Fiche de mathématiques
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Probabilités

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exercice 1

Une urne contient trois boules vertes portant le numéro 0, deux boules rouges portant le numéro 5 et une boule noire portant le numéro a (a est un entier naturel non nul, différent de 5 et de 10).
Toutes les boules sont indiscernables au toucher.
Un joueur tire simultanément trois boules de l'urne.

1. Quelle est la probabilité pour qu'il tire :
    a) trois boules de la même couleur,
    b) trois boules de couleurs différentes,
    c) deux boules et deux seulement de la même couleur.

2. Le joueur reçoit, en francs, la somme des numéros marqués sur les boules tirées. Les gains possibles du joueur sont donc :
0 ;  5 ;   10 ;   a ;   5 + a ;   10 + a.
    a) Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur, déterminer la loi de probabilité de X.
    b) Calculer l'espérance mathématique de X en fonction de a.
    c) Calculer a pour que l'espérance de gain du joueur soit de 20 francs.




exercice 2

Les questions 1 et 2 peuvent être traitées indépendamment. Les résultats seront donnés sous forme de fractions.
À la gare A, 16 voyageurs ont pris chacun un billet dont :
7 pour la gare B (prix du billet 50 francs)
5 pour la gare C (prix du billet 60 francs)
4 pour la gare D (prix du billet 75 francs)

1. On choisit au hasard un de ces voyageurs.
Soit X la variable aléatoire associant à chaque voyageur le prix de son billet (en francs).
    a) Déterminer la loi de probabilité de X.
    b) Calculer l'espérance mathématique de X.

2. On choisit au hasard trois de ces voyageurs.
    a) Calculer la probabilité pour que ces trois voyageurs aient trois destinations différentes.
    b) Calculer la probabilité pour qu'au moins un des voyageurs ait un billet pour la gare B.
    c) Quelle est la probabilité pour que cette destination soit B, sachant que les trois voyageurs ont la même destination.



exercice 1

Épreuve : tirage simultané de 3 boules dans une urne comportant 6 boules.
Les boules étant indiscernables au toucher, nous sommes dans l'hypothèse d'équiprobabilité.
Il s'ensuit : card \Omega = {6 \choose 3} = 20.

1. a) Soit A l'événement : « les trois boules sont de la même couleur ». A se traduit par : « les trois boules sont vertes ».
Donc p(A) = \dfrac{{3 \choose 3}}{20} = \dfrac{1}{20}.

b) Soit B l'événement : « les trois boules sont de couleurs différentes ». B se traduit par : « une boule verte et une boule rouge et une boule noire ».
Donc, p(B) = \dfrac{{3 \choose 1}\times{2 \choose 1}\times{1 \choose 1}}{20} = \dfrac{3}{10}.

c) Soit C l'événement : « deux boules et deux seulement sont de la même couleur ». C s'écrit : C = \over{\text{A} \cup \text{B}}.
p(C) = 1 - p(A\cupB) avec A et B incompatibles.
Donc : p(C) = 1 - (p(A) + p(B)) = \dfrac{13}{20}.

2. a) X(\Omega) = {0,5 ; 10 ; a ; 5 + a ; 10 + a } avec a entier non nul, différent de 5 et de 10.
p(X = 0) = p(A) = \dfrac{1}{20};
p(X = 5) = p(2 vertes et 1 rouge) = \dfrac{{3 \choose 2}\times{2 \choose 1}}{20} = \dfrac{3}{10};
p(X = 10) = p(1 verte et 2 rouges) = \dfrac{{3 \choose 1}\times{2 \choose 2}}{20} = \dfrac{3}{20};
p(X = a) = p(2 vertes et 1 noire) = \dfrac{{3 \choose 2}\times{1 \choose 1}}{20} = \dfrac{3}{20};
p(X = 5 + a) = p(B) = \dfrac{3}{10};
p(X = 10 + a) = p(2 rouges et 1 noire) = \dfrac{{2 \choose 2}\times{2 \choose 1}}{20} = \dfrac{1}{20}.
D'où la loi de X :

xi 0 5 10 a 5+a 10+a
p(X = xi) \dfrac{1}{20} \dfrac{3}{10} \dfrac{3}{20} \dfrac{3}{20} \dfrac{3}{10} \dfrac{1}{20}


Remarquons que p(X = 0) + p(X = 5) + p(X = 10) + p(X = a) + p(X = 5+a) + p(X = 10 + a) est bien égal à 1.

b) E(X) = 0 × p(X = 0) + 5 × p(X = 5) + 10 × p(X = 10) + a × p(X = a) + (5+a) × p(X = 5+a) + (10+a) × p(X = 10 + a) = 5 + \dfrac{1}{2}a.

c) E(X) = 20 si et seulement si a = 30.




exercice 2

1. X désigne la variable aléatoire correspondant au prix du billet de chacun des voyageurs.
a) Sur les 16 voyageurs qui ont pris un billet, 7 l'ont pris pour la gare B au prix de 50 francs.
Donc : p(X = 50) =
deux exercices type Bac - les probabilités - terminale : image 12
.
5 ont pris un billet pour la gare C au tarif de 60 francs. Nous pouvons donc en déduire que : p(X = 60) = \dfrac{5}{16}.
Enfin, 4 ont pris un billet à 75 francs pour la gare D, donc : p(X = 75) = \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4}.
La loi de probabilité de X est donc la suivante :

xi 50 60 75
p(X = xi) \dfrac{7}{16} \dfrac{5}{16} \dfrac{1}{4}


b) L'espérance mathématique de X est donnée par :
E(X) = 50 × p(X = 50) + 60 × p(X = 60) + 75 × p(X = 75) = \dfrac{475}{8}.
L'espérance mathématique de X est égale à 59, 375.

2. a) On choisit au hasard trois voyageurs. Nous avons 16 \choose 3 = 560 façons de choisir trois voyageurs.
Notons A l'événement « les trois voyageurs ont des destinations différentes ».
Nous avons donc : p(A) = \dfrac{{7 \choose 1} \times {5 \choose 1} \times {4 \choose 1}}{{16 \choose 3}} = \dfrac{1}{4}.

b) Calculons tout d'abord la probabilité de l'événement D : « aucun des voyageurs n'a un billet pour la gare B ».
Nous avons 9 personnes dont la destination est différente de la gare B, donc :
p(D) = \dfrac{{9 \choose 3}}{{16 \choose 3}} = \dfrac{3}{20}.
L'événement « un voyageur au moins a un billet pour la gare B » est l'événement contraire de D. Or, p(\over{\text{D}}) = 1 - \dfrac{3}{20} = \dfrac{17}{20}.
La probabilité pour qu'au moins un des voyageurs ait un billet pour la gare B est égale à \dfrac{17}{20}.

c) Calculons tout d'abord la probabilité que les trois voyageurs aient la même destination (événement E). Ceux-ci peuvent aller soit à la gare B, soit à la gare C, soit à la gare D. Ces trois événements étant incompatibles, nous avons donc :
p(E) = \dfrac{{7 \choose 3}}{{16 \choose 3}} + \dfrac{{5 \choose 3}}{{16 \choose 3}} + \dfrac{{4 \choose 3}}{{16 \choose 3}} = \dfrac{7}{80}.
La probabilité que les trois voyageurs aillent à la gare B (événement F) est : p(F) = \dfrac{35}{560}=\dfrac{1}{16}.
L'événement « la destination est B, sachant que les trois voyageurs ont la même destination » correspond à l'événement F/E.
Or, p(F/E) = \dfrac{p(\text{F} \cap \text{E})}{p(\text{E})} = \dfrac{p(\text{F})}{p(\text{E})} = \dfrac{5}{7}.
La probabilité pour que la destination soit B sachant que les trios voyageurs ont la même destination est égale à \dfrac{5}{7}.
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