Fiche de mathématiques
> >

Exercice sur les probabilités conditionnelles

Partager :



exercice

Dans un pays, il y a  2\% de la population contaminée par un virus.
On dispose d'un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :
La probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité du test).
La probabilité qu'une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spécificité du test).

On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.
On note V l'évènement "la personne est contaminée par le virus" et T l'évènement "le test est positif".
\overline{V} et \overline{T} désignent respectivement les évènements contraires de V et T.
1 a Préciser les valeurs des probabilités p(V),\, p_{V}(T),\, p_{\overline{V}}(\overline{T}).
Traduire la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
b En déduire la probabilité de l'évènement V \cap T.
2 Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,049~2.
3 a Justifier par un calcul la phrase : «Si le test est positif, il n'y a qu'environ 40\% de "chances" que la personne soit contaminée ».
b Déterminer la probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.
4 Les événements V et T sont-ils indépendants?





1 a p(V) = 0,02\qquad p_V(T) = 0,99 \qquad p_{\overline{V}}\left(\overline{T}\right) = 0,97.
On obtient ainsi l'arbre suivant :
Exercice sur les probabilités conditionnelles : image 1
b On a donc p(V \cap T) = 0,02 \times 0,99 = 0,0198
2 D'après la formule des probabilités totales on a :
\begin{array}{rl} p(T) & = p(T \cap V) + p\left(T \cap \overline{V}\right) \\ & = 0,0198 + 0,98 \times 0,03 \\ &= 0,0198 + 0,0294\\ &= 0,0492 \end{array}
3 a Il s'agit d'évaluer p_T(V) \text{ : }\;\; p_T(V)= \dfrac{p(V \cap T)}{p(T)} = \dfrac{0,0198}{0,0492} \approx 0,4024.
Si le test est positif, il n'y a donc qu'environ 40\% de "chances" que la personne soit contaminée.
b On veut calculer p_{\overline{T}}\left(\overline{V}\right)\text{ : }\;\; p_{\overline{T}}\left(\overline{V}\right)= \dfrac{p\left(\overline{V} \cap \overline{T}\right)}{p\left(\overline{T}\right)} = \dfrac{0,98 \times 0,97}{1 - 0,0492} \approx 0,9998.
La probabilité que la personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que le test est négatif est donc de 99,98\%.
4 p_V(T)=0,99 \text{ et } p(T)=0,0492. Donc p_V(T)\neq p(T) ,les événements ne sont donc pas indépendants.

Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1336 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !