Fiche de mathématiques
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Probabilités

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exercice 1

Toutes les probabilités seront données sous forme de fractions irréductibles.
Une urne contient huit boules blanches et deux boules rouges.
Un joueur extrait simultanément trois boules de l'urne. On suppose que tous les tirages sont équiprobables.

1. A l'issue d'un tirage de trois boules :
si aucune boule n'est rouge, le joueur perd 10 francs ;
si une seule boule est rouge, le joueur gagne 5 francs ;
si deux boules sont rouges, le joueur gagne 20 francs.
X est la variable qui associe le gain algébrique du joueur à l'issue d'un tirage.
Donner la loi de probabilité de X.
Calculer l'espérance mathématique E(X).

2. Le joueur joue deux fois de suite selon les mêmes règles en remettant dans l'urne, après chaque tirage, les trois boules extraites.
Y est la variable aléatoire qui associe le gain algébrique du joueur à l'issue des deux tirages.
Donner les valeurs possibles pour Y. Déterminer la probabilité que le joueur gagne exactement 10 francs à l'issue des deux parties. (On pourra s'aider d'un arbre).




exercice 2

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
On donnera les résultats sous forme décimale arrondie au millième. Voici quelques vers d'un poème de Pablo Neruda :
Parmi les plumes qui effraient, parmi les nuits
Parmi les magnolias, parmi les télégrammes,
Parmi le vent du sud et l'ouest marin,
Te voici qui viens en volant.

On recopie chacun des 29 mots de cette strophe (" l' " compte pour un mot) sur un carton que l'on place dans une urne.

1. On tire simultanément et au hasard trois cartons parmi les 29.
    a) Calculer la probabilité d'obtenir ensemble les trois mots : " parmi, les, plumes ".
    b) Quelle est la probabilité de tirer au moins une fois le mot " parmi " ?

2. On tire maintenant un seul carton de l'urne.
    a) Quelle est la probabilité d'obtenir le mot " parmi " ?
    b) On répète l'expérience 3 fois avec remise du carton tiré dans l'urne.
Calculer la probabilité d'obtenir exactement une fois le mot " parmi ".




exercice 3

Le jeune Eric, trois ans, s'amuse à taper sur les touches du minitel.

1. Il frappe au hasard sur une touche du clavier, chaque touche ayant la même probabilité d'être frappée. Ce claver comporte 57 touches dont 26 représentent les 26 lettres de l'alphabet français.
    a)Quelle est la probabilité pour qu'il frappe une lettre ?
    b) Quelle est la probabilité pour qu'il frappe une lettre de son prénom ?

2. Eric frappe successivement 4 touches, distinctes ou non.
Quelle est la probabilité de chacun des événements suivants :
    a) Eric frappe son prénom.
    b) Eric frappe les 4 lettres de son prénom.
    c) Eric frappe 4 touches différentes.
    d) Eric frappe son prénom sachant qu'il a frappé 4 touches différentes.
On donnera les résultats approchés sous la forme a×10-n où n est un entier naturel et a un nombre entier tel que 0 < a < 10.



exercice 1

1. Il y a 10 \choose 3 = 120 tirages différents.
La probabilité de ne tirer aucune boule rouge est égale à : \dfrac{{8 \choose 3}}{{10 \choose 3}} = \dfrac{7}{15}.
Par conséquent, p(X = -10) = \dfrac{7}{15}.
p(X = 5) représente la probabilité de tirer une seule boule rouge, donc : p(X = 5) = \dfrac{{2 \choose 1} \times {8 \choose 2}}{{10 \choose 3}} = \dfrac{7}{15}.
De même, p(X = 20) correspond à la probabilité de tirer les deux boules rouges, et on a : p(X = 20) = \dfrac{{2 \choose 2} \times {8 \choose 1}}{{10 \choose 3}} = \dfrac{1}{15}.
On peut récapituler ces résultats dans le tableau suivant :

xi -10 5 20
p(X = xi) \dfrac{7}{15} \dfrac{7}{15} \dfrac{1}{15}



L'espérance de X est donné par :
E(X) = -10×p(X = -10) + 5×p(X = 5) + 20×p(X = 20) = -1.
L'espérance mathématique de X est -1, ce qui correspond à une perte de un franc.

2. Les différents gains possibles peuvent être schématisés comme suit :
trois exercices type Bac - les probabilités - terminale : image 7

L'ensemble des valeurs possibles pour Y est donc :{-20 ; -5 ; 10 ; 25 ; 40}.
Le joueur gagne exactement 10 francs dans les cas suivants :
A : il n'y a aucune boule rouge au premier tirage et deux boules au second ;
B : il tire une boule rouge au premier et au deuxième tirage ;
C : il tire deux boules rouges au premier tirage et aucune au second.
Ces trois événements sont incompatibles et le résultat du second tirage est indépendant du premier.
Nous avons donc :
p(A) = p(X = -10)×p(X = 20) = \dfrac{7}{225}
p(B) = p(X = 5)×p(X = 5) = \dfrac{49}{225}
p(C) = p(X = 20)×p(X = -10) = \dfrac{7}{225}
Donc : p(Y = 10) = p(A\cupB\cupC) = p(A) + p(B) + p(C) = \dfrac{7}{25}.
La probabilité pour que le joueur gagne exactement 10 francs à l'issue des deux parties est égale à \dfrac{7}{25}.




exercice 2

1. a) Nous avons : 29 \choose 3 = 3654 tirages distincts possibles.
Il y a cinq cartons sur lesquels est inscrit le mot " parmi ", quatre sur lesquels est inscrit " les ", et un seul contenant le mot " plumes ".
Il y a donc 20 tirages distincts contenant ces trois mots. La probabilité d'obtenir ensembles les mots " parmi, les , plumes " est égale à \dfrac{20}{3654} = \dfrac{10}{1827}. Une valeur approchée au millième de cette probabilité est : 0, 005.

    b) Calculons tout d'abord la probabilité que le mot " parmi " n'apparaisse pas lors du triage. L'urne contient 24 cartons ne contenant pas la mot " parmi ".
La probabilité que le mot " parmi " soit obtenu est donc : \dfrac{{24 \choose 3}}{{29 \choose 3}} = \dfrac{1012}{1827}.
L'événement le « mot "parmi" est obtenu au moins une fois au cours du tirage» est l'événement contraire de «le mot "parmi" n'apparaît pas lors du tirage». Donc sa probabilité est égale à : 1 - \dfrac{1012}{1827} = \dfrac{815}{1827}.
La probabilité pour que le mot "parmi" apparaisse au moins une fois au cours du tirage est égale à \dfrac{815}{1827} = 0,446 au millième près.

2. a) Cinq cartons comportent le mot "parmi". La probabilité d'obtenir le mot "parmi" est donc égale à \dfrac{5}{29}, soit 0,172.

    b) La probabilité d'obtenir le mot "parmi" au premier tirage est : \dfrac{5}{9} \times \left(\dfrac{24}{29}\right)^2.
Le mot "parmi" peut être obtenu au premier, au deuxième ou au troisième tirage. La probabilité d'obtenir exactement une fois le mot "parmi" au cours de ces trois tirages est donc égale à : \dfrac{8640}{24389}. Une valeur approchée au millième est 0,354.




exercice 3

1. a) Il y a 26 lettres, donc la probabilité qu'Eric frappe une lettre est p1 = \dfrac{26}{57} \approx 5.10-1.
    b) Son prénom est constitué de quatre lettres, donc la probabilité pour qu'il frappe une lettre de son prénom est : p2 = \dfrac{4}{57} \approx 7.10-2.

2. a) Eric peut composer 574 "codes" de quatre lettres sur le clavier. Il n'y a qu'une possibilité d'écrire le mot Eric. La probabilité qu'Eric frappe son prénom est donc : p3 = \dfrac{1}{57^4} \approx 9.10-8.
    b) Si Eric frappe les quatre lettres de son prénom, il a quatre choix possibles pour la première lettre, trois pour la seconde, deux pour la troisième et la dernière est alors imposée. Il a donc 4 ! = 24 façons d'écrire un anagramme du mot Eric.
    c) Eric a 57 choix possibles pour la frappe de la première touche, 56 pour la deuxième, 55 pour la troisième et 54 pour la quatrième. Il a donc 57×56×55×54 = 9 480 240 façons de frapper quatre touches différentes. La probabilité cherchée est : p5 = \dfrac{9480240}{10556001}, soit p5 \approx 9.10-1.
    d) Notons A et B les événements: A: « Eric frappe son prénom » ; B : « Eric frappe quatre touches différentes ».
A\capB correspond à l'événement A puisque les quatre lettres du mot Eric sont différentes, donc p(A\capB) = p(A).
D'où : p(A/B) = \dfrac{p(\text{A} \cap \text{B})}{p(\text{B})} = \dfrac{1}{9480240}.
La probabilité qu'Eric frappe son prénom, sachant qu'il a frappé quatre touches différents, est égale à \dfrac{1}{9480240} \approx10-7.
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