Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Mathématiques

S Obligatoire et spécialité

Antilles Guyane 2017

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Corrigé Bac S Obligatoire et spécialité

Antilles Guyane 2017

3 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Soit $(E):z^4+2z^3-z-2=0\ \ \ \ \ \ \ (z\in\mathbb{C}).$

1. Une solution évidente de l'équation (E) est z = 1.

En effet z = 1 vérifie bien l'équation (E) puisque $1^4+2\times1^3-1-2=1+2-1-2=0.$

2. Développons le second membre :

$\begin{array}{r @{ = } l} (z^2+z-2)(z^2+z+1)\ &\ z^4+z^3+z^2+z^3+z^2+z-2z^2-2z-2\\&\ z^4+2z^3-z-2 \end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{z^4+2z^3-z-2=(z^2+z-2)(z^2+z+1)}$

3. Résoudre l'équation (E) dans l'ensemble des nombres complexes.

$\begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} z^4+2z^3-z-2=0\ &\ (z^2+z-2)(z^2+z+1)=0\\&\ z^2+z-2=0\ \ \text{ou }z^2+z+1=0 \end{array}$

$z^2+z-2=0\\\Delta=1^2-4\times1\times(-2)=1+8=9\\\\z_1=\dfrac{-1-\sqrt{9}}{2}=\dfrac{-1-3}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2\\\\z_2=\dfrac{-1+\sqrt{9}}{2}=\dfrac{-1+3}{2}=\dfrac{2}{2}=1$

$z^2+z+1=0\\\Delta=1^2-4\times1\times1=1-4=-3\\\\z_3=\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}\\\\z_4=\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}$

Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation (E) est $\boxed{S=\lbrace-2\ ;\ 1\ ;\ \dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}\ ;\ \dfrac{-1 +i\sqrt{3}}{2}\rbrace}.$

4. Le quadrilatère ABCD est-il un losange ?

Soit A le point d'affixe $z_A=-2$
         B le point d'affixe $z_B=\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}$
         C le point d'affixe $z_C=1$
         D le point d'affixe $z_D=\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}$

Bac S Obligatoire et spécialité Antilles Guyane 2017 et son corrigé : image 13

Montrons que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

Affixe du milieu du segment [AC] :

$\dfrac{z_A+z_C}{2}=\dfrac{-2+1}{2}=\boxed{-\dfrac{1}{2}}$

Affixe du milieu du segment [BD] :

$\dfrac{z_B+z_D}{2}=\dfrac{\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}+\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}}{2}=\dfrac{\dfrac{-1-i\sqrt{3}-1+i\sqrt{3}}{2}}{2}=\dfrac{\dfrac{-2}{2}}{2}=\boxed{-\dfrac{1}{2}}$

Puisque ces affixes sont égales, les diagonales du quadrilatère ABCD se coupent en leur milieu.

D'où le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

Montrons que le quadrilatère ABCD est un losange.

$\begin{array}{r @{ = } l} AB^2\ &\ |z_B-z_A|^2\\&\ |\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}-(-2)|^2\\&\ |\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}+2|^2\\&\ |\dfrac{-1-i\sqrt{3}+4}{2}|^2\\&\ |\dfrac{3-i\sqrt{3}}{2}|^2 \\&\ (\dfrac{3}{2})^2+(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2\\&\ \dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}\\&\ \dfrac{12}{4}\\&\ 3\end{array}\ \ \ \ \ \begin{array}{r @{ = } l} BC^2\ &\ |z_C-z_B|^2\\&\ |1-\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}|^2\\&\ |1+\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}|^2\\&\ |\dfrac{2+1+i\sqrt{3}}{2}|^2\\&\ |\dfrac{3+i\sqrt{3}}{2}|^2 \\&\ (\dfrac{3}{2})^2+(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2\\&\ \dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}\\&\ \dfrac{12}{4}\\&\ 3\end{array}$

D'où AB² = BC², soit AB = BC.

Puisque deux côtés consécutifs du parallélogramme ABCD ont même longueur, le quadrilatère ABCD est un losange.

4 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

1. a. Une pièce sera conforme si 22,8 < X < 27,2.

Nous savons que P(22,8 < X < 27,2) = 1 - [P(X < 22,8) + P(X > 27,2)]

L'espérance de X est

₁=25.

Or $\left\lbrace\begin{array}l 22,8 = 25 - 2,2\\27,2 = 25 + 2,2\end{array}$

Par symétrie, nous en déduisons que P(X < 22,8) = P(X > 27,2) = 0,023.

Donc $P(22,8 < X < 27,2) = 1 - (0,023 + 0,023)$

$\Longrightarrow\boxed{ P(22,8 < X < 27,2) =0,954}.$

Par conséquent, la probabilité qu'une pièce soit conforme est égale à 0,954.

b. Nous savons que si X suit une loi normale d'espérance

et d'écart-type sigma

, alors $P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)\approx0,954\ \ \ \ \text{relation (1)}.$

Dans l'exercice 1. a., nous avons montré que P(22,8 < X < 27,2) =0,954.

Sachant que l'espérance de X est

₁=25, nous déduisons que

$\begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} P(22,8 < X < 27,2) = 0,954\ &\ P(25 - 2,2 < X < 25 + 2,2) =0,954\\&\ P(\mu_1 -2\times1,1 < X < \mu_1 + 2\times1,1) =0,954\end{array}$

Si nous prenons $\sigma_1\approx1,1$ , alors nous avons $P(\mu_1 -2\times\sigma_1 < X < \mu_1 + 2\times\sigma_1) \approx0,954$ , ce qui est conforme à la relation (1).

Par conséquent, une valeur approchée de ₁ à 10^-1 près est 1,1.

c. Nous devons calculer $P_{22,8<X<27,2}(X<24)$

Or $P_{22,8<X<27,2}(X<24)=\dfrac{P[(22,8<X<27,2)\cap(X<24)]}{P(22,8<X<27,2)}$
$P_{22,8<X<27,2}(X<24)=\dfrac{P(22,8<X<24)}{P(22,8<X<27,2)}$

Par la calculatrice, nous obtenons que P(22,8 < X < 24) environegal

0,1589.
Par la question 1.a, nous avons P(22,8 < X < 27,2) =0,954.

D'où $P_{22,8<X<27,2}(X<24)\approx\dfrac{0,1589}{0,954}$

$P_{22,8<X<27,2}(X<24)\approx0,1665618.$

Par conséquent, sachant qu'une pièce est conforme, la probabilité que l'épaisseur de nickel déposé sur celle-ci soit inférieure à 24 m est égale à environ 0,167 (arrondi à 10^-3 près).

2. a. Comparons sigma

₁ et

₂.

$\left\lbrace\begin{array}l P(22,8 < {\red{X}} < 27,2) =0,954\\P(22,8 < {\red{Y}} < 27,2) =0,98 \end{array}\\\\\ \Longrightarrow P(22,8 < {\red{X}} < 27,2) <P(22,8 < {\red{Y}} < 27,2) \\\\\Longrightarrow\boxed{\blue{\sigma_1>\sigma_2}}$

b. Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I₅₀₀ au seuil de 95 % de la proportion de pièces conformes.

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

$\left\lbrace\begin{array}l n=500\ge30 \\ p=0,98\Longrightarrow np=500\times0,98=490\ge5 \\n(1-p)= 500\times(1-0,98)= 500\times0,02=10\ge5 \end{array}$

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I₅₀₀ au seuil de 95% est :

$I_{500}=\left[0,98-1,96\sqrt{\dfrac{0,98 (1-0,98)}{ 500}};0,98+1,96\sqrt{\dfrac{0,98 (1-0,98)}{ 500}}\right]\\\\I_{500}\approx[0,967;0,993]$

b. La fréquence observée est $f=\dfrac{485}{500}\approx0,97$

Nous remarquons que $f\in I_{500}.$

Par conséquent, on ne peut pas rejeter l'affirmation de l'équipe d'ingénieurs, au risque de se tromper de 5%.

3 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. Déterminons les coefficients directeurs des deux tangentes.

$f(x)=e^x\Longrightarrow f'(x)=e^x\Longrightarrow f'(a)=e^a\\\\g(x)=e^{-x}\Longrightarrow g'(x)=-e^{-x}\Longrightarrow g'(a)=-e^{-a}$

D'où le coefficient directeur de la tangente T_M en M à $\mathscr{C}_f$ est égal à e^a et le coefficient directeur de la tangente T_N en N à $\mathscr{C}_g$ est égal à -e^-a.

Ces deux tangentes seront perpendiculaires si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1.

$\begin{array}{r @{ = } l} \text{Or }e^a\times(-e^{-a})\ &\ -e^{a-a}\\&\ -e^{0}\\&\ -1 \end{array}$

Puisque le produit des coefficients directeurs des tangentes T_M et T_N est égal à -1, ces deux tangentes sont perpendiculaires.

2. a. Selon les résultats proposés par le logiciel, nous pouvons conjecturer que la longueur PQ est toujours égale à 2.

b. Démonstration de la conjecture.

Une équation de la tangente T_M en (a ; f(a)) est de la forme $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ .

Or $f(a)=e^a\ \ \text{et}\ \ f'(a)=e^a$

D'où une équation de la tangente T_M est $y=e^a(x-a)+e^a$

$y=e^ax-ae^a+e^a\\\\\Longrightarrow\boxed{T_M:y=e^ax+(1-a)e^a}$

De même, une équation de la tangente T_N en (a ; g(a)) est de la forme $y=g'(a)(x-a)+g(a)$ .

Or $g(a)=e^{-a}\ \ \text{et}\ \ g'(a)=-e^{-a}$

D'où une équation de la tangente T_N est $y=-e^{-a}(x-a)+e^{-a}$

$y=-e^{-a}x+ae^{-a}+e^{-a}\\\\\Longrightarrow\boxed{T_N:y=-e^{-a}x+(a+1)e^{-a}}$

Pour déterminer l'abscisse du point P, remplaçons y par 0 dans l'équation de T_M et calculons x.

Nous avons alors :

$e^ax+(1-a)e^a=0\\e^ax=(a-1)e^a\\x=\dfrac{(a-1)e^a}{e^a}\\\\\Longrightarrow\boxed{x=a-1}$

D'où l'abscisse du point P est $\boxed{x_P=a-1}.$

Déterminons l'abscisse du point Q en remplaçant y par 0 dans l'équation de T_N et en calculant x.

Nous avons alors :

$-e^{-a}x+(a+1)e^{-a}=0\\\\e^{-a}x=(a+1)e^{-a}\\\\x=\dfrac{(a+1)e^{-a}}{e^{-a}}\\\\\Longrightarrow\boxed{x=a+1}$

D'où l'abscisse du point Q est $\boxed{x_Q=a+1}.$

Calculons la longueur PQ.

$\begin{array}{r @{ = } l} PQ\ &\ |x_Q-x_P|\\&\ |(a+1)-(a-1)|\\&\ |a+1-a+1|\\&\ |2|\\&\ 2 \end{array}$

Donc la longueur PQ est toujours égale à 2.

5 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. Variations de la fonction f.

$f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}\\\\\begin{array}{r @{ = } l} \Longrightarrow f'(x)\ &\ \dfrac{(\ln(x))'\times x-\ln(x)\times x'}{x^2}\\&\ \dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln(x)\times1}{x^2}\\&\ \dfrac{1-\ln(x)}{x^2} \end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}}$

Puisque x² > 0 sur l'intervalle ]0 ; + infini

[, le signe de la dérivée f'(x) sera le signe de 1-ln(x).

$\begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} 1-\ln(x)=0\ &\ \ln(x)=1\\&\ x=e^1\\&\ x =e\end{array}\\\\\\\begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} 1-\ln(x)>0\ &\ \ln(x)<1\\&\ x<e^1\\&\ x <e\end{array}\begin{array}|\\\\\\\\\\\end{array}\begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} 1-\ln(x)<0\ &\ \ln(x)>1\\&\ x>e^1\\&\ x >e\end{array}$

$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&0&&e&&+\infty \\\hline 1-\ln(x)&||&+&0&-& \\\hline f'(x)&||&+&0&-&\\\hline&||&&&&& f(x)&||&&f(e)=\dfrac{1}{e}&&\\ &||&\nearrow&&\searrow& \\ \hline \end{array}$

D'où la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; e] et est strictement décroissante sur l'intervalle [e ; +[.

2. D'après le tableau de variations de f, nous pouvons déduire que le maximum de la fonction f est égal à $\dfrac{1}{e}$ et est atteint pour x = e.

Partie B

1. La fonction f est continue et strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; e], a fortiori sur l'intervalle [1 ; e].

$\left\lbrace\begin{array}l f(1)=0\ \text{et }f(e)=\dfrac{1}{e}\\n\ge3>e>0\Longrightarrow0<\dfrac{1}{n}\le\dfrac{1}{3}<\dfrac{1}{e} \end{array}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{array}l f(1)=0\ \text{et }f(e)=\dfrac{1}{e}\\\dfrac{1}{n}\in\ [0\ ;\ \dfrac{1}{e}]\end{array}\Longrightarrow\boxed{\dfrac{1}{n}\in\ [f(1)\ ;\ f(e)]}$

Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=\dfrac{1}{n}$ admet une seule solution _n dans l'intervalle [1 ; e].

2. a. Le graphique ci-dessous nous indique que $\alpha_3\ge\alpha_4\ge\alpha_5.$

Bac S Obligatoire et spécialité Antilles Guyane 2017 et son corrigé : image 14

Nous pouvons conjecturer que la suite (_n) est décroissante.

b. Nous savons que pour tout n > 0, $\dfrac{1}{n}>\dfrac{1}{n+1}$ .

Or si n supegal

3, $\dfrac{1}{n}=f(\alpha_n)\ \text{et }\dfrac{1}{n+1}=f(\alpha_{n+1})$

Donc si n supegal

3, $\boxed{f(\alpha_n)>f(\alpha_{n+1})}.$

Sachant que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [1 ; e], nous en déduisons que $\boxed{\alpha_n>\alpha_{n+1}}.$

Par conséquent, si n 3, la suite (_n) est décroissante.

c. La suite ( alpha

_n) est décroissante et minorée par 1 puisque alpha

[1 ; e] par définition de alpha

_n.

Par conséquent, la suite (_n) converge.

3. a. Selon l'énoncé, on admet que la suite ( beta

_n) est croissante.

D'où si n supegal

3, alors

₃

Comme la fonction ln est croissante sur $\mathbb{R}^*_+$ , nous avons : ln( beta

_n)

ln(

₃) $[\text{\red{relation (1)}}]$

De plus, si n supegal

_n est solution de l'équation $f(x)=\dfrac{1}{n}$ .

Donc

$f(\beta_n)=\dfrac{1}{n}\Longleftrightarrow\dfrac{\ln(\beta_n)}{\beta_n}=\dfrac{1}{n}\Longleftrightarrow\ln(\beta_n)=\dfrac{\beta_n}{n}\\\\ f(\beta_3)=\dfrac{1}{3}\Longleftrightarrow\dfrac{\ln(\beta_3)}{\beta_3}=\dfrac{1}{3}\Longleftrightarrow\ln(\beta_3)=\dfrac{\beta_3}{3}$

La relation (1) peut alors s'écrire : $\dfrac{\beta_n}{n} \ge\dfrac{\beta_3}{3}$

Par conséquent, $\boxed{\beta_n \ge n\dfrac{\beta_3}{3}}$

b. Par l'énoncé, nous savons que beta

₃ > 0.

D'où $\lim\limits_{n\to+\infty}n\dfrac{\beta_3}{3}=+\infty$

Selon la question 3.a, nous savons que $\beta_n \ge n\dfrac{\beta_3}{3}.$

D'après le théorème de comparaison, nous pouvons conclure que $\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\beta_n=+\infty}$

5 points

exercice 5 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. a. Montrons que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.

$\left\lbrace\begin{array}l A(-1;2;0)\\B(1;2;4)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1-(-1)\\2-2 \\4-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}}$

$\left\lbrace\begin{array}l A(-1;2;0)\\C(-1;1;1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1-(-1)\\1-2 \\1-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}}$

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires car $\dfrac{0}{2}\neq\dfrac{1}{4}.$

D'où les points A, B et C ne sont pas alignés.

$\begin{array}{r @{ = } l}\text{{\red{b. }}} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\ \ &\ 2\times0+0\times(-1)+4\times1\\\ \ &\ 0+0+4\\\ \ &\ 4\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=4}$

$\text{{\red{c. }}}AB=\sqrt{(1-(-1))^2+(2-2)^2+(4-0)^2}=\sqrt{2^2+0^2+4^2}=\sqrt{4+16}\Longrightarrow AB=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

$AC=\sqrt{(-1-(-1))^2+(1-2)^2+(1-0)^2}=\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{1+1}\Longrightarrow AC=\sqrt{2}$

D'où

$\begin{array}{r @{ = } l} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\ \ &\ AB\times AC\times\cos(\widehat{BAC})\\&2\sqrt{5}\times\sqrt{2}\times\cos(\widehat{BAC})\\& 2\sqrt{10}\times\cos(\widehat{BAC})\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=2\sqrt{10}\times\cos(\widehat{BAC})}$

$\left\lbrace\begin{array}l \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=4\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} =2\sqrt{10}\times\cos(\widehat{BAC})\end{array}$

$\Longrightarrow2\sqrt{10}\times\cos(\widehat{BAC})=4$

$\Longrightarrow\cos(\widehat{BAC})=\dfrac{4}{2\sqrt{10}}=\dfrac{2}{\sqrt{10}}$

$\Longrightarrow\widehat{BAC}=\arccos(\dfrac{2}{\sqrt{10}})\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\widehat{BAC}\approx51^{\text{o}}\ \ \ \text{(arrondi au degré près)}}$

2. a. Montrons que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal aux deux vecteurs non colinéraires $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ du plan (ABC).

Nous savons que $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}\ \ ;\ \ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}\ \ ;\ \ \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}$ .

$\begin{array}{r @{ = } l} \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}\ &\ 2\times2+(-1)\times0+(-1)\times4\\&\ 4+0-4\\&\ 0 \end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{AB}}\\\\\\\begin{array}{r @{ = } l} \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}\ &\ 2\times0+(-1)\times(-1)+(-1)\times1\\&\ 0+1-1\\&\ 0 \end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{AC}}$

Puisque le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal aux deux vecteurs non colinéraires $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ du plan (ABC), nous en déduisons que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal au plan (ABC).

b. Nous savons que tout plan de vecteur normal $\overrightarrow{n}$ de coordonnées (a ; b ;c) admet une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0.

Puisque le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}$ est normal au plan (ABC), nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est de la forme 2x - y - z + d = 0

Or le point A(-1 ; 2 ; 0) appartient au plan (ABC). Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où -2 -2 - 0 + d = 0, soit d=4

Par conséquent, une équation cartésienne du plan (ABC) est : 2x - y - z + 4 = 0.

3. a. Un vecteur normal au plan d'équation x - 2z + 6 = 0 est $\overrightarrow{n_3}\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}$ .

Puisque ce plan est parallèle au plan $\mathscr{P}_2$ , le vecteur $\overrightarrow{n_3}$ est également normal à $\mathscr{P}_2$ .

Nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}_2$ est de la forme x - 0y - 2z + d = 0, soit x - 2z + d = 0

Or le point O(0 ; 0 ; 0) appartient au plan $\mathscr{P}_2$ . Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où 0 - 0 + d = 0, soit d=0

Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}_2$ est : x - 2z = 0, soit x = 2z.

b. Une équation cartésienne de $\mathscr{P}_1$ est 3x + y - 2z + 3 = 0.
D'où un vecteur normal au plan $\mathscr{P}_1$ est $\overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix}3\\1\\-2\end{pmatrix}$ .

Une équation cartésienne de $\mathscr{P}_2$ est x - 2z = 0.
D'où un vecteur normal au plan $\mathscr{P}_2$ est $\overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}$ .

Ces deux vecteurs normaux ne sont pas colinéaires car $\dfrac{1}{3}\neq\dfrac{-2}{-2}$ .

Par conséquent, les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont sécants.

c. Un point M quelconque de la droite $\mathscr{D}$ admet comme coordonnées (x ; y ; z) = (2t ; -4t - 3 ; t) avec t

.

Ce point M appartient au plan $\mathscr{P}_1$ si ses coordonnées vérifient l'équation 3x + y - 2z + 3 = 0 du plan.

Or $3\times2t+(-4t-3)-2t+3=6t-4t-3-2t+3=0$

Puisque les coordonnées d'un point M quelconque de la droite $\mathscr{D}$ vérifient l'équation du plan $\mathscr{P}_1$ , nous en déduisons que la droite $\mathscr{D}$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}_1$

De même, ce point M appartient au plan $\mathscr{P}_2$ si ses coordonnées vérifient l'équation x - 2z = 0= 0 du plan.

Or $2t-2t=0$

Puisque les coordonnées d'un point M quelconque de la droite $\mathscr{D}$ vérifient l'équation du plan $\mathscr{P}_2$ , nous en déduisons que la droite $\mathscr{D}$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}_2$ .

Par conséquent, la droite $\mathscr{D}$ étant incluse dans les deux plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ , cette droite $\mathscr{D}$ est l'intersection des deux plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ .

Les coordonnées du point I sont les solutions du système composé par les équations de la droite $\mathscr{D}$ et du plan (ABC),

soit du système :

$\left\lbrace\begin{array}l x=2t\\y=-4t-3\\z=t\\2x-y-z+4=0 \end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=2t\\y=-4t-3\\z=t\\2\times2t-(-4t-3)-t+4=0 \end{array}\\\\\\\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=2t\\y=-4t-3\\z=t\\4t+4t+3-t+4=0 \end{array}$

$\ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=2t\\y=-4t-3\\z=t\\7t+7=0 \end{array}\ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=2t\\y=-4t-3\\z=t\\t=-1 \end{array}\ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=2\times(-1)\\y=-4\times(-1)-3\\z=-1\\t=-1 \end{array}}\ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=-2\\y=1\\z=-1\\t=-1 \end{array}$

D'où les coordonnées du point I sont $\boxed{I(-2 ;1 ;-1)}.$
5 points

exercice 5 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, $u_n=9\times2^n-6.$

Initialisation : Montrons que l'égalité est vraie pour n = 0, soit que $u_0=9\times2^0-6.$

En effet,

$\left\lbrace\begin{array}l u_0=3\\9\times2^0-6=9\times1-6=9-6=3\end{array}\ \ \Longrightarrow\boxed{u_0=9\times2^0-6}$

D'où l'initialisation est vraie.

Hérédité : Pour un entier naturel n fixé, supposons que l'égalité est vraie au rang n et montrons qu'elle est encore vraie au rang (n+1).

Donc, supposons que pour un entier naturel n fixé, nous avons $u_n=9\times2^n-6$ et montrons que $u_{n+1}=9\times2^{n+1}-6.$

En effet,

$\begin{array}{r @{ = } l} u_{n+1}\ &\ 2u_n+6\\&\ 2(9\times2^n-6)+6\\&\ 2\times9\times2^n-12+6\\&\ 9\times2\times2^n-6\\&\ 9\times2^{n+1}-6 \end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}=9\times2^{n+1}-6}$

D'où l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel n, $\boxed{u_n=9\times2^n-6}.$

2. Pour tout entier n supegal

1,

$\begin{array}{r @{ = } l} u_n\ &\ 9\times2^n-6\\&\ 9\times2\times2^{n-1}-6\\&\ 18\times2^{n-1}-6\\&\ 6(3\times2^{n-1}-1) \end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{u_n=6(3\times2^{n-1}-1)} \\\\\\\begin{array}{r @{ \Longrightarrow } l} \text{Or }n\ge1\ &\ n-1\ge0\\&\ 2^{n-1}\ge2^0\\&\ 2^{n-1}\ge1\\&\ 2^{n-1}\in\mathbb{N^*} \end{array}\\\\\begin{array}{r @{ \Longrightarrow } l} \text{et }n\ge1\ &\ 2^{n-1}\ge1\\&\ 3\times2^{n-1}\ge3\\&\ 3\times2^{n-1}-1\ge2\\&\ (3\times2^{n-1}-1)\in\mathbb{N^*} \end{array}.$

Par conséquent, u_n est divisible par 6.

3. $v_n=\dfrac{u_n}{6}\ \ \ \ \ (n\ge1)$

Montrons que v_n n'est pas toujours un nombre premier en calculant v_n pour diverses valeurs de n.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n&1&2&3&4&5&{\red{6}}\\\hline u_n=9\times2^n-6&12&30&66&138&282&570\\\hline&&&&&&& v_n=\dfrac{u_n}{6}&2&5&11&23&47&{\red{95=5\times19}}&&&&&&&\\\hline \end{array}$

95 n'étant pas un nombre premier, nous déduisons que v₆ n'est pas premier.

Par conséquent, l'affirmation "pour tout entier n non nul, v_n est un nombre premier" est fausse.

4. a. Pour tout entier n supegal

1,

$v_{n+1}-2v_n=\dfrac{u_{n+1}}{6}-\dfrac{2u_{n}}{6}\\\\v_{n+1}-2v_n=\dfrac{2u_n+6}{6}-\dfrac{2u_{n}}{6}\\\\v_{n+1}-2v_n=\dfrac{2u_n+6-2u_n}{6}\\\\v_{n+1}-2v_n=\dfrac{6}{6}\\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}-2v_n=1}$

b. $v_{n+1}-2v_n=1\Longleftrightarrow\boxed{v_{n+1}\times1+v_n\times(-2)=1}.$

Il existe donc deux nombres réels a et b tel que $v_{n+1}\times a+v_n\times b=1.$

Il suffit de prendre a = 1 et b = -2.

D'après le théorème de Bézout, nous pouvons conclure que v_n et v_n+1 sont premiers entre eux.

c. Par la question b), nous savons que $PGCD(v_n;v_{n+1})=1$

$\text{Or }\left\lbrace\begin{array}l v_n=\dfrac{u_n}{6}\\v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}}{6} \end{array}\ \ \Longrightarrow\left\lbrace\begin{array}l u_{n}=6v_{n}\\u_{n+1}=6v_{n+1} \end{array}$

D'où

$\begin{array}{r @{ = } l} PGCD(u_n;u_{n+1})\ &\ PGCD(6v_n;6v_{n+1})\\&\ 6\times PGCD(v_n;v_{n+1})\\&\ 6\times1\\&\ 6 \end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{PGCD(u_n;u_{n+1})=6}$

$\begin{array}{r @{ = } l} {\red{5. a.}}\ \ 2^4\ &\ 16\\&\ 15+1\\&\ 5\times3+1 \end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{2^4\equiv1[5]}$

b. Supposons que n est de la forme 4k + 2.

Dans ce cas,

$\begin{array}{r @{ = } l}u_n\ &\ 9\times2^n-6\\&\ 9\times2^{4k+2}-6\\&\ 9\times2^{4k}\times2^2-6\\&\ 36\times(2^{4})^k-6\end{array}\\\ \ \ \ \frac{}{} \ \ \ \equiv 36\times1^k-6\ [5] \\\ \ \ \ \frac{}{} \ \ \ \equiv 36-6\ [5] \\\ \ \ \ \frac{}{} \ \ \ \equiv 30\ [5] \\\ \ \ \ \frac{}{} \ \ \ \equiv 0\ [5]$

Par conséquent, si n est de la forme 4k + 2, alors u_n est divisible par 5.

c. Supposons que n est de la forme 4k.

Dans ce cas,

$\begin{array}{r @{ = } l} u_n\ &\ 9\times2^n-6\\&\ 9\times2^{4k}-6\\&\ 9\times(2^{4})^k-6\end{array}\\\ \ \ \ \frac{}{} \ \ \ \equiv 9\times1^k-6\ [5]\\\ \ \ \ \frac{}{} \ \ \ \equiv 9-6\ [5]\\\ \ \ \ \frac{}{} \ \ \ \equiv 3\ [5]$

D'où si n est de la forme 4k, alors u_n n'est pas divisible par 5.

Supposons que n est de la forme 4k + 1.

Dans ce cas,

$\begin{array}{r @{ = } l} u_n\ &\ 9\times2^n-6\\&\ 9\times2^{4k+1}-6\\&\ 9\times2^{4k}\times2-6\\&\ 18\times(2^{4})^k-6\end{array}\\\ \ \ \ \frac{}{} \ \ \ \equiv 18\times1^k-6\ [5] \\\ \ \ \ \frac{}{} \ \ \ \equiv 18-6\ [5] \\\ \ \ \ \frac{}{} \ \ \ \equiv 12\ [5] \\\ \ \ \ \frac{}{} \ \ \ \equiv 2\ [5]$

D'où si n est de la forme 4k + 1, alors u_n n'est pas divisible par 5.

Supposons que n est de la forme 4k + 3.

Dans ce cas,

$\begin{array}{r @{ = } l}u_n\ &\ 9\times2^n-6\\&\ 9\times2^{4k+3}-6\\&\ 9\times2^{4k}\times2^3-6\\&\ 72\times(2^{4})^k-6\end{array}\\\ \ \ \ \frac{}{} \ \ \ \equiv 72\times1^k-6\ [5] \\\ \ \ \ \frac{}{} \ \ \ \equiv 72-6\ [5] \\\ \ \ \ \frac{}{} \ \ \ \equiv 66\ [5] \\\ \ \ \ \frac{}{} \ \ \ \equiv 1\ [5]$

D'où si n est de la forme 4k + 3, alors u_n n'est pas divisible par 5.

Par conséquent, u_n n'est pas divisible par 5 pour les valeurs de n autres que les valeurs de la forme 4k + 2.

Publié par malou/Panter le 23-06-2020

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