Fiche de mathématiques
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Les primitives

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I. Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de \mathbb{R}.
On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I telle que, pour tout x de I, F'(x) = f(x).




II. Propriétés

Toute fonction définie et continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I, F une primitive de f sur I et k un nombre réel.
La fonction G définie sur I par G(x) = F(x) + k est encore une primitive de f sur I.




III. Primitives de fonctions usuelles

f(x) I F(x)
0 \mathbb{R} k
a \mathbb{R} ax+k
x \mathbb{R} \dfrac{1}{2}x^2+k
x^n \mathbb{R} \dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+k , n différent de -1
\dfrac{1}{x^2} ]-\infty,0[ ou ]0,+\infty[ -\dfrac{1}{x}+k
\dfrac{1}{\sqrt{x}} ]0,+\infty[ 2\sqrt{x}+k
(où k \in \mathbb{R})

Primitives d'une puissance

f = u^{n} . u' , alors F = \dfrac{1}{n+1}u^{n+1} + k.
avec k nombre réel et n différent de -1.

Primitives de l'inverse d'une puissance

f = \dfrac{u'}{u^{n}} , alors F = -\dfrac{1}{n-1} \times \dfrac{1}{u^{n-1}} + k.
avec k nombre réel et n différent de 1.

Primitives de l'inverse d'une racine carrée

f = \dfrac{u'}{\sqrt{u}} , alors F = 2\sqrt{u} + k.
avec k nombre réel.
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