exercice 1
Primitives de fonctions polynômes
1. Déterminer des primitives sur

des fonctions suivantes :
x

x
x

x
2
x

x
3
x

-5
2. Déterminer des primitives sur

des fonctions :
x

2x
x

-3x
2
x

8x
3
3. Déterminer une primitive sur

de la fonction :
x

8x
3 - 3x
2 + 2x - 5
exercice 2
Primitives immédiates
1. Déterminer une primitive sur

de chacune des fonctions suivantes :
f : x

0
g : x

2
h : x

x
5
2. Déterminer toutes les primitives sur ]0,+

[ de chacune des fonctions suivantes :
i : x
j : x
3. Déterminer deux primitives sur

de la fonction :
f : x

2x
3 + 3x - 1
exercice 3
Fonctions simples
Déterminer deux primitives sur ]0,+

[ de chacune des fonctions suivantes :
f : x
g : x
exercice 4
Fonction rationnelle
Déterminer deux primitives sur ]0,+

[ de la fonction f : x

.
exercice 5
Puissance
Déterminer deux primitives sur

de f : x

5 (4x - 1)
6
et deux primitives sur ]1; +

[ de g : x
^5})
.
exercice 6
Racine carrée
Déterminer une primitive sur ]-1; +

[ de f : x

,
et une primitive sur ]2; +

[ de g : x

.
exercice 7
Primitives et dérivées
1. Soit g la fonction définie sur ]0; +

[ par g(x) = x

x.
Calculer la dérivée de g sur ]0,+

[.
2. Soit f la fonction définie sur ]0; +

[ par f(x) =

x.
Déduire de la première question une primitive de f sur ]0; +

[ .
exercice 8
Signe et variations d'une primitive
Soit f la fonction définie sur ]-3,+

[ par f(x) =

et F la primitive de f sur ]-3,+

[ qui s'annule en zéro.
1. Etudier les variations de la fonction F sur ]-3; +

[.
2. Etudier le signe de F(x) sur [-3; +

[.
3. Soit g la fonction définie sur ]-3; +

[ par g(x) = F(x) - x.
a) Démontrer que g est décroissante sur ]-3; +

[.
b) En déduire que : si x > 0, alors F(x) < x.
exercice 1
1. Des primitives de x

x sont par exmple :
x

x
2 + 4 ou encore x

x
2 - 4,5
d'une manière générale : x

x
2 +

où
Des primitives de x

x
2 sont par exemple :
x

x
3 + 89 ou encore x

x
3 - 12,7
d'une manière générale : x

x
3 +

où
Des primitives de x

x
3 sont par exemple :
x

x
4 + 8,7 ou encore x

x
4 - 121,7
d'une manière générale : x

x
4 +

où
Des primitives de x

-5 sont par exemple :
x

-5x + 1,4 ou encore x

-5x + 17
d'une manière générale : x

-5x +

où
2. Des primitives de x

2x sont de la forme x

x
2 +

où
Des primitives de x

-3x
2 sont de la forme x

-x
3 +

où
Des primitives de x

8x
3 sont de la forme x

2x
4 +

où
3. A l'aide des questions précédentes, une primitive sur

de la fonction x

8x
3 - 3x
2 + 2x - 5 est par exemple :
x
2x4 - x3 + x2 - 5x
exercice 2
1. Une primitive sur

de f : x

0 est F : x

4
D'une manière générale, les primitives de f sont x :

où
Une primitive de g : x

2 est G : x

2x
Une primitive de h : x

x
5 est H : x

x
6
2. Les primitives de i : x

sont I : x

+

où
Les primitives de j : x

sont J : x

+

où
3. Deux primitives sur

de la fonction f sont :
x
x4 +
x2 - x + 2 et x
x4 +
x2 - x + 18
exercice 3
Deux primitives de f sont par exemple :
x
et x
Deux primitves de g sont par exemple :
x
et x
exercice 4
La fonction f peut s'écrire : f : x
Deux primitives de la fonction f sont par exemple :
x
et x
exercice 5
On utilise la formule suivante
' = nu'u^{n-1})
avec u(x) = 4x - 1 et n = 7.
Deux primitives de f sur

sont donc :
x
et x
On utilise la forumule suivant :
' = -\dfrac{nu'}{u^{n+1}})
avec u(x) = 3x + 2 et n = 4.
Deux primitives de g sur ]1; +

[ sont donc :
x
et x
exercice 6
On utilise la formule
avec u(x) = 3x + 5
Une primitive sur ]-1; +

[ de f est donc : x
avec u(x) = x
2 + 2x - 8
Une primitive sur ]2; +

[ de g est donc : x
exercice 7
1. g est dérivable sur ]0; +

[ et :
g'
2. En remarquant, à l'aide de la question précédente que f(x) =

g'(x),
une primitive de f sur ]0; +

[ est : x
exercice 8
1. Etude des variations de F sur ]-3; +

[ :
Pour tout x de ]-3; +

[, F'(x) = f(x).
Pour étudier les variations de F, étudions le signe de f :
Donc : f'(x) < 0 pour x

]-3; 0[;
f'(x) = 0 pour x = 0;
f'(x) > 0 pour x

]0; +

[
D'où : F est décroissante sur ]-3; 0] et croissante sur [0; +

[
2. D'après les variations de F, F admet un minimum en 0. De plus, F(0) = 0 (puisque F est la primitive de f qui s'annule en 0).
D'où : pour tout x

[-3; +

[, F(x)

0.
3. a) Pour tout

appartenant à ]-3; +

[,
Pour tout

appartenant à ]-3; +

[,

< 0
Donc : pour tout

appartenant à ]-3; +

[,
)
< 0
D'où : g est décroissante sur ]-3; +

[.
3. b) D'après les variations de g, g est décroissante sur [0; +

[ et admet donc un maximum en 0.
De plus, g(0) = F(0) - 0 = 0.
Donc : pour tout x > 0, g(x) < 0
c'est-à-dire : pour tout x > 0, F(x) - x < 0
D'où : pour tout x > 0, F(x) < x.