Une suite (un) est arithmétique si il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n, un+1 = un + r.
r est appelé raison de la suite.
ce qui peut se dire :
Tout terme se déduit du précédent par addition d'une constante appelée raison (ici r).
Teste-toi (Exercice 1)
Soit la suite (un) définie pour tout n, par
a) Calculer les termes u1, u2 et u3. Que peut-on conjecturer quant à la nature de la suite ?
b) Démontrer la conjecture.
Correction
a) et
la suite est définie par récurrence : ainsi, pour calculer un terme de rang n+1, on utilise le terme de rang n, c'est-à-dire le précédent.
Dans l'égalité , si on remplace n par 0, on trouve u1 , puis si on remplace
n par 1 on trouve u2 et ainsi de proche en proche, ce qui donne :
à la lecture des premiers termes 0 ; -3; -6; -9, on conjecture que la suite semble être arithmétique, de raison -3.
b) Démonstration : on établit la différence
on constate que, pour tout n, la différence entre deux termes consécutifs est constante (ne dépend pas de n).
donc, la suite (un) est arithmétique de raison r = -3 et de premier terme u0=0.
soit
note : une conjecture ne vaut jamais preuve : il faut toujours la démontrer.
--> RQ : dans le cas présent, on pouvait écrire plus rapidement : pour tout n, ce qui montre que (un) est une suite arithmétique de raison -3.
Teste-toi (Exercice 2)
Soit la suite (vn) définie pour tout n*, par
a) Calculer les termes v2, v3, v4.
b) La suite est-elle arithmétique ?
Correction
a) on a et
observation des premiers termes -1 ; -3 ; -4 ; -4 : on peut conjecturer que la suite ne semble pas arithmétique.
b) Démonstration : pour montrer qu'une suite n'est PAS arithmétique, un seul contre-exemple suffit.
on calcule séparément :
on en déduit que la suite (vn) n'est pas arithmétique.
2. Calcul du terme général un
C'est ce qu'on appelle également la forme explicite de un.
Théorème :
Si (un) est une suite arithmétique de raison r, alors pour tous les entiers naturels n et p, on a :
un = u0 + nr et un = up + (n - p) r.
Démonstration : (un) est une suite arithmétique de raison r. Donc, pour tout entier naturel n, on a :
un = un-1 + r
un-1 = un-2 + r
...
u2 = u1 + r
u1 = u0 + r
En additionnant ces n égalités membre à membre, on obtient :
un + un-1 + ... + u2 + u1 = un-1 + r + un-2 + r + ... + u1 + r+ + u0 + r
soit : un = u0 + nr
(un) est une suite arithmétique de raison r. Donc, pour tous entiers naturels n et p, on a :
un = u0 + nr et up = u0 + pr
En soustrayant ces deux égalités, on obtient : un - up = u0 + nr - u0 - pr
soit : un = up + (n - p)r
Remarques : La première formule n'est qu'un cas particulier de la seconde.
Si un = an + b, alors (un) est une suite arithmétique de raison a et de premier terme u0 = b.
3. Variations
Etablissons la différence entre 2 termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison r :
si r > 0 alors , donc : la suite est croissante
si r < 0 alors , donc : la suite est décroissante
si r = 0 alors : la suite est constante (tous les termes sont égaux)
Propriété :
Soit une suite arithmétique de raison r
si r > 0 alors la suite est croissante
si r < 0 alors la suite est décroissante
Exemples :
soit la suite arithmétique définie par = -5 et r = 3.
r > 0 donc la suite est croissante
Si on calcule les premiers termes, on obtient : -5 ; -2 : 1 ; 4 ; 7.
soit la suite arithmétique définie par = 4 et r = -1.
r < 0 donc la suite est décroissante
Les premiers termes sont : 4 ; 3 ; 2 ; 1 ; 0 ; -1.
Teste-toi (Exercice 3)
Soit la suite arithmétique (un) définie pour tout nN
par son premier terme u0 = -1 et sa raison r = 2.
a) établir la formule de récurrence qui définit la suite (un).
Calculer u1, u2, u3.
b) écrire la forme explicite de (un), puis calculer u100
c) préciser la variation de la suite.
Correction
a)
la définition par récurrence de la suite arithmétique (un) est
u1 = u0 + 2 = -1 + 2 = 1 ; u2 = u1 + 2 = 1 + 2 = 3 ; u3 = u2 + 2 = 3 + 2 = 5
remarque : avec cette formule, pour calculer u100,
il faudrait calculer séquentiellement u1, puis u2, puis u3...
jusqu'à u100. un peu laborieux...
b)
la formule générale explicite d'une suite arithmétique de premier terme u0
et de raison r est
donc , soit
avec la formule explicite, pour obtenir u100, soit pour n=100, on calcule directement
c)
la variation d'une suite arithmétique ne dépend que du signe de sa raison.
r = 2 > 0 la suite est donc croissante.
Teste-toi (Exercice 4)
Soit la suite arithmétique (vn) définie pour tout nN*
par son premier terme v1 = 2 et sa raison r = -3.
a) établir la formule de récurrence qui définit la suite (vn).
Calculer v2, v3, v4.
b) écrire la forme explicite de (vn), puis calculer v50.
c) préciser la variation de la suite.
Correction
a)
la définition par récurrence de la suite arithmétique (vn) est
v2 = v1 - 3 = 2 - 3 = -1 ;
v3 = v2 - 3 = -1 - 3 = -4 ;
v4 = v3 - 3 = - 4 - 3 = -7
remarque : à l'observation des premiers termes de la suite : 2 ; -1 ; -4 ; -7,
on peut conjecturer que la suite semble décroissante.
b)
la formule générale explicite d'une suite arithmétique de premier terme v1
et de raison r est
donc , soit
vérification : ; ;
avec la formule explicite, on calcule directement
c)
la variation d'une suite arithmétique ne dépend que du signe de sa raison.
r = -3 < 0 la suite est donc décroissante.
4. Somme des n premiers termes
Cas particulier :
La somme des n premiers entiers naturels non nuls est égale à
Démonstration : Soit S la somme des n premiers entiers naturels non nuls, S = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 2) + (n - 1) + n.
Sur une première ligne, écrivons la somme dans l'ordre croissant, puis sur une deuxième ligne, la somme dans l'ordre décroissant :
En sommant ces deux égalités, on obtient :
2S = (1 + n) + (2 + n - 1) + (3 + n - 2) + ... + (n - 2 + 3) + (n - 1 + 2) + (n + 1)
soit 2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + ... + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1)
donc : 2S = n(n + 1)
D'où : S = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 2) + (n - 1) + n =
Théorème :
Si (un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0,
alors pour tout entier n : S = u0 + u1 + ... + un-1 = S est appelée la somme des n premiers termes de la suite (un). Elle est égale au produit du nombre de termes par la demi-somme des termes extrêmes.
Démonstration : Les n premiers termes de la suite arithmétique (un) sont u0; u1 = u0 + r; u2 = u0 + 2r; ...; un-3 = u0 + (n - 3)r; un-2 = u0 + (n - 2)r et un-1 = u0 + (n - 1)r. Donc :
S = u0 + u1 + u2 + ... + un-3 + un-2 + un-1 S = u0 + (u0 + r) + (u0 + 2r) + ... + (u0 + (n - 3)r) + (u0 + (n - 2)r) + (u0 + (n - 1)r)
S = nu0 + r + 2r + ... + (n - 3)r + (n - 2)r + (n - 1)r
S = nu0 + r[1 + 2 + ... + (n - 3) + (n - 2) + (n - 1)]
Or, on a vu que 1 + 2 + ... + (n - 2) + (n - 1) = . Donc :
Teste-toi (Exercice 5)
Soit la suite arithmétique (un) définie pour tout n
par un = 2n - 1
Calculer la somme S des 10 premiers termes de la suite.
Correction
S est la somme des termes u0 à u9
nombre de termes = 10
premier terme = u0 = 2 x 0 - 1 = -1
dernier terme = u9 = 2 x 9 - 1 = 17
d'où
Publié par malou/carita
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Teste-toi (Exercice 1)
de raison r :
 - u_n = \color{red}r )
, donc 
: la suite est croissante
, donc 
: la suite est décroissante
: la suite est constante (tous les termes sont égaux)
= -5 et r = 3.
= 4 et r = -1.
& + &(n - 1)& + &n\\ S = n& + & (n - 1) & + & (n - 2) & + & ... & + & 3 & + & 2 & + & 1\end{array})
}{2})
\text{n}}{2})
. Donc :
\text{n}}{2}\\ S = \text{n} \dfrac{2u_0 + r(\text{n} - 1)}{2}\\ S = \text{n}\dfrac{u_0 + u_{\text{n} - 1}}{2})
, par
}{2})
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