Fiche de mathématiques
> >

Baccalauréat Mathématiques

S Obligatoire et spécialité

Antilles Guyane 2017

Partager :


 : image 8

 : image 5

 : image 3

 : image 2

 : image 6

 : image 7

 : image 12

 : image 11

 : image 1

 : image 4

 : image 10

Corrigé Bac S Obligatoire et spécialité

Antilles Guyane 2017

Partager :


3 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats


Soit (E):z^4+2z^3-z-2=0\ \ \ \ \ \ \ (z\in\mathbb{C}).

1. Une solution évidente de l'équation (E) est z = 1.

En effet z = 1 vérifie bien l'équation (E) puisque 1^4+2\times1^3-1-2=1+2-1-2=0.

2. Développons le second membre :

\begin{array}{r @{ = } l} (z^2+z-2)(z^2+z+1)\ &\ z^4+z^3+z^2+z^3+z^2+z-2z^2-2z-2\\&\ z^4+2z^3-z-2 \end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{z^4+2z^3-z-2=(z^2+z-2)(z^2+z+1)}

3. Résoudre l'équation (E) dans l'ensemble des nombres complexes.

\begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} z^4+2z^3-z-2=0\ &\ (z^2+z-2)(z^2+z+1)=0\\&\ z^2+z-2=0\ \ \text{ou }z^2+z+1=0 \end{array}

z^2+z-2=0\\\Delta=1^2-4\times1\times(-2)=1+8=9\\\\z_1=\dfrac{-1-\sqrt{9}}{2}=\dfrac{-1-3}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2\\\\z_2=\dfrac{-1+\sqrt{9}}{2}=\dfrac{-1+3}{2}=\dfrac{2}{2}=1 ouz^2+z+1=0\\\Delta=1^2-4\times1\times1=1-4=-3\\\\z_3=\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}\\\\z_4=\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}


Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation (E) est \boxed{S=\lbrace-2\ ;\ 1\ ;\ \dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}\ ;\ \dfrac{-1 +i\sqrt{3}}{2}\rbrace}.

4. Le quadrilatère ABCD est-il un losange ?

Soit A le point d'affixe z_A=-2
         B le point d'affixe z_B=\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}
         C le point d'affixe z_C=1
         D le point d'affixe z_D=\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}

 : image 13


Montrons que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

Affixe du milieu du segment [AC] :

 \dfrac{z_A+z_C}{2}=\dfrac{-2+1}{2}=\boxed{-\dfrac{1}{2}}

Affixe du milieu du segment [BD] :

\dfrac{z_B+z_D}{2}=\dfrac{\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}+\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}}{2}=\dfrac{\dfrac{-1-i\sqrt{3}-1+i\sqrt{3}}{2}}{2}=\dfrac{\dfrac{-2}{2}}{2}=\boxed{-\dfrac{1}{2}}

Puisque ces affixes sont égales, les diagonales du quadrilatère ABCD se coupent en leur milieu.

D'où le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

Montrons que le quadrilatère ABCD est un losange.

\begin{array}{r @{ = } l} AB^2\ &\ |z_B-z_A|^2\\&\ |\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}-(-2)|^2\\&\ |\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}+2|^2\\&\ |\dfrac{-1-i\sqrt{3}+4}{2}|^2\\&\ |\dfrac{3-i\sqrt{3}}{2}|^2 \\&\ (\dfrac{3}{2})^2+(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2\\&\ \dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}\\&\ \dfrac{12}{4}\\&\ 3\end{array}\ \ \ \ \  \begin{array}{r @{ = } l} BC^2\ &\ |z_C-z_B|^2\\&\ |1-\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}|^2\\&\ |1+\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}|^2\\&\ |\dfrac{2+1+i\sqrt{3}}{2}|^2\\&\ |\dfrac{3+i\sqrt{3}}{2}|^2 \\&\ (\dfrac{3}{2})^2+(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2\\&\ \dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}\\&\ \dfrac{12}{4}\\&\ 3\end{array}

D'où AB² = BC², soit AB = BC.

Puisque deux côtés consécutifs du parallélogramme ABCD ont même longueur, le quadrilatère ABCD est un losange.

4 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats


1. a. Une pièce sera conforme si 22,8 < X < 27,2.

Nous savons que P(22,8 < X < 27,2) = 1 - [P(X < 22,8) + P(X > 27,2)]

L'espérance de X est mu1=25.

Or \left\lbrace\begin{array}l 22,8 = 25 - 2,2\\27,2 = 25 + 2,2\end{array}

Par symétrie, nous en déduisons que P(X < 22,8) = P(X > 27,2) = 0,023.

Donc P(22,8 < X < 27,2) = 1 - (0,023 + 0,023)

\Longrightarrow\boxed{ P(22,8 < X < 27,2) =0,954}.

Par conséquent, la probabilité qu'une pièce soit conforme est égale à 0,954.

b. Nous savons que si X suit une loi normale d'espérance mu et d'écart-type sigma, alors  P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)\approx0,954\ \ \ \ \text{relation (1)}.

Dans l'exercice 1. a., nous avons montré que P(22,8 < X < 27,2) =0,954.

Sachant que l'espérance de X est mu1=25, nous déduisons que

 \begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} P(22,8 < X < 27,2) = 0,954\ &\  P(25 - 2,2 < X < 25 + 2,2) =0,954\\&\ P(\mu_1 -2\times1,1 < X < \mu_1 + 2\times1,1) =0,954\end{array}

Si nous prenons \sigma_1\approx1,1, alors nous avons  P(\mu_1 -2\times\sigma_1 < X < \mu_1 + 2\times\sigma_1) \approx0,954, ce qui est conforme à la relation (1).

Par conséquent, une valeur approchée de sigma1 à 10-1 près est 1,1.

c. Nous devons calculer P_{22,8<X<27,2}(X<24)

Or P_{22,8<X<27,2}(X<24)=\dfrac{P[(22,8<X<27,2)\cap(X<24)]}{P(22,8<X<27,2)}
P_{22,8<X<27,2}(X<24)=\dfrac{P(22,8<X<24)}{P(22,8<X<27,2)}

Par la calculatrice, nous obtenons que P(22,8 < X < 24) environegal 0,1589.
Par la question 1.a, nous avons P(22,8 < X < 27,2) =0,954.

D'où P_{22,8<X<27,2}(X<24)\approx\dfrac{0,1589}{0,954}

P_{22,8<X<27,2}(X<24)\approx0,1665618.

Par conséquent, sachant qu'une pièce est conforme, la probabilité que l'épaisseur de nickel déposé sur celle-ci soit inférieure à 24 mum est égale à environ 0,167 (arrondi à 10-3 près).

2. a. Comparons sigma1 et sigma2.

\left\lbrace\begin{array}l P(22,8 < {\red{X}} < 27,2) =0,954\\P(22,8 < {\red{Y}} < 27,2) =0,98 \end{array}\\\\\ \Longrightarrow P(22,8 < {\red{X}} < 27,2) <P(22,8 < {\red{Y}} < 27,2) \\\\\Longrightarrow\boxed{\blue{\sigma_1>\sigma_2}}

b. Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I500 au seuil de 95 % de la proportion de pièces conformes.

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

\left\lbrace\begin{array}l n=500\ge30 \\ p=0,98\Longrightarrow np=500\times0,98=490\ge5 \\n(1-p)= 500\times(1-0,98)= 500\times0,02=10\ge5 \end{array}

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I 500 au seuil de 95% est :

 I_{500}=\left[0,98-1,96\sqrt{\dfrac{0,98 (1-0,98)}{ 500}};0,98+1,96\sqrt{\dfrac{0,98 (1-0,98)}{ 500}}\right]\\\\I_{500}\approx[0,967;0,993]

b. La fréquence observée est f=\dfrac{485}{500}\approx0,97

Nous remarquons que f\in I_{500}.

Par conséquent, on ne peut pas rejeter l'affirmation de l'équipe d'ingénieurs, au risque de se tromper de 5%.

3 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats


1. Déterminons les coefficients directeurs des deux tangentes.

 f(x)=e^x\Longrightarrow f'(x)=e^x\Longrightarrow f'(a)=e^a\\\\g(x)=e^{-x}\Longrightarrow g'(x)=-e^{-x}\Longrightarrow g'(a)=-e^{-a}

D'où le coefficient directeur de la tangente TM en M à  \mathscr{C}_f est égal à ea et le coefficient directeur de la tangente TN en N à \mathscr{C}_g est égal à -e-a.

Ces deux tangentes seront perpendiculaires si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1.

 \begin{array}{r @{ = } l} \text{Or   }e^a\times(-e^{-a})\ &\ -e^{a-a}\\&\ -e^{0}\\&\ -1 \end{array}

Puisque le produit des coefficients directeurs des tangentes TM et TN est égal à -1, ces deux tangentes sont perpendiculaires.

2. a. Selon les résultats proposés par le logiciel, nous pouvons conjecturer que la longueur PQ est toujours égale à 2.

b. Démonstration de la conjecture.

Une équation de la tangente TM en (a ; f(a)) est de la forme  y=f'(a)(x-a)+f(a).

Or f(a)=e^a\ \ \text{et}\ \ f'(a)=e^a

D'où une équation de la tangente TM est y=e^a(x-a)+e^a

 y=e^ax-ae^a+e^a\\\\\Longrightarrow\boxed{T_M:y=e^ax+(1-a)e^a}

De même, une équation de la tangente TN en (a ; g(a)) est de la forme  y=g'(a)(x-a)+g(a).

Or g(a)=e^{-a}\ \ \text{et}\ \ g'(a)=-e^{-a}

D'où une équation de la tangente TN est y=-e^{-a}(x-a)+e^{-a}

 y=-e^{-a}x+ae^{-a}+e^{-a}\\\\\Longrightarrow\boxed{T_N:y=-e^{-a}x+(a+1)e^{-a}}

Pour déterminer l'abscisse du point P, remplaçons y par 0 dans l'équation de TM et calculons x.

Nous avons alors :

 e^ax+(1-a)e^a=0\\e^ax=(a-1)e^a\\x=\dfrac{(a-1)e^a}{e^a}\\\\\Longrightarrow\boxed{x=a-1}

D'où l'abscisse du point P est \boxed{x_P=a-1}.

Déterminons l'abscisse du point Q en remplaçant y par 0 dans l'équation de TN et en calculant x.

Nous avons alors :

 -e^{-a}x+(a+1)e^{-a}=0\\\\e^{-a}x=(a+1)e^{-a}\\\\x=\dfrac{(a+1)e^{-a}}{e^{-a}}\\\\\Longrightarrow\boxed{x=a+1}

D'où l'abscisse du point Q est \boxed{x_Q=a+1}.

Calculons la longueur PQ.

 \begin{array}{r @{ = } l} PQ\ &\ |x_Q-x_P|\\&\ |(a+1)-(a-1)|\\&\ |a+1-a+1|\\&\ |2|\\&\ 2 \end{array}

Donc la longueur PQ est toujours égale à 2.

5 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats


Partie A


1. Variations de la fonction f.

 f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}\\\\\begin{array}{r @{ = } l} \Longrightarrow f'(x)\ &\ \dfrac{(\ln(x))'\times x-\ln(x)\times x'}{x^2}\\&\ \dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln(x)\times1}{x^2}\\&\ \dfrac{1-\ln(x)}{x^2} \end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}}

Puisque > 0 sur l'intervalle ]0 ; +infini[, le signe de la dérivée f'(x) sera le signe de 1-ln(x).

 \begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} 1-\ln(x)=0\ &\ \ln(x)=1\\&\ x=e^1\\&\ x =e\end{array}\\\\\\\begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} 1-\ln(x)>0\ &\ \ln(x)<1\\&\ x<e^1\\&\ x <e\end{array}\begin{array}|\\\\\\\\\\\end{array}\begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} 1-\ln(x)<0\ &\ \ln(x)>1\\&\ x>e^1\\&\ x >e\end{array}

\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&0&&e&&+\infty \\\hline 1-\ln(x)&||&+&0&-& \\\hline f'(x)&||&+&0&-&\\\hline&||&&&&& f(x)&||&&f(e)=\dfrac{1}{e}&&\\ &||&\nearrow&&\searrow& \\ \hline \end{array}

D'où la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; e] et est strictement décroissante sur l'intervalle [e ; +infini[.

2. D'après le tableau de variations de f, nous pouvons déduire que le maximum de la fonction f est égal à  \dfrac{1}{e} et est atteint pour x = e.

Partie B


1. La fonction f est continue et strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; e], a fortiori sur l'intervalle [1 ; e].

 \left\lbrace\begin{array}l f(1)=0\ \text{et }f(e)=\dfrac{1}{e}\\n\ge3>e>0\Longrightarrow0<\dfrac{1}{n}\le\dfrac{1}{3}<\dfrac{1}{e} \end{array}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{array}l f(1)=0\ \text{et }f(e)=\dfrac{1}{e}\\\dfrac{1}{n}\in\ [0\ ;\ \dfrac{1}{e}]\end{array}\Longrightarrow\boxed{\dfrac{1}{n}\in\ [f(1)\ ;\ f(e)]}

Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=\dfrac{1}{n} admet une seule solution alphan dans l'intervalle [1 ; e].

2. a. Le graphique ci-dessous nous indique que  \alpha_3\ge\alpha_4\ge\alpha_5.

 : image 14


Nous pouvons conjecturer que la suite (alphan) est décroissante.

b. Nous savons que pour tout n > 0, \dfrac{1}{n}>\dfrac{1}{n+1}.

Or si n supegal 3,  \dfrac{1}{n}=f(\alpha_n)\ \text{et   }\dfrac{1}{n+1}=f(\alpha_{n+1})

Donc si n supegal 3, \boxed{f(\alpha_n)>f(\alpha_{n+1})}.

Sachant que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [1 ; e], nous en déduisons que  \boxed{\alpha_n>\alpha_{n+1}}.

Par conséquent, si n supegal 3, la suite (alphan) est décroissante.

c. La suite (alphan) est décroissante et minorée par 1 puisque alphan appartient [1 ; e] par définition de alphan.

Par conséquent, la suite (alphan) converge.

3. a. Selon l'énoncé, on admet que la suite (betan) est croissante.

D'où si n supegal 3, alors betan supegal beta3

Comme la fonction ln est croissante sur \mathbb{R}^*_+, nous avons : ln(betan) supegal ln(beta3) [\text{\red{relation (1)}}]

De plus, si n supegal 3, betan est solution de l'équation  f(x)=\dfrac{1}{n}.

Donc

 f(\beta_n)=\dfrac{1}{n}\Longleftrightarrow\dfrac{\ln(\beta_n)}{\beta_n}=\dfrac{1}{n}\Longleftrightarrow\ln(\beta_n)=\dfrac{\beta_n}{n}\\\\ f(\beta_3)=\dfrac{1}{3}\Longleftrightarrow\dfrac{\ln(\beta_3)}{\beta_3}=\dfrac{1}{3}\Longleftrightarrow\ln(\beta_3)=\dfrac{\beta_3}{3}

La relation (1) peut alors s'écrire :  \dfrac{\beta_n}{n} \ge\dfrac{\beta_3}{3}

Par conséquent,  \boxed{\beta_n \ge n\dfrac{\beta_3}{3}}

b. Par l'énoncé, nous savons que beta3 > 0.

D'où  \lim\limits_{n\to+\infty}n\dfrac{\beta_3}{3}=+\infty

Selon la question 3.a, nous savons que \beta_n \ge n\dfrac{\beta_3}{3}.

D'après le théorème de comparaison, nous pouvons conclure que \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\beta_n=+\infty}

5 points

exercice 5 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité


1. a. Montrons que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires.

 \left\lbrace\begin{array}l A(-1;2;0)\\B(1;2;4)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1-(-1)\\2-2 \\4-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}}

\left\lbrace\begin{array}l A(-1;2;0)\\C(-1;1;1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1-(-1)\\1-2 \\1-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}}

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires car \dfrac{0}{2}\neq\dfrac{1}{4}.

D'où les points A, B et C ne sont pas alignés.

\begin{array}{r @{ = } l}\text{{\red{b. }}} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\ \ &\ 2\times0+0\times(-1)+4\times1\\\ \ &\ 0+0+4\\\ \ &\ 4\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=4}

\text{{\red{c. }}}AB=\sqrt{(1-(-1))^2+(2-2)^2+(4-0)^2}=\sqrt{2^2+0^2+4^2}=\sqrt{4+16}\Longrightarrow AB=\sqrt{20}=2\sqrt{5}

AC=\sqrt{(-1-(-1))^2+(1-2)^2+(1-0)^2}=\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{1+1}\Longrightarrow AC=\sqrt{2}

D'où

\begin{array}{r @{ = } l} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\ \ &\ AB\times AC\times\cos(\widehat{BAC})\\&2\sqrt{5}\times\sqrt{2}\times\cos(\widehat{BAC})\\& 2\sqrt{10}\times\cos(\widehat{BAC})\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=2\sqrt{10}\times\cos(\widehat{BAC})}

\left\lbrace\begin{array}l \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=4\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} =2\sqrt{10}\times\cos(\widehat{BAC})\end{array}

\Longrightarrow2\sqrt{10}\times\cos(\widehat{BAC})=4

\Longrightarrow\cos(\widehat{BAC})=\dfrac{4}{2\sqrt{10}}=\dfrac{2}{\sqrt{10}}

\Longrightarrow\widehat{BAC}=\arccos(\dfrac{2}{\sqrt{10}})\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\widehat{BAC}\approx51^{\text{o}}\ \ \ \text{(arrondi au degré près)}}

2. a. Montrons que le vecteur \overrightarrow{n} est orthogonal aux deux vecteurs non colinéraires \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} du plan (ABC).

Nous savons que  \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}\ \ ;\ \ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}\ \ ;\ \ \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}.

 \begin{array}{r @{ = } l} \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}\ &\ 2\times2+(-1)\times0+(-1)\times4\\&\ 4+0-4\\&\ 0 \end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{AB}}\\\\\\\begin{array}{r @{ = } l} \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}\ &\ 2\times0+(-1)\times(-1)+(-1)\times1\\&\ 0+1-1\\&\ 0 \end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{AC}}

Puisque le vecteur \overrightarrow{n} est orthogonal aux deux vecteurs non colinéraires \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} du plan (ABC), nous en déduisons que le vecteur \overrightarrow{n} est orthogonal au plan (ABC).

b. Nous savons que tout plan de vecteur normal \overrightarrow{n} de coordonnées (a ; b ;c) admet une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0.

Puisque le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix} est normal au plan (ABC), nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est de la forme 2x - y - z + d = 0

Or le point A(-1 ; 2 ; 0) appartient au plan (ABC). Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où -2 -2 - 0 + d = 0, soit d=4

Par conséquent, une équation cartésienne du plan (ABC) est : 2x - y - z + 4 = 0.

3. a. Un vecteur normal au plan d'équation x - 2z + 6 = 0 est \overrightarrow{n_3}\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix} .

Puisque ce plan est parallèle au plan \mathscr{P}_2, le vecteur \overrightarrow{n_3} est également normal à \mathscr{P}_2.

Nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan \mathscr{P}_2 est de la forme x - 0y - 2z + d = 0, soit x - 2z + d = 0

Or le point O(0 ; 0 ; 0) appartient au plan \mathscr{P}_2. Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où 0 - 0 + d = 0, soit d=0

Par conséquent, une équation cartésienne du plan \mathscr{P}_2 est : x - 2z = 0, soit x = 2z.

b. Une équation cartésienne de \mathscr{P}_1 est 3x + y - 2z + 3 = 0.
D'où un vecteur normal au plan \mathscr{P}_1 est \overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix}3\\1\\-2\end{pmatrix} .

Une équation cartésienne de \mathscr{P}_2 est x - 2z = 0.
D'où un vecteur normal au plan \mathscr{P}_2 est \overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix} .

Ces deux vecteurs normaux ne sont pas colinéaires car \dfrac{1}{3}\neq\dfrac{-2}{-2}.

Par conséquent, les plans \mathscr{P}_1 et \mathscr{P}_2 sont sécants.

c. Un point M quelconque de la droite \mathscr{D} admet comme coordonnées (x ; y ; z) = (2t ; -4t - 3 ; t) avec t appartient R.

Ce point M appartient au plan \mathscr{P}_1 si ses coordonnées vérifient l'équation 3x + y - 2z + 3 = 0 du plan.

Or 3\times2t+(-4t-3)-2t+3=6t-4t-3-2t+3=0

Puisque les coordonnées d'un point M quelconque de la droite \mathscr{D} vérifient l'équation du plan \mathscr{P}_1, nous en déduisons que la droite \mathscr{D} est incluse dans le plan \mathscr{P}_1

De même, ce point M appartient au plan \mathscr{P}_2 si ses coordonnées vérifient l'équation x - 2z = 0= 0 du plan.

Or 2t-2t=0

Puisque les coordonnées d'un point M quelconque de la droite \mathscr{D} vérifient l'équation du plan \mathscr{P}_2, nous en déduisons que la droite \mathscr{D} est incluse dans le plan \mathscr{P}_2.

Par conséquent, la droite \mathscr{D} étant incluse dans les deux plans \mathscr{P}_1 et \mathscr{P}_2, cette droite \mathscr{D} est l'intersection des deux plans \mathscr{P}_1 et \mathscr{P}_2.

Les coordonnées du point I sont les solutions du système composé par les équations de la droite \mathscr{D} et du plan (ABC),

soit du système :

 \left\lbrace\begin{array}l x=2t\\y=-4t-3\\z=t\\2x-y-z+4=0 \end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=2t\\y=-4t-3\\z=t\\2\times2t-(-4t-3)-t+4=0 \end{array}\\\\\\\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=2t\\y=-4t-3\\z=t\\4t+4t+3-t+4=0  \end{array}

\ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=2t\\y=-4t-3\\z=t\\7t+7=0 \end{array}\ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=2t\\y=-4t-3\\z=t\\t=-1 \end{array}\ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=2\times(-1)\\y=-4\times(-1)-3\\z=-1\\t=-1 \end{array}}\ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=-2\\y=1\\z=-1\\t=-1 \end{array}

D'où les coordonnées du point I sont \boxed{I(-2 ;1 ;-1)}.
5 points

exercice 5 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité


1. Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, u_n=9\times2^n-6.

Initialisation : Montrons que l'égalité est vraie pour n = 0, soit que  u_0=9\times2^0-6.

En effet,

\left\lbrace\begin{array}l u_0=3\\9\times2^0-6=9\times1-6=9-6=3\end{array}\ \ \Longrightarrow\boxed{u_0=9\times2^0-6}

D'où l'initialisation est vraie.

Hérédité : Pour un entier naturel n fixé, supposons que l'égalité est vraie au rang n et montrons qu'elle est encore vraie au rang (n+1).

Donc, supposons que pour un entier naturel n fixé, nous avons u_n=9\times2^n-6 et montrons que u_{n+1}=9\times2^{n+1}-6.

En effet,

 \begin{array}{r @{ = } l} u_{n+1}\ &\ 2u_n+6\\&\ 2(9\times2^n-6)+6\\&\ 2\times9\times2^n-12+6\\&\ 9\times2\times2^n-6\\&\ 9\times2^{n+1}-6 \end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}=9\times2^{n+1}-6}

D'où l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel n, \boxed{u_n=9\times2^n-6}.

2. Pour tout entier n supegal 1,

 \begin{array}{r @{ = } l} u_n\ &\ 9\times2^n-6\\&\ 9\times2\times2^{n-1}-6\\&\ 18\times2^{n-1}-6\\&\ 6(3\times2^{n-1}-1) \end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{u_n=6(3\times2^{n-1}-1)} \\\\\\\begin{array}{r @{ \Longrightarrow } l} \text{Or  }n\ge1\ &\ n-1\ge0\\&\ 2^{n-1}\ge2^0\\&\ 2^{n-1}\ge1\\&\ 2^{n-1}\in\mathbb{N^*} \end{array}\\\\\begin{array}{r @{ \Longrightarrow } l} \text{et  }n\ge1\ &\ 2^{n-1}\ge1\\&\ 3\times2^{n-1}\ge3\\&\ 3\times2^{n-1}-1\ge2\\&\ (3\times2^{n-1}-1)\in\mathbb{N^*} \end{array}.

Par conséquent, un est divisible par 6.

3.  v_n=\dfrac{u_n}{6}\ \ \ \ \ (n\ge1)

Montrons que vn n'est pas toujours un nombre premier en calculant vn pour diverses valeurs de n.

 \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n&1&2&3&4&5&{\red{6}}\\\hline u_n=9\times2^n-6&12&30&66&138&282&570\\\hline&&&&&&& v_n=\dfrac{u_n}{6}&2&5&11&23&47&{\red{95=5\times19}}&&&&&&&\\\hline \end{array}

95 n'étant pas un nombre premier, nous déduisons que v6 n'est pas premier.

Par conséquent, l'affirmation "pour tout entier n non nul, vn est un nombre premier" est fausse.

4. a. Pour tout entier n supegal 1,

 v_{n+1}-2v_n=\dfrac{u_{n+1}}{6}-\dfrac{2u_{n}}{6}\\\\v_{n+1}-2v_n=\dfrac{2u_n+6}{6}-\dfrac{2u_{n}}{6}\\\\v_{n+1}-2v_n=\dfrac{2u_n+6-2u_n}{6}\\\\v_{n+1}-2v_n=\dfrac{6}{6}\\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}-2v_n=1}

b.  v_{n+1}-2v_n=1\Longleftrightarrow\boxed{v_{n+1}\times1+v_n\times(-2)=1}.

Il existe donc deux nombres réels a et b tel que v_{n+1}\times a+v_n\times b=1.

Il suffit de prendre a = 1 et b = -2.

D'après le théorème de Bézout, nous pouvons conclure que vn et vn+1 sont premiers entre eux.

c. Par la question b), nous savons que  PGCD(v_n;v_{n+1})=1

 \text{Or   }\left\lbrace\begin{array}l v_n=\dfrac{u_n}{6}\\v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}}{6} \end{array}\ \ \Longrightarrow\left\lbrace\begin{array}l u_{n}=6v_{n}\\u_{n+1}=6v_{n+1} \end{array}

D'où

 \begin{array}{r @{ = } l} PGCD(u_n;u_{n+1})\ &\ PGCD(6v_n;6v_{n+1})\\&\ 6\times PGCD(v_n;v_{n+1})\\&\ 6\times1\\&\ 6 \end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{PGCD(u_n;u_{n+1})=6}

\begin{array}{r @{ = } l} {\red{5. a.}}\ \ 2^4\ &\ 16\\&\ 15+1\\&\ 5\times3+1 \end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{2^4\equiv1[5]}

b. Supposons que n est de la forme 4k + 2.

Dans ce cas,

\begin{array}{r @{ = } l}u_n\ &\ 9\times2^n-6\\&\ 9\times2^{4k+2}-6\\&\ 9\times2^{4k}\times2^2-6\\&\ 36\times(2^{4})^k-6\end{array}\\\ \ \ \ \frac{}{} \ \ \ \equiv 36\times1^k-6\ [5] \\\ \ \ \ \frac{}{} \ \ \ \equiv 36-6\ [5] \\\ \ \ \ \frac{}{} \ \ \ \equiv 30\ [5] \\\ \ \ \ \frac{}{} \ \ \ \equiv 0\ [5]

Par conséquent, si n est de la forme 4k + 2, alors un est divisible par 5.

c. Supposons que n est de la forme 4k.

Dans ce cas,

 \begin{array}{r @{ = } l} u_n\ &\ 9\times2^n-6\\&\ 9\times2^{4k}-6\\&\ 9\times(2^{4})^k-6\end{array}\\\ \ \ \ \frac{}{} \ \ \ \equiv 9\times1^k-6\ [5]\\\ \ \ \ \frac{}{} \ \ \ \equiv 9-6\ [5]\\\ \ \ \ \frac{}{} \ \ \ \equiv 3\ [5]

D'où si n est de la forme 4k, alors un n'est pas divisible par 5.

Supposons que n est de la forme 4k + 1.

Dans ce cas,

\begin{array}{r @{ = } l} u_n\ &\ 9\times2^n-6\\&\ 9\times2^{4k+1}-6\\&\ 9\times2^{4k}\times2-6\\&\ 18\times(2^{4})^k-6\end{array}\\\ \ \ \ \frac{}{} \ \ \ \equiv 18\times1^k-6\ [5] \\\ \ \ \ \frac{}{} \ \ \ \equiv 18-6\ [5] \\\ \ \ \ \frac{}{} \ \ \ \equiv 12\ [5] \\\ \ \ \ \frac{}{} \ \ \ \equiv 2\ [5]

D'où si n est de la forme 4k + 1, alors un n'est pas divisible par 5.

Supposons que n est de la forme 4k + 3.

Dans ce cas,

\begin{array}{r @{ = } l}u_n\ &\ 9\times2^n-6\\&\ 9\times2^{4k+3}-6\\&\ 9\times2^{4k}\times2^3-6\\&\ 72\times(2^{4})^k-6\end{array}\\\ \ \ \ \frac{}{} \ \ \ \equiv 72\times1^k-6\ [5] \\\ \ \ \ \frac{}{} \ \ \ \equiv 72-6\ [5] \\\ \ \ \ \frac{}{} \ \ \ \equiv 66\ [5] \\\ \ \ \ \frac{}{} \ \ \ \equiv 1\ [5]

D'où si n est de la forme 4k + 3, alors un n'est pas divisible par 5.

Par conséquent, un n'est pas divisible par 5 pour les valeurs de n autres que les valeurs de la forme 4k + 2.

Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
Hiphigenie
/
Panter Correcteur
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1299 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !