Fiche de mathématiques
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Probabilités

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exercice 1

Une urne A contient trois boules : une rouge, une bleue et une noire. Une urne B contient trois boules : une rouge et deux noires. Une urne C contient trois boules : deux bleues et une noire.
On tire une boule, au hasard, de chaque urne.
On suppose que, dans chaque urne, les tirages sont équiprobables.

1. a) Quelle est la probabilité p0 de n'obtenir aucune boule noire ?
    b) Quelle est la probabilité p1 d'obtenir exactement une boule noire ?
    c) Quelle est la probabilité p2 d'obtenir exactement deux boules noires ?
    d) Quelle est la probabilité p3 d'obtenir trois boules noires ?

2. Si on tire exactement une boule noire, on perd un point. Si on tire zéro ou deux boules noires, on gagne zéro point. Si on tire trois boules noires, on gagne trois points.
    a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui à tout tirage associe le gain réalisé ?
    b) Calculer l'espérance mathématique de X. La règle du jeu est-elle favorable au joueur ?




exercice 2

deux exercices type Bac - les probabilités - terminale : image 1

Un pion se déplace par sauts successifs sur la droite \Delta munie du repère (O;\vec{i}). Son point de départ est le point O.
Deux types de sauts sont possibles :
    D : deux unités vers la droite
    G : une unité vers la gauche.
Les sauts successifs sont supposés indépendants les uns des autres, et chaque type de saut a la même probabilité d'être effectué. On suppose que le pion va effectuer trois sauts successifs.

1. Donner la liste des différents parcours possibles. On pourra éventuellement dessiner "l'arbre des parcours", et désigner chaque parcours à l'aide d'un triplet, par exemple : (D, D, G) signifie que le pion s'est déplacé d'abord deux fois vers la droite, puis une fois vers la gauche.

2. Pour chaque parcours trouvé, préciser l'abscisse du point occupé par le pion après les trois sauts.

3. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque parcours, associe l'abscisse du point où aboutit le pion. Donner la loi de probabilité de X, et son espérance mathématique.



exercice 1

1. Les tirages sont indépendants.
    a) p0 = p(aucune noire) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{27}
    b) p1 = p(une noire exactement)
Pour cela, on pose : p1 = p(N) avec N = N1\cupN2\cupN3.
N1 : " la seule noire provient de A "
N2 : " la seule noire provient de B "
N3 : " la seule noire provient de C "
Ces trois événements étant incompatibles deux à deux, on obtient :
p1 = p(N1) + p(N2) + p(N3)   où p(N1) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3}, p(N2) =
deux exercices type Bac - les probabilités - terminale : image 2
×
deux exercices type Bac - les probabilités - terminale : image 2
×
deux exercices type Bac - les probabilités - terminale : image 2
, p(N3) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3}.
d'où : p1 = \dfrac{4}{9}.
   c) p2 = p(deux noires exactement)
p2 = p(N') avec N' = N'1\cupN'2\cupN'3.
N'1 : " les deux boules noires proviennent de A et B "
N'2 : " les deux boules noires proviennent de B et C "
N'3 : " les deux boules noires proviennent de A et C "
Ces trois événements étant incompatibles deux à deux, on obtient :
p2 = p(N'1)+ p(N'2)+ p(N'3)   où p(N'1) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3}, p(N'2) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3}, p(N'3) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3}.
d'où : p2 = \dfrac{1}{3}.
   d) p3 = p(3 boules noires) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{27}.

2. a) X(\omega) = {-1 ; 0 ; 3}.
p(X = 0) = p0 + p2 = \dfrac{13}{27};
p(X = -1) = p1 = \dfrac{4}{9};
p(X = 3) = p3 = \dfrac{2}{27}.
La loi de probabilité de X est :

xi -1 0 3
p(X = xi) \dfrac{4}{9} \dfrac{13}{27} \dfrac{2}{27}


b) E(X) = -1×p(X = -1) + 0×p(X = 0) + 3×p(X = 3) = -\dfrac{2}{9}.
L'espérance de X étant non nulle, le jeu n'est pas équitable.
Comme l'espérance de X est négative, alors le jeu n'est pas favorable pour le joueur.




exercice 2

1. Le pion se déplace par sauts successifs indépendamment les uns des autres. Pour trois sauts successifs, l'arbre de parcours est le suivant :
deux exercices type Bac - les probabilités - terminale : image 6


2. Les abscisses du point occupé par le pion après les trois sauts peuvent âtre résumés par le tableau suivant :

parcours abscisse
(G,G,G) -3
(G,G,D) 0
(G,D,G) 0
(G,D,D) 3
(D,G,G) 0
(D,G,D) 3
(D,D,G) 3
(D,D,D) 6


3. Soit X la variable aléatoire associant l'abscisses du point où aboutit le pion à l'issue des trois sauts. Il y a huit issues possibles ; compte tenu du tableau précédent, nous pouvons donner la loi de probabilité de X :

xi -3 0 3 6
p(X = xi) \dfrac{1}{8} \dfrac{3}{8} \dfrac{3}{8} \dfrac{1}{8}


L'espérance mathématique de X est donnée par :
E(X) = -3 × p(X = -3) + 0 × p(X = 0) + 3 × p(X = 3) + 6 × p(X = 6) = \dfrac{3}{2}.
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