aire du domaine plan délimité par les droites
d'équation x = 1, x = 3, l'axe des abscisses et la courbe est égale à
5. a) La valeur moyenne du bénéfice, en milliers d'euros, lorsque l'entreprise vend entre 100
et 300 objets est donnée par :
D'où lorsque l'entreprise vend entre 100 et 300 objets, le bénéfice moyen, à l'euro près, est de 10 778 euros.
b) La question revient à résoudre l'inéquation f(x) > 10.
Par les questions précédentes, nous pouvons dresser le tableau de variation de f suivant :
Nous en déduisons que
Par conséquent, pour que le bénéfice soit supérieur à 10 000 euros, l'entreprise devra vendre entre 36 et 216 objets.
Publié par malou
le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT) Inscription Gratuitese connecter
Merci à Hiphigenie / malou pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !