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Baccalauréat Mathématiques

ES-L Obligatoire et Spécialité

Centres Étrangers 2017

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Corrigé : Bac ES-L Obligatoire et Spécialité - Centres Étrangers 2017

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4 points

exercice 1 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS

1)   Si une variable aléatoire X  suit une loi uniforme sur l'intervalle [a ;b ],
alors pour tout intervalle [c ;d ] inclus à [a ;b ], nous avons p(c\le X\le d)=\dfrac{d-c}{b-a}

Dans cet exercice,  X  est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle [1 ; 9].

D'où p(5< X<9)=\dfrac{9-5}{9-1}

p(5< X<9)=\dfrac{4}{8}\\\\p(5< X<9)=\dfrac{1}{2}

Par conséquent, la réponse correcte est la réponse \red{\boxed{\text{b)}}}

2)   Un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95% est de la forme  [f-\dfrac{1}{\sqrt{n}} ; f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}]  où f est la fréquence observée sur un échantillon de taille n.

Dans cet exercice, l'amplitude de l'intervalle doit être égale à 0,01.
Or l'amplitude de cet intervalle se calcule par  [f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}]-[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}]=f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{2}{\sqrt{n}}

Les données de l'énoncé se traduisent donc par :

\dfrac{2}{\sqrt{n}}\le0,01\\\\\dfrac{2}{0,01}\le\sqrt{n}\\\\\sqrt{n}\ge200\\\\ (\sqrt{n})^2\ge200^2\\\\\Longrightarrow n\ge40\ 000

Par conséquent, la réponse correcte est la réponse \red{\boxed{\text{d)}}}

3.   Résoudre l'équation x^{23}=92.

x^{23}=92 \Longleftrightarrow\ln\left(x^{23}\right)=\ln(92)\\\\\phantom{x^{23}=92} \Longleftrightarrow 23\ln(x)=\ln(92)\\\\\phantom{x^{23}=92} \Longleftrightarrow\ln(x)=\dfrac{\ln(92)}{23}\\\\\phantom{x^{23}=92} \Longleftrightarrow x=e^{\frac{\ln(92)}{23}}

Par conséquent, la réponse correcte est la réponse \red{\boxed{\text{c)}}}

4.   D'après le tableau de variations de la fonction g  sur l'intervalle [-5 ; 3], 2 infegal g (x ) infegal 4.

\text{D'où  }\int\limits_{-5}^32\,dx\le\int\limits_{-5}^3g(x)\,dx\le\int\limits_{-5}^34\,dx \Longleftrightarrow\left[2x\right]\limits_{-5}^3\le\int\limits_{-5}^3g(x)\,dx\le\left[4x\right]\limits_{-5}^3 \\\\\phantom{\text{D'où  }\int\limits_{-5}^32\,dx\le\int\limits_{-5}^3g(x)\,dx\le\int\limits_{-5}^33\,dx} \Longleftrightarrow 2\times3-2\times(-5)\le\int\limits_{-5}^3g(x)\,dx\le4\times3-4\times(-5)\\\\\phantom{\text{D'où  }\int\limits_{-5}^32\,dx\le\int\limits_{-5}^3g(x)\,dx\le\int\limits_{-5}^33\,dx} \Longleftrightarrow 6+10\le\int\limits_{-5}^3g(x)\,dx\le12+20\\\\\phantom{\text{D'où  }\int\limits_{-5}^32\,dx\le\int\limits_{-5}^3g(x)\,dx\le\int\limits_{-5}^33\,dx} \Longleftrightarrow 16\le\int\limits_{-5}^3g(x)\,dx\le32

Par conséquent, la réponse correcte est la réponse \red{\boxed{\text{c)}}}

6 points

exercice 2 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS

Partie A


1) a)   f(x)=(-2x+30)e^{0,2x-3}

f'(x)=(-2x+30)'\times e^{0,2x-3}+(-2x+30)\times(e^{0,2x-3})'\\\\\phantom{f'(x)}=(-2)\times e^{0,2x-3}+(-2x+30)\times(0,2e^{0,2x-3})\\\\\phantom{f'(x)}=-2e^{0,2x-3}+(-0,4x+6)e^{0,2x-3}\\\\\phantom{f'(x)}=(-2 -0,4x+6)e^{0,2x-3}\\\\\phantom{f'(x)}=(-0,4x+4)e^{0,2x-3}\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=(-0,4x+4)e^{0,2x-3}}

b)   Puisque la fonction exponentielle est strictement positive pour tout x  réel, le signe de la dérivée f'  est celui de (-0,4x  + 4)

\left\lbrace\begin{array}l {\red{-0,4x+4=0}}\Longleftrightarrow 0,4x=4\Longleftrightarrow x=\dfrac{4}{0,4}\Longleftrightarrow{\red{x=10}}\\\\ {\red{-0,4x+4>0}}\Longleftrightarrow 0,4x<4\Longleftrightarrow x<\dfrac{4}{0,4}\Longleftrightarrow{\red{x<10}}\\\\ {\red{-0,4x+4<0}}\Longleftrightarrow 0,4x>4\Longleftrightarrow x>\dfrac{4}{0,4}\Longleftrightarrow{\red{x>10}}\end{array}
Nous obtenons ainsi le tableau de variations de la fonction f  sur l'intervalle [-20 ; 20] :

\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&-20&&10&&20\\\hline -0,4x+4&&+&0&-&\\\hline f'(x)&&+&0&-&\\\hline &&&10e^{-1}\approx3,7&&&f(x)&&\nearrow&&\searrow&&&70e^{-7}\approx0,06&&&&-10e^{1}\approx-27,2\\ \hline \end{array}

La valeur exacte du maximum de f  est 10e-1.

2) a)  Sur l'intervalle [-20 ; 10], la fonction f  est continue et strictement croissante et le minimum de f  est f (-20) = 70e-7 environegal 0,06 > 0.

D'où pour tout x  dans l'intervalle [-20 ; 10], f (x ) supegal  f (-20) > 0.

Par conséquent, l'équation f (x ) = -2 n'admet aucune solution sur l'intervalle [-20 ; 10].

Sur l'intervalle [10 ; 20], la fonction f  est continue et strictement décroissante.
f (10) = 10e-1 environegal 3,7 > -2.
f (20) = -10e1 environegal -27,2 < -2.
Nous observons que -2 est compris entre f (10) et f (20).
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation f (x ) = -2 admet une solution unique alpha sur l'intervalle [10 ; 20].

Par conséquent, l'équation f (x ) = -2 admet une solution unique alpha sur l'intervalle [-20 ; 20].

b)   Par la calculatrice, nous obtenons f (15,8) environegal  -1,88 > -2 et f (15,9) environegal -2,15 < -2.

D'où 15,8 < alpha  < 15,9.

3) a)  La première ligne du tableau montre que si F  est une fonction définie sur [-20 ; 20] par
F (x ) = (-10x  + 200)e0,2x -3, alors F' (x ) = f (x ).

D'où la fonction F  est une primitive de f .

Nous obtenons alors :

\int\limits_{10}^{15}f(x)\,dx=\left[F(x)\right]\limits_{10}^{15}\\\phantom{\int\limits_{10}^{15}f(x)\,dx}=F(15)-F(10)\\\phantom{\int\limits_{10}^{15}f(x)\,dx}=(-10\times15+200)e^{0,2\times15-3}-(-10\times10+200)e^{0,2\times10-3}\\\phantom{\int\limits_{10}^{15}f(x)\,dx}=50e^0-100e^{-1}\\\phantom{\int\limits_{10}^{15}f(x)\,dx}=50-100e^{-1}\\\\\Longrightarrow\boxed{\int\limits_{10}^{15}f(x)\,dx=50-100e^{-1}}

b)   En utilisant les deux derniers résultats fournis par le logiciel, nous en déduisons que

f

La fonction f est deux fois dérivable sur l'intervalle [-20 ; 20].
La courbe  \mathscr{C}_f  possède un point d'inflexion M  si et seulement si la dérivée seconde de f  s'annule en changeant de signe en l'abscisse du point M .

Or f''(x)=(-0,08x+0,4)e^{0,2x-3}.

Puisque la fonction exponentielle est strictement positive pour tout x  réel, le signe de la dérivée seconde f"  est celui de (-0,08x  + 0,4)

\left\lbrace\begin{array}l {\red{-0,08x+0,4=0}}\Longleftrightarrow 0,08x=0,4\Longleftrightarrow x=\dfrac{0,4}{0,08}\Longleftrightarrow{\red{x=5}}\\\\ {\red{-0,08x+0,4>0}}\Longleftrightarrow 0,08x<0,4\Longleftrightarrow x<\dfrac{0,4}{0,08}\Longleftrightarrow{\red{x<5}}\\\\ {\red{-0,08x+0,4<0}}\Longleftrightarrow 0,08x>0,4\Longleftrightarrow x>\dfrac{0,4}{0,08}\Longleftrightarrow{\red{x>5}}\end{array}
Nous obtenons ainsi le tableau de signes de la dérivée seconde f''  et la convexité de la fonction f.

\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&-20&&5&&20\\\hline -0,08x+0,4&&+&0&-&\\\hline f''(x)&&+&0&-&\\\hline \text{convexité de }f&&f\text{ est convexe}&\text{P.I.}&f\text{ est concave}&\\ \hline \end{array}

Par conséquent, la fonction f  est convexe sur l'intervalle [-20 ; 5].

La courbe  \mathscr{C}_f  admet un point d'inflexion dont l'abscisse est x  = 5.

Partie B


1)   Le dénivelé de cette nouvelle piste se calcule par la différence f (10) - f (0).

f(10)-f(0)=10e^{-1}-30e^{-3}\\\phantom{f(10)-f(0)}\approx2,185

Par conséquent, le dénivelé de cette nouvelle piste est d'environ 2,185 km.

2)   Etudions les variations des coefficients directeurs des tangentes à la courbe \mathscr{C}_f  sur l'intervalle [0 ; 10].

Ces coefficients directeurs sont donnés par la dérivée première f' (x ).
Etudions donc les variations de la dérivée f'  sur l'intervalle [0 ; 10].

L'étude du signe de la dérivée seconde sur l'intervalle [-20 ; 20] a déjà été réalisée dans la question 3b) de la partie A.

Nous obtenons ainsi le tableau de variations de la dérivée f' :

\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&0&&5&&10\\\hline f''(x)&&+&0&-&\\\hline &&&f'(5)=2e^{-2}\approx0,27&& \\ f'(x)&&\nearrow&&\searrow& \\ &f'(0)=4e^{-3}\approx0,2&&&&f'(10)=0 \\ \hline \end{array}

D'où sur l'intervalle [0 ; 10], la dérivée f'  possède un maximum égal à environ 0,27.
Cela signifie que la pente maximale de la piste est environ égale à 27%.

Puisque au moins une portion de la piste a une pente strictement comprise entre 25 % et 40 % (et aucune portion n'a une pente supérieure ou égale à 40 %), cette nouvelle piste sera classée rouge.

5 points

exercice 3 - Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement                                 de spécialité et candidats de la serie L

1)   Une diminution de 10% correspond à un coefficient multiplicateur de 1 - 0,10 = 0,9.

D'où diminuer de 10% la superficie de 2017 et augmenter le résultat de 4 m² revient au calcul :
0,9 multiplie  120 + 4 = 112.

Par conséquent, la superficie de terrain envahi par cette plante au 1er janvier 2018 sera de 112 m².

2)   Algorithme

L1    U  prend la valeur 120
L2    N  prend la valeur 0
L3    Tant que U  > 60
L4       U  prend la valeur 0,9 multiplie U  + 4
L5       N  prend la valeur N  + 1
L6    Fin Tant que
L7    Afficher 2017 + N 

3)   v_n=u_n-40\ \ (n\in\mathbb{N})

a.   Montrons que la suite (vn ) est une suite géométrique.

\begin{array}{r @{ = } l} v_{n+1}\ &\ u_{n+1}-40\\&\ (0,9\times u_{n}+4)-40\\&\ 0,9\times u_{n}-36\\&\ 0,9\times u_{n}-0,9\times40\\&\ 0,9\times (u_{n}-40)\\&\ 0,9\times v_{n}\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}=0,9\times v_{n}}

D'où la suite (vn )  est une suite géométrique de raison 0,9 et dont le premier terme est v_0=u_0-40=120-40=80

b.   Pour tout entier naturel n,  v_n=v_0\times0,9^n\Longrightarrow\boxed{v_n=80\times0,9^n}

\begin{array}l \text{\red{c.}}\\\dfrac{}{} \end{array}\left\lbrace\begin{array}l v_n=u_n-40\\v_n=80\times0,9^n \end{array}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{array}l u_n=v_n+40\\v_n=80\times0,9^n \end{array}\Longrightarrow\boxed{u_n=80\times0,9^n+40}

4) a)  Résoudre dans N l'inéquation 80 multiplie 0,9n + 40 infegal 60.

80 \times0,9^n+40\le60\Longleftrightarrow80\times0,9^n\le60-40\\\\\phantom{80 \times0,9^n+40\le60}\Longleftrightarrow80\times0,9^n\le20\\\\\phantom{80 \times0,9^n+40\le60}\Longleftrightarrow0,9^n\le\dfrac{20}{80}\\\\\phantom{80 \times0,9^n+40\le60}\Longleftrightarrow0,9^n\le0,25\\\\\phantom{80 \times0,9^n+40\le60}\Longleftrightarrow\ln(0,9^n)\le\ln(0,25)\\\\\phantom{80 \times0,9^n+40\le60}\Longleftrightarrow n\ln(0,9)\le\ln(0,25)\\\\\phantom{80 \times0,9^n+40\le60}\Longleftrightarrow n\ge\dfrac{\ln(0,25)}{\ln(0,9)}\ \ \ \ (\text{car }\ln(0,9)<0)\\\\\phantom{80 \times0,9^n+40\le60}\Longleftrightarrow n\ge13,1576...

Puisque n  est un nombre naturel, les solutions de l'inéquation proposée sont les nombres naturels supérieurs ou égaux à 14.

b)   En utilisant la solution de l'exercice 4) a), nous déduisons que n supegal 14.
D'où  2017 + n  supegal  2017 + 14, soit 2017 + n  supegal  2031.

Par conséquent, la superficie envahie par la plante sera réduite au moins de moitié par rapport au 1er janvier de l'année 2017 à partir de l'année 2031.

5)   Nous avons montré que u_n=80\times0,9^n+40

Nous savons que \lim\limits_{n\to+\infty}0,9^{n}=0\ \ \text{car }0<0,9<1.

\begin{array}{r @{ = } l} \Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}(80\times0,9^{n}+40)\ &\ 80\times\lim\limits_{n\to+\infty}0,9^{n}+40\\&\ 80\times0+40\\&\ 40 \end{array}

D'où \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=40

A long terme, si l'évolution perdure, la superficie envahie par cette plante sera alors de 40 m².

Par conséquent, le jardinier ne parviendra pas à faire disparaître complètement la plante de son terrain.

5 points

exercice 3 - Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement                                       de spécialité

1) a)   Les données de l'énoncé nous permettent de traduire la situation par le graphe probabiliste suivant :

Sujet Bac ES-L Obligatoire et Spécialité Centres Étrangers 2017 : image 13


b)  Nous pouvons alors déterminer la matrice M  de transition suivante (les sommets étant rangés selon l'ordre alphabétique) :

\boxed{M=\begin{pmatrix}0,95&0,05\\ 0,03&0,97\end{pmatrix}}

2)   Nous savons que  P_0=\begin{pmatrix}0,65&0,35\end{pmatrix}

P_1=P_0\times M\\\\\phantom{P_1}=\begin{pmatrix}0,65&0,35\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,95&0,05\\ 0,03&0,97\end{pmatrix}\\\\\phantom{P_1}=\begin{pmatrix}0,65\times0,95+0,35\times0,03&&&0,65\times0,05+0,35\times0,97\end{pmatrix}\\\\\phantom{P_1}=\begin{pmatrix}0,628&&0,372\end{pmatrix}\\\\\Longrightarrow\boxed{P_1=\begin{pmatrix}0,628&0,372\end{pmatrix}}

3)   La matrice M de transition ne comporte pas de 0.
L'état probabiliste Pn  à l'étape n  converge vers un état P  indépendant de l'état initial P0.

Cet état P est l'état probabiliste stable du système et vérifie la relation PmultiplieM = P.

Soit   P=\begin{pmatrix}a & b\end{pmatrix}\ \ \ \text{avec }a+b=1

Alors

 P\times M=P

\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}a & b\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,95&0,05 \\ 0,03 & 0,97\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & b\end{pmatrix}\ \ \ \text{avec }a+b=1

\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}0,95a+0,03b & 0,05a+0,97b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & b\end{pmatrix}\ \ \ \text{avec }a+b=1

\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l 0,95a+0,03b=a\\0,05a+0,97b=b\\a+b=1 \end{array}

\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l 0,95a-a+0,03b=0\\0,05a+0,97b-b=0\\a+b=1 \end{array}

\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l -0,05a+0,03b=0\\0,05a-0,03b=0\\a+b=1 \end{array}

\Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{array}l0,05a-0,03b=0\\a+b=1 \end{array}}

b)   Résoudre le système \left\lbrace\begin{array}l0,05a-0,03b=0\\a+b=1 \end{array}

\left\lbrace\begin{array}l0,05a-0,03b=0\\a+b=1 \end{array} \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l0,05a-0,03b=0\\b=1-a \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l0,05a-0,03(1-a)=0\\b=1-a \end{array}

\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l0,05a-0,03+0,03a=0\\b=1-a \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l0,08a-0,03=0\\b=1-a \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l0,08a=0,03\\b=1-a \end{array}

 \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}la=\dfrac{0,03}{0,08}\\\\b=1-a \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}la=0,375\\b=1-0,375 \end{array}\Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{array}la=0,375\\b=0,625 \end{array}}

D'où l'état probabiliste stable est  \boxed{P=\begin{pmatrix}0,375 & 0,625\end{pmatrix}}

Nous pouvons interpréter ce résultat en indiquant qu'à long terme, à chaque mois, 37,5% des adhérents voteront pour le candidat A et 62,5% des adhérents voteront pour le candidat B.

5 points

exercice 4 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS

Partie A


1)   La situation peut être traduite par l'arbre pondéré suivant :

Sujet Bac ES-L Obligatoire et Spécialité Centres Étrangers 2017 : image 14


{\red{\text{2)  }}}\ \ p(A\cap E)=p(A)\times p_A(E)\\\phantom{2)\ \ \ p(A\cap E)}=0,4\times0,4\\\phantom{2)\ \ \ p(A\cap E)}=0,16\\\\\Longrightarrow\boxed{p(A\cap E)=0,16}

3)   Selon la formule des probabilités totales, nous obtenons :

p(E) = p(A\cap E)+p(B\cap E)+p(C\cap E)\\\phantom{p(E)}=0,16+0,35\times0,3+0,25\times0,5\\\phantom{p(A)}=0,16+0,105+0,125\\\phantom{p(A)}=0,39\\\\\Longrightarrow\boxed{p(E)=0,39}

4)   Nous devons déterminer p_E(C)

\text{Or  }\ \ p_E(C)=\dfrac{p(E\cap C)}{p(E)}\\\\\phantom{\text{Or  }\ \ p_E(C)}=\dfrac{0,25\times0,5}{0,39}\\\\\phantom{\text{Or  }\ \ p_E(C)}\approx0,32

Par conséquent, sachant que l'embarcation a été louée pendant 2 heures, la probabilité que ce soit un bateau électrique est environ égale à 0,32.

5)   Soit Y  la variable aléatoire correspondant au tarif de location d'une embarcation.
Cette variable aléatoire Y  peut prendre les valeurs 10, 15, 16, 25, 35, 60.

Nous obtenons ainsi :

p(Y=10)=p(B\cap D)\\\phantom{p(Y=10)}=0,35\times0,7\\\phantom{p(Y=10)}=0,245\\\\p(Y=15)=p(A\cap D)\\\phantom{p(Y=10)}=0,4\times0,6\\\phantom{p(Y=10)}=0,24\\\\p(Y=16)=p(B\cap E)\\\phantom{p(Y=10)}=0,35\times0,3\\\phantom{p(Y=10)}=0,105

p(Y=25)=p(A\cap E)\\\phantom{p(Y=10)}=0,16\\\\p(Y=35)=p(C\cap D)\\\phantom{p(Y=10)}=0,25\times0,5\\\phantom{p(Y=10)}=0,125\\\\p(Y=60)=p(C\cap E)\\\phantom{p(Y=10)}=0,25\times0,5\\\phantom{p(Y=10)}=0,125

D'où la loi de probabilité de la variable Y  est donnée par le tableau suivant :

         \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline y&10&15&16&25&35&60\\\hline p(Y=y)&0,245&0,24&0,105&0,16&0,125&0,125\\\hline \end{array}

Nous en déduisons que l'espérance de la variable Y  est

E(Y)=10\times0,245+15\times0,24+16\times0,105+25\times0,16+35\times0,125+60\times0,125\\\phantom{E(Y)}=2,45+3,6+1,68+4+4,375+7,5\\\phantom{E(Y)}=23,605

La recette journalière se calcule par 200 multiplie 23,605 = 4721.

Par conséquent, la recette journalière que peut espérer la base nautique est égale à 4721 euros.

Partie B


1.   Par la calculatrice, nous obtenons :   p(490<X<520)\approx0,81859461.

D'où  \boxed{p(490<X<520)\approx0,819\ \ (\text{arrondi à }10^{-3}\ \text{près})}

2.   Puisque 8 heures représentent 8 multiplie 60 minutes, soit 480 minutes, nous devons calculer p (X  < 480).

Nous savons que mu = 500.

Dès lors,

p(X<480)=p(X\le500)-p(480\le X\le500)\\\phantom{P(X<480)}=0,5-p(480\le X\le500)\\\phantom{P(X<480)}\approx0,5-0,47724986\\\phantom{P(X<480)}\approx0,02275014\\\\\Longrightarrow\boxed{p(X<480)\approx0,023}

Par conséquent, la probabilité que la batterie d'un bateau soit déchargée avant la fin de la journée est environ égale à 0,023.

3.   p(X < a ) environegal  0,01.
Par la calculatrice, nous obtenons a  environegal  476,737.

Interprétation : La probabilité que la batterie d'un bateau soit déchargée avant 477 minutes de fonctionnement est environ égale à 0,01.
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