1. Une solution évidente de l'équation (E) est z = 1.
En effet z = 1 vérifie bien l'équation (E) puisque
2. Développons le second membre :
3. Résoudre l'équation (E) dans l'ensemble des nombres complexes.
ou
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation (E) est
4. Le quadrilatère ABCD est-il un losange ?
Soit A le point d'affixe B le point d'affixe C le point d'affixe D le point d'affixe
Montrons que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Affixe du milieu du segment [AC] :
Affixe du milieu du segment [BD] :
Puisque ces affixes sont égales, les diagonales du quadrilatère ABCD se coupent en leur milieu.
D'où le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Montrons que le quadrilatère ABCD est un losange.
D'où AB² = BC², soit AB = BC.
Puisque deux côtés consécutifs du parallélogramme ABCD ont même longueur, le quadrilatère ABCD est un losange.
4 points
exercice 2 - Commun à tous les candidats
1. a. Une pièce sera conforme si 22,8 < X < 27,2.
Nous savons que P(22,8 < X < 27,2) = 1 - [P(X < 22,8) + P(X > 27,2)]
L'espérance de X est 1=25.
Or
Par symétrie, nous en déduisons que P(X < 22,8) = P(X > 27,2) = 0,023.
Donc
Par conséquent, la probabilité qu'une pièce soit conforme est égale à 0,954.
b. Nous savons que si X suit une loi normale d'espérance et d'écart-type , alors
Dans l'exercice 1. a., nous avons montré que P(22,8 < X < 27,2) =0,954.
Sachant que l'espérance de X est 1=25, nous déduisons que
Si nous prenons , alors nous avons , ce qui est conforme à la relation (1).
Par conséquent, une valeur approchée de 1 à 10-1 près est 1,1.
c. Nous devons calculer
Or
Par la calculatrice, nous obtenons que P(22,8 < X < 24) 0,1589.
Par la question 1.a, nous avons P(22,8 < X < 27,2) =0,954.
D'où
Par conséquent, sachant qu'une pièce est conforme, la probabilité que l'épaisseur de nickel déposé sur celle-ci soit inférieure à 24 m est égale à environ 0,167 (arrondi à 10-3 près).
2. a. Comparons 1 et 2.
b. Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I500 au seuil de 95 % de la proportion de pièces conformes.
Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,
Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I 500 au seuil de 95% est :
b. La fréquence observée est
Nous remarquons que
Par conséquent, on ne peut pas rejeter l'affirmation de l'équipe d'ingénieurs, au risque de se tromper de 5%.
3 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
1. Déterminons les coefficients directeurs des deux tangentes.
D'où le coefficient directeur de la tangente TM en M à est égal à ea et le coefficient directeur de la tangente TN en N à est égal à -e-a.
Ces deux tangentes seront perpendiculaires si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1.
Puisque le produit des coefficients directeurs des tangentes TM et TN est égal à -1, ces deux tangentes sont perpendiculaires.
2. a. Selon les résultats proposés par le logiciel, nous pouvons conjecturer que la longueur PQ est toujours égale à 2.
b. Démonstration de la conjecture.
Une équation de la tangente TM en (a ; f(a)) est de la forme .
Or
D'où une équation de la tangente TM est
De même, une équation de la tangente TN en (a ; g(a)) est de la forme .
Or
D'où une équation de la tangente TN est
Pour déterminer l'abscisse du point P, remplaçons y par 0 dans l'équation de TM et calculons x.
Nous avons alors :
D'où l'abscisse du point P est
Déterminons l'abscisse du point Q en remplaçant y par 0 dans l'équation de TN et en calculant x.
Nous avons alors :
D'où l'abscisse du point Q est
Calculons la longueur PQ.
Donc la longueur PQ est toujours égale à 2.
5 points
exercice 4 - Commun à tous les candidats
Partie A
1. Variations de la fonction f.
Puisque x² > 0 sur l'intervalle ]0 ; +[, le signe de la dérivée f'(x) sera le signe de 1-ln(x).
D'où la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; e] et est strictement décroissante sur l'intervalle [e ; +[.
2. D'après le tableau de variations de f, nous pouvons déduire que le maximum de la fonction f est égal à et est atteint pour x = e.
Partie B
1. La fonction f est continue et strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; e], a fortiori sur l'intervalle [1 ; e].
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une seule solution n dans l'intervalle [1 ; e].
2. a. Le graphique ci-dessous nous indique que
Nous pouvons conjecturer que la suite (n) est décroissante.
b. Nous savons que pour tout n > 0, .
Or si n 3,
Donc si n 3,
Sachant que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [1 ; e], nous en déduisons que
Par conséquent, si n 3, la suite (n) est décroissante.
c. La suite (n) est décroissante et minorée par 1 puisque n [1 ; e] par définition de n.
Par conséquent, la suite (n) converge.
3. a. Selon l'énoncé, on admet que la suite (n) est croissante.
D'où si n 3, alors n3
Comme la fonction ln est croissante sur , nous avons : ln(n) ln(3)
De plus, si n 3, n est solution de l'équation .
Donc
La relation (1) peut alors s'écrire :
Par conséquent,
b. Par l'énoncé, nous savons que 3 > 0.
D'où
Selon la question 3.a, nous savons que
D'après le théorème de comparaison, nous pouvons conclure que
5 points
exercice 5 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
1. a. Montrons que les vecteurs et ne sont pas colinéaires.
Les vecteurs et ne sont pas colinéaires car
D'où les points A, B et C ne sont pas alignés.
D'où
2. a. Montrons que le vecteur est orthogonal
aux deux vecteurs non colinéraires et du plan (ABC).
Nous savons que .
Puisque le vecteur est orthogonal
aux deux vecteurs non colinéraires et du plan (ABC), nous en déduisons que le vecteur est orthogonal au plan (ABC).
b. Nous savons que tout plan de vecteur normal de coordonnées (a ; b ;c) admet une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0.
Puisque le vecteur est normal au plan (ABC), nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est de la forme 2x - y - z + d = 0
Or le point A(-1 ; 2 ; 0) appartient au plan (ABC). Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où -2 -2 - 0 + d = 0, soit d=4
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (ABC) est : 2x - y - z + 4 = 0.
3. a. Un vecteur normal au plan d'équation x - 2z + 6 = 0 est .
Puisque ce plan est parallèle au plan , le vecteur est également normal à .
Nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan est de la forme x - 0y - 2z + d = 0, soit x - 2z + d = 0
Or le point O(0 ; 0 ; 0) appartient au plan . Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où 0 - 0 + d = 0, soit d=0
Par conséquent, une équation cartésienne du plan est : x - 2z = 0, soit x = 2z.
b. Une équation cartésienne de est 3x + y - 2z + 3 = 0.
D'où un vecteur normal au plan est .
Une équation cartésienne de est x - 2z = 0.
D'où un vecteur normal au plan est .
Ces deux vecteurs normaux ne sont pas colinéaires car .
Par conséquent, les plans et sont sécants.
c. Un point M quelconque de la droite admet comme coordonnées (x ; y ; z) = (2t ; -4t - 3 ; t) avec t.
Ce point M appartient au plan si ses coordonnées vérifient l'équation 3x + y - 2z + 3 = 0 du plan.
Or
Puisque les coordonnées d'un point Mquelconque de la droite vérifient l'équation du plan , nous en déduisons que la droite est incluse dans le plan
De même, ce point M appartient au plan si ses coordonnées vérifient l'équation x - 2z = 0= 0 du plan.
Or
Puisque les coordonnées d'un point Mquelconque de la droite vérifient l'équation du plan , nous en déduisons que la droite est incluse dans le plan .
Par conséquent, la droite étant incluse dans les deux plans et , cette droite est l'intersection des deux plans et .
Les coordonnées du point I sont les solutions du système composé par les équations de la droite et du plan (ABC),
soit du système :
D'où les coordonnées du point I sont 5 points
exercice 5 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
1. Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n,
Initialisation : Montrons que l'égalité est vraie pour n = 0, soit que
En effet,
D'où l'initialisation est vraie.
Hérédité : Pour un entier naturel n fixé, supposons que l'égalité est vraie au rang n et montrons qu'elle est encore vraie au rang (n+1).
Donc, supposons que pour un entier naturel n fixé, nous avons et montrons que
En effet,
D'où l'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel n,
2. Pour tout entier n 1,
Par conséquent, un est divisible par 6.
3.
Montrons que vn n'est pas toujours un nombre premier en calculant vn pour diverses valeurs de n.
95 n'étant pas un nombre premier, nous déduisons que v6 n'est pas premier.
Par conséquent, l'affirmation "pour tout entier n non nul, vn est un nombre premier" est fausse.
4. a. Pour tout entier n 1,
b.
Il existe donc deux nombres réels a et b tel que
Il suffit de prendre a = 1 et b = -2.
D'après le théorème de Bézout, nous pouvons conclure que vn et vn+1 sont premiers entre eux.
c. Par la question b), nous savons que
D'où
b. Supposons que n est de la forme 4k + 2.
Dans ce cas,
Par conséquent, si n est de la forme 4k + 2, alors un est divisible par 5.
c. Supposons que n est de la forme 4k.
Dans ce cas,
D'où si n est de la forme 4k, alors un n'est pas divisible par 5.
Supposons que n est de la forme 4k + 1.
Dans ce cas,
D'où si n est de la forme 4k + 1, alors un n'est pas divisible par 5.
Supposons que n est de la forme 4k + 3.
Dans ce cas,
D'où si n est de la forme 4k + 3, alors un n'est pas divisible par 5.
Par conséquent, un n'est pas divisible par 5 pour les valeurs de nautres que les valeurs de la forme 4k + 2.
Publié par malou/Panter
le
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