Fiche de mathématiques
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Les suites arithmétiques

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1. Définition

Définition :
Une suite (un) est arithmétique si il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n, un+1 = un + r.
r est appelé raison de la suite.



 Teste-toi (Exercice 1)


  Teste-toi (Exercice 2)


2. Calcul du terme général un


C'est ce qu'on appelle également la forme explicite de un.
Théorème :
Si (un) est une suite arithmétique de raison r, alors pour tous les entiers naturels n et p, on a :
un = u0 + nr et un = up + (n - p) r.

Démonstration :
(un) est une suite arithmétique de raison r. Donc, pour tout entier naturel n, on a :
un = un-1 + r
un-1 = un-2 + r
...
u2 = u1 + r
u1 = u0 + r
En additionnant ces n égalités membre à membre, on obtient :
un + un-1 + ... + u2 + u1 = un-1 + r + un-2 + r + ... + u1 + r+ + u0 + r
soit : un = u0 + nr

(un) est une suite arithmétique de raison r. Donc, pour tous entiers naturels n et p, on a :
un = u0 + nr et up = u0 + pr
En soustrayant ces deux égalités, on obtient : un - up = u0 + nr - u0 - pr
soit : un = up + (n - p)r

Remarques :
La première formule n'est qu'un cas particulier de la seconde.
Si un = an + b, alors (un) est une suite arithmétique de raison a et de premier terme u0 = b.



3. Variations

Etablissons la différence entre 2 termes consécutifs d'une suite arithmétique u_n de raison r :
u_{n+1} - u_n = ( u_n + r) - u_n = \color{red}r
si r > 0 alors u_{n+1} - u_n > 0  , donc u_{n+1} > u_n   : la suite est croissante
si r < 0 alors u_{n+1} - u_n < 0  , donc u_{n+1} < u_n   : la suite est décroissante
si r = 0 alors u_{n+1} = u_n  : la suite est constante (tous les termes sont égaux)
Propriété :
Soit u_n une suite arithmétique de raison r
si r > 0 alors la suite u_n est croissante
si r < 0 alors la suite u_n est décroissante


Exemples :
soit la suite arithmétique définie par u_0 = -5 et r = 3.
r > 0 donc la suite est croissante
Si on calcule les premiers termes, on obtient : -5 ; -2 : 1 ; 4 ; 7.
soit la suite arithmétique définie par v_1 = 4 et r = -1.
r < 0 donc la suite est décroissante
Les premiers termes sont : 4 ; 3 ; 2 ; 1 ; 0 ; -1.

  Teste-toi (Exercice 3)

  Teste-toi (Exercice 4)

4. Somme des n premiers termes

Cas particulier :
La somme des n premiers entiers naturels non nuls est égale à \dfrac{n(n + 1)}{2}

Démonstration :
Soit S la somme des n premiers entiers naturels non nuls, S = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 2) + (n - 1) + n.
Sur une première ligne, écrivons la somme dans l'ordre croissant, puis sur une deuxième ligne, la somme dans l'ordre décroissant :
\begin{array}{ccccccccccccc} S = 1&+&2&+&3&+&...&+&(n - 2)& + &(n - 1)& + &n\\ S = n& + & (n - 1) & + & (n - 2) & + & ... & + & 3 & + & 2 & + & 1\end{array}
En sommant ces deux égalités, on obtient :
2S = (1 + n) + (2 + n - 1) + (3 + n - 2) + ... + (n - 2 + 3) + (n - 1 + 2) + (n + 1)
soit 2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + ... + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1)
donc : 2S = n(n + 1)
D'où : S = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 2) + (n - 1) + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}
Théorème :
Si (un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0,
alors pour tout entier n : S = u0 + u1 + ... + un-1 = n \dfrac{u_0 + u_{n-1}}{2} = n \dfrac{2u_0 + r(n - 1)}{2}
S est appelée la somme des n premiers termes de la suite (un). Elle est égale au produit du nombre de termes par la demi-somme des termes extrêmes.

Démonstration :
Les n premiers termes de la suite arithmétique (un) sont u0; u1 = u0 + r; u2 = u0 + 2r; ...; un-3 = u0 + (n - 3)r; un-2 = u0 + (n - 2)r et un-1 = u0 + (n - 1)r. Donc :
S = u0 + u1 + u2 + ... + un-3 + un-2 + un-1
S = u0 + (u0 + r) + (u0 + 2r) + ... + (u0 + (n - 3)r) + (u0 + (n - 2)r) + (u0 + (n - 1)r)
S = nu0 + r + 2r + ... + (n - 3)r + (n - 2)r + (n - 1)r
S = nu0 + r[1 + 2 + ... + (n - 3) + (n - 2) + (n - 1)]
Or, on a vu que 1 + 2 + ... + (n - 2) + (n - 1) = \dfrac{(\text{n} - 1)\text{n}}{2}. Donc :
S = \text{n}u_0 + \dfrac{r(\text{n} - 1)\text{n}}{2}\\ S = \text{n} \dfrac{2u_0 + r(\text{n} - 1)}{2}\\ S = \text{n}\dfrac{u_0 + u_{\text{n} - 1}}{2}

  Teste-toi (Exercice 5)

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