Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Mathématiques

ES-L Obligatoire et spécialité

Polynésie Française 2017

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Corrigé Bac ES-L Obligatoire et spécialité - Polynésie Française 2017

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4 points

exercice 1

1.   \left(\dfrac{1}{2}\right)^x=\dfrac{3}{10}

\ln\left(\left(\dfrac{1}{2}\right)^x\right)=\ln\left(\dfrac{3}{10}\right)\\\\x\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)=\ln3-\ln10\\\\x(-\ln2)=\ln3-\ln10\\\\x=\dfrac{\ln3-\ln10}{-\ln2}\\\\x=\dfrac{\ln10-\ln3}{\ln2}

D'où la réponse correcte est la réponse  \boxed{\red{\text{b.}}}

2.   f(x)=2xe^{x^2}.

\int\limits_{-2}^2f(x)\,dx=\int\limits_{-2}^22xe^{x^2}\,dx\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\int\limits_{-2}^2(x^2)'\times e^{x^2}\,dx\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left[e^{x^2}\right]\limits_{-2}^2\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =e^{2^2}-e^{(-2)^2}\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =e^4-e^4\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =0

D'où la réponse correcte est la réponse  \boxed{\red{\text{c.}}}

3.   f(x)=(2x+3)\ln x

\begin{array}{r @{ = } l} f'(x)\ &\ (2x+3)'\times\ln x+(2x+3)\times(\ln x)'\\&\ 2\times\ln x+(2x+3)\times\left(\dfrac{1}{x}\right) \\&\ 2\ln x+2x\times\left(\dfrac{1}{x}\right)+3\times\left(\dfrac{1}{x}\right) \\&\ 2\ln x+2+\dfrac{3}{x} \end{array}

D'où la réponse correcte est la réponse  \boxed{\red{\text{c.}}}

4.   Une augmentation d'une grandeur de 5% correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 + 0,05 = 1,05.
Une augmentation d'une grandeur de 7% correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 + 0,07 = 1,07.

Si v0  est la valeur de départ de la grandeur, alors
*  la valeur v1  après 1 an est  v_1=v_0\times1,05.
*  la valeur v2  après 2 ans est  v_2={\red{v_1}}\times1,07={\red{v_0\times1,05}}\times1,07=v_0\times1,1235.

Or 1,1235 = 1 + 0,1235 est le coefficient multiplicateur correspondant à une augmentation de 12,35%.

D'où la réponse correcte est la réponse  \boxed{\red{\text{d.}}}

5 points

exercice 2


Partie A

1. a)   Nous savons que 20% des personnes qui se sont présentées à l'épreuve pratique du permis de conduire avaient suivi la filière AAC.

Par conséquent,  \boxed{P(A)=0,2}

Nous savons que parmi les candidats qui ont suivi la filière AAC, 75% ont été reçus à l'examen.

Par conséquent,  \boxed{P_A(R)=0,75}

Nous savons que pour les candidats n'ayant pas suivi la filière AAC, le taux de réussite à l'examen était de 56,6%.

Par conséquent,  \boxed{P_{\overline{A}}(R)=0,566}

b)   La situation peut être traduite par l'arbre pondéré suivant :

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\begin{array}{r @{ = } l} {\red{\text{2. a)  }}}P(A\cap R)\ &\ P_A(R)\times P(A)\\&\ 0,75\times0,2\\&\ 0,15 \end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{P(A\cap R)=0,15}

b)   Nous pouvons interpréter ce résultat en affirmant que parmi les candidats à l'épreuve pratique du permis de conduire, 15% d'entre eux ont suivi la filière AAC et ont été reçus à l'examen.

3.   Selon la formule des probabilités totales, nous obtenons :

\begin{array}{r @{ = } l} P(R)\ &\ P(A\cap R)+P(\overline{A}\cap R)\\&\ 0,15+P(\overline{A}\cap R) \end{array}\\\\\\\begin{array}{r @{ = } l} \text{Or  }P(\overline{A}\cap R)\ &\ P_{\overline{A}}(R)\times P(\overline{A})\\&\ 0,566\times0,8\\&\ 0,4528 \end{array}

D'où P(R)=0,15+0,4528

\Longrightarrow\boxed{P(R)=0,6028}

Partie B

1.   Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I400  au seuil de 95 % de la fréquence de candidats reçus dans un échantillon aléatoire de 400 candidats.

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

\left\lbrace\begin{array}l n=400\ge30 \\ p=0,62\Longrightarrow np=400\times0,62=248>5 \\n(1-p)= 400\times(1-0,62)= 400\times0,38=152>5 \end{array}

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I400  au seuil de 95% est :

 I_{400}=\left[0,62-1,96\sqrt{\dfrac{0,62 (1-0,62)}{ 400}};0,62+1,96\sqrt{\dfrac{0,62 (1-0,62)}{ 400}}\right]\\\\\Longrightarrow I_{400}\approx[0,572;0,668]

2.   La fréquence observée est  f=\dfrac{220}{400}=0,55

Nous remarquons que  f\notin I_{400}.

Par conséquent, au risque de se tromper de 5%, l'affirmation du responsable d'auto-école doit être remise en cause.

Partie C

1.   Par la calculatrice, nous obtenons :   P(1090\le X\le1910)\approx0,68268949.

D'où  \boxed{P(1090\le X\le1910)\approx0,68\ \ (\text{arrondi à }10^{-2}\ \text{près})}

2.   Nous savons que mu = 1500.

Dès lors,

P(X\le1155)=P(X\le1500)-P(1155< X\le1500)\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =0,5-P(1155< X\le1500)\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \approx0,5-0,29995581\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \approx0,20004419\\\\\Longrightarrow\boxed{P(X\le1155)\approx0,2}

3. a)   P(X\ge a)=0,2\Longleftrightarrow 1-P(X<a)=0,2

\Longleftrightarrow P(X<a)=0,8

Par la calculatrice, nous obtenons  a\approx1845,06471.

Par conséquent,  a environegal 1845 (arrondi à l'unité près).

b)   Interprétation : la probabilité que le coût d'obtention du permis de conduire dépasse 1845 euros est de 0,2, soit que cette probabilité est de 20%.

5 points

exercice 3 - Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de
                                 spécialité et candidats de la série L


1.   Déterminons une suite (un ) permettant d'obtenir une estimation en millions d'hectares de la surface mondiale de forêt en l'année 2015+n.

La donnée de l'énoncé "En 2015, les forêts couvraient environ 4000 millions d'hectares sur terre"  se traduira par u0 = 4000.

La donnée "chaque année, cette surface diminue de 0,4 %"  se traduira grâce au coefficient multiplicateur 1 - 0,04 = 0,996 par le calcul 0,996 multiplie un.

La donnée "Cette perte est en partie compensée par le reboisement, naturel ou volontaire, qui est estimé à 7,2 millions d'hectares par an"  se traduira en ajoutant 7,2 à 0,996un.

Par conséquent, la suite (un ) permettant d'obtenir une estimation de la surface mondiale de forêt, en millions d'hectares l'année 2015+n  sera définie par u0  = 4000 et pour tout entier naturel nun+1 = 0,996un + 7,2.

2.   Algorithme

Variables :     N  est un entier naturel
                            U  est un nombre réel
Traitement : n  prend la valeur 0
                            Tant que U  supegal 3500 Faire
                                         U  prend la valeur 0,996 U  + 7,2
                                         N  prend la valeur N  + 1
                             Fin Tant que
Sortie :            Afficher N

3.  On considère la suite (vn ) définie pour tout entier naturel n par vn = un  - 1800.

a)   Montrons que la suite (vn ) est une suite géométrique.

\begin{array}{r @{ = } l} v_{n+1}\ &\ u_{n+1}-1800\\&\ (0,996u_{n}+7,2)-1800\\&\ 0,996u_{n}-1792,8\\&\ 0,996u_{n}-0,996\times1800\\&\ 0,996(u_{n}-1800)\\&\ 0,996\times v_n \end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}=0,996\times v_n}

Par conséquent, la suite (vn ) est une suite géométrique et son premier terme est v0 = u0  - 1800 = 4000 - 1800 = 2200.

b)   Puisque la suite (vn ) est une suite géométrique de raison 0,996 et dont le premier terme est 2200, nous avons : v_n=2200\times0,996^n.

Or v_n=u_n-1800\Longrightarrow u_n=v_n+1800

Par conséquent, \boxed{u_n=2200\times0,996^n+1800}

c)   Nous savons que \lim\limits_{n\to+\infty}0,996^n=0\ \ \text{car }0<0,996<1.

\begin{array}{r @{ = } l} \Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}(2200\times0,996^n)\ &\ 2200\times\lim\limits_{n\to+\infty}0,996^n\\&\ 2200\times0\\&\ 0 \end{array}

D'où

\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\lim\limits_{n\to+\infty}(1800+2200\times0,996^n)\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1800+\lim\limits_{n\to+\infty}(2200\times0,996^n)\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1800+0\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1800.

Par conséquent, à long terme, si le phénomène perdure, la surface des forêts sur terre ne finira pas par disparaître car elle sera proche de 1800 millions d'hectares.

4.   Soit la suite (wn ) dont les termes wn  représentent le nombre de milliards d'arbres plantés l'année 2016+n.

Puisque en 2016 on estime que le nombre d'arbres plantés est de 7,3 milliards, nous avons : \boxed{w_0=7,3}

Nous savons que le nombre d'arbres plantés par l'ONU augmente chaque année de 10%, ce qui correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1+0,10, soit 1,1.

D'où w_{n+1}=1,1\times w_n.

Par conséquent, la suite (wn ) est une suite géométrique de raison 1,1 et dont le premier terme est 7,3.

Nous en déduisons que le nombre d'arbres plantés de 2016 à 2025 est la somme S des 10 premiers termes de cette suite (wn ).

Or  S=7,3\times\dfrac{1-1,1^{10}}{1-1,1}\approx116,343\Longrightarrow\boxed{S<140}

Par conséquent, l'ONU ne pourra pas réussir à replanter 140 millions d'arbres de 2016 à 2025.

5 points

exercice 3 - Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement
                                 de spécialité


Partie A

Valeurs obtenues en utilisant l'algorithme de Dijkstra :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline&O&\ \ A&\ \ B\ \ &\ \ C\ \ &\ \ D\ \ &E&F\\\hline O &\ \ \red{0_O}\ \ &2_O&5_O&4_O&\infty&\infty&\infty\\\hline A&&\red{2_O}&4_A&\infty&9_A&\infty&\infty\\\hline B&&&\red{4_A}&5_B&9_B&7_B&\infty\\\hline C&&&&\red{4_O}&\infty&8_C&\infty\\\hline E&& &&&8_E&\red{7_B}&15_E\\\hline D&&&&&\red{8_E}&&14_D\\\hline F&&&&&&&\red{14_D}\\ \hline \end{array}

D'où le nombre minimal de créatures qu'Alex devra combattre est égal à 14.
Il devra alors parcourir le parcours O - A - B - E - D - F.

Partie B

1.   Selon les données de l'énoncé, nous avons : \left\lbrace\begin{array}l f(1)=8\\f(2)=25\\f(3)=80 \end{array}

soit le système de trois équations à trois inconnues a, b  et c  :

\left\lbrace\begin{array}l a\times1^2+b\times1+c=8\\a\times2^2+b\times2+c=25\\a\times3^2+b\times3+c=80 \end{array}\Longleftrightarrow\red\ \left\lbrace\begin{array}l a+b+c=8\\4a+2b+c=25\\9a+3b+c=80 \end{array}

{\red\text{2. }}\text{Soit }A=\begin{pmatrix}1&1&1\\4&2&1\\9&3&1\end{pmatrix}\ \text{et }X=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\\\\\text{Alors : }AX=\begin{pmatrix}1&1&1\\4&2&1\\9&3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\Longrightarrow AX=\begin{pmatrix}a+b+c\\4a+2b+c\\9a+3b+c\end{pmatrix}\\\\\text{Si }B=\begin{pmatrix}8\\25\\80\end{pmatrix}\\\\\text{Alors : }\begin{pmatrix}a+b+c\\4a+2b+c\\9a+3b+c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\25\\80\end{pmatrix}\Longleftrightarrow AX=B\\\\\\\text{c'est-à-dire  }\blue\boxed{\left\lbrace\begin{array}l a+b+c=8\\4a+2b+c=25\\9a+3b+c=80 \end{array}\Longleftrightarrow AX=B}

3. a)   Soit  M=\begin{pmatrix}0,5&-1&0,5\\-2,5&4&-1,5\\3&-3&1\end{pmatrix}

Alors :

M\times A=\begin{pmatrix}0,5&-1&0,5\\-2,5&4&-1,5\\3&-3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1\\4&2&1\\9&3&1\end{pmatrix}\\\\\dfrac{}{} \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\begin{pmatrix}0,5\times1-1\times4+0,5\times9&&0,5\times1-1\times2+0,5\times3&&0,5\times1-1\times1+0,5\times1\\-2,5\times1+4\times4-1,5\times9&&-2,5\times1+4\times2-1,5\times3&&-2,5\times1+4\times1-1,5\times1\\3\times1-3\times4+1\times9&&3\times1-3\times2+1\times3&&3\times1-3\times1+1\times1\end{pmatrix}\\\\\dfrac{}{} \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\begin{pmatrix}0,5-4+4,5&&0,5-2+1,5&&0,5-1+0,5\\-2,5+16-13,5&&-2,5+8-4,5&&-2,5+4-1,5\\3-12+9&&3-6+3&&3-3+1\end{pmatrix}\\\\\dfrac{}{} \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\begin{pmatrix}1&&0&&0\\0&&1&&0\\0&&0&&1\end{pmatrix}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{M\times A = I_3}

b)   D'après le théorème du rang, la relation multiplie A = I3  suffit pour conclure que la matrice M est la matrice inverse de la matrice A.

D'où  \boxed{M=A^{-1}}

4.   Par l'exercice 2, nous savons que AmultiplieX = B.

\begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} A\times X=B\ &\ {\red{A^{-1}}}\times A\times X={\red{A^{-1}}}\times B\\&\ {\blue{A^{-1}\times A}}\times X=A^{-1}\times B\\&\ {\blue{I_3}}\times X=A^{-1}\times B\\&\ X=A^{-1}\times B\\&\ X=M\times B \end{array}\\\\\\\text{soit }\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,5&-1&0,5\\-2,5&4&-1,5\\3&-3&1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}8\\25\\80\end{pmatrix}\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\begin{pmatrix}0,5\times8-1\times25+0,5\times80\\-2,5\times8+4\times25-1,5\times80\\3\times8-3\times25+1\times80\end{pmatrix}\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\begin{pmatrix}4-25+40\\-20+100-120\\24-75+80\end{pmatrix}\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\begin{pmatrix}19\\-40\\29\end{pmatrix}

D'où a  = 19, b  = -40 et c  = 29

Par conséquent, f(x) = 19x ² - 40x  + 29.

5.   Etudions les variations de la fonction f  sur l'intervalle [1 ; 10].

La fonction f  est une fonction trinôme du second degré.
Puisque le coefficient de x ² est positif, cette fonction admet un minimum.

Ce minimum est atteint pour  x=[-\dfrac{b}{2a}]=-\dfrac{-40}{38}=\dfrac{20}{19}\approx1,05.

La valeur de ce minimum est  f(\dfrac{20}{19})=19\times(\dfrac{20}{19})^2-40\times\dfrac{20}{19}+29=\dfrac{151}{19}\approx7,95.

Nous obtenons ainsi le tableau de variations de la fonction f  sur l'intervalle [1 ; 10] :

\begin{array}{|c|ccccc|}\hline&&&&&& x&1&&\dfrac{20}{19}\approx1,05&&10&&&&&& \\\hline&8&&&&{\red{1529}}&f(x)&&\searrow&&\nearrow&\\&&&\dfrac{151}{19}\approx7,95&&\\\hline \end{array}

Ce tableau nous montre que la fonction f  admet un maximum égal à 1529 si x  appartient [1 ; 10].

Nous pouvons interpréter ce résultat en signalant que le nombre maximal de personnes se retrouvant dans le parc est de 1529. Ils se retrouvent alors le 10ième jour.

Par conséquent, le parc ne risque pas de refuser d'accueillir des personnes un de ces dix jours puisque 1529 < 2500. 6 points

exercice 4

1.   Le point A (0 ; -2) appartient à la courbe représentative  \mathscr{C}  de la fonction f.
D'où  {\red{f(0)=-2}}

Une équation de la tangente  \mathscr{D}  à la courbe  \mathscr{C}  au point A (0 ; -2) est y  = 10x - 2.
Le coefficient directeur de cette tangente est f' (0).
D'où  {\red{f'(0)=10}}

2.   La fonction f  est définie sur l'intervalle [0;5] par : f(x)=(ax-2)e^{-x}

\begin{array}{r @{ = } l} {\red{a)}}\ \ f'(x)\ &\ (ax-2)'\times e^{-x}+(ax-2)\times (e^{-x})'\\&\ a\times e^{-x}+(ax-2)\times (-e^{-x})\\&\ a\times e^{-x}-ax\times e^{-x}+2\times e^{-x}\\&\ (a-ax+2)\times e^{-x} \end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=(-ax+a+2)e^{-x}}

\begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} {\red{b)}}\ \ f'(0)=10\ &\ (-a\times0+a+2)e^{-0}=10\\&\ (a+2)\times1=10\\&\ a+2=10\\&\ \boxed{a=8}\end{array}

c)   Remplaçons a  par 8 dans l'égalité  f'(x)=(-ax+a+2)e^{-x}

\Longrightarrow\boxed{f'(x)=(-8x+10)e^{-x}}

3. a)   f'(x)=(-8x+10)e^{-x}

Puisque la fonction exponentielle est strictement positive pour tout x  réel, le signe de la dérivée f' est celui de (-8x + 10)

\left\lbrace\begin{array}l {\red{-8x+10=0}}\Longleftrightarrow 8x=10\Longleftrightarrow x=\dfrac{10}{8}\Longleftrightarrow{\red{x=\dfrac{5}{4}}}\\\\ {\red{-8x+10>0}}\Longleftrightarrow 8x<10\Longleftrightarrow x<\dfrac{10}{8}\Longleftrightarrow{\red{x<\dfrac{5}{4}}}\\\\ {\red{-8x+10<0}}\Longleftrightarrow 8x>10\Longleftrightarrow x>\dfrac{10}{8}\Longleftrightarrow{\red{x>\dfrac{5}{4}}}\end{array}
Nous obtenons ainsi le tableau de signes de f' (x ) sur l'intervalle [0 ; 5] :

\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&0&&\dfrac{5}{4}&&5\\\hline -8x+10&&+&0&-&\\\hline f'(x)&&+&0&-&\\ \hline \end{array}

b.   Sachant que f(x)=(8x-2)e^{-x}, nous obtenons le tableau de variations de f  suivant :

\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&0&&\dfrac{5}{4}=1,25&&5\\\hline f'(x)&&+&0&-&\\\hline &&&8e^{-1,25}\approx2,29204&&&f(x)&&\nearrow&&\searrow&&&-2&&&&38e^{-5}\approx0,256\\ \hline \end{array}

c.   Résoudre sur l'intervalle [0 ; 5], l'équation f (x ) = 0.

\begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow} l} f(x)=0\ &\ (8x-2)e^{-x}=0\\&\ 8x-2=0\ \ \ \ \ \text{car }e^{-x}\neq0\\&\ 8x=2\\&\ x=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}\in\ [0;5]\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{f(x)=0\Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{4}}

4. a)   Le premier résultat fourni par le logiciel montre que g (x ) = f' (x ).
D'où f" (x ) = g' (x ).
En utilisant le deuxième résultat fourni par le logiciel, nous déduisons que \boxed{f''(x)=(8x-18)e^{-x}}

b)   La fonction f est deux fois dérivable sur l'intervalle [0 ; 5].
La courbe  \mathscr{C}_f  possède un point d'inflexion M  si et seulement si la dérivée seconde de f  s'annule en changeant de signe en l'abscisse du point M .

Or f''(x)=(8x-18)e^{-x}.

En utilisant le troisième résultat fourni par le logiciel, nous déduisons que :

\left\lbrace\begin{array}l f''(x)=0\Longleftrightarrow x=\dfrac{9}{4}\\\\f''(x)>0\Longleftrightarrow x>\dfrac{9}{4}\\\\f''(x)<0\Longleftrightarrow x<\dfrac{9}{4}\end{array}
Nous obtenons ainsi le tableau de signes de la dérivée seconde f'' et la convexité de la fonction f.

\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&0&&\dfrac{9}{4}&&5\\\hline f''(x)&&-&0&+&\\\hline \text{convexité de }f&&f\text{ est concave}&\text{P.I.}&f\text{ est convexe}&\\ \hline \end{array}

La courbe admet donc un point d'inflexion dont l'abscisse vaut x=\dfrac{9}{4}.

5. a)  En utilisant le tableau de variation de la fonction f  (question 3b), nous en déduisons que la fonction f  admet un maximum pour x  = 1,25 et qu'une valeur approchée de ce maximum est 2,29204.

D'où pour réaliser un bénéfice maximum, l'entreprise doit fabriquer 1,25 milliers de grille-pains, soit 1250 grille-pains.

b)   Ce bénéfice maximal est environ égal à 2,29204 centaines de miliers d'euros, soit environ 229 204 euros (arrondi à l'euro près).
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