Puisque est dérivable sur , est dérivable sur cet intervalle.
Donc, pour tout réel positif, on a:
Puisque, pour tout réel de
Donc, pour tout réel de :
Il s'ensuit que:
2. Le plateau se traduit par la limite en de la fonction , donc:
On en tire que le plateau ne vaut pas 15, ce qui veut dire que :
Partie B: étude de fonctions
1. La fonction est dérivable sur comme produit des deux fonctions et dérivables sur cet intervalle.
Donc, pour tout réel strictement positif:
2. D'après le tableau de variation de :
pour tout réel appartenant à
Et puisqu'on a évidemment:
pour tout réel
Donc:
On conclut que:
3. La fonction est:
continue sur comme produit des deux fonctions et continues sur .
strictement décroissante sur car elle l'est sur et .
De plus :
On a bien:
Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires:
On notera cette unique solution.
Déduction:
Puisque est strictement décroissante sur , elle l'est sur et sur On a donc:
On en tire que :
Or, puisque:
Donc:
Valeur approchée au dixième près:
En procédant par "tâtonnement", on obtient avec la calculette:
Donc:
On poursuit le calcul des images des décimaux compris entre 8 et 9, on obtient en fin de compte:
On en déduit que:
Partie C: détermination d'un traitement adéquat
1.a. On a , donc la concentration demandée est:
On remarque que:
1.b. On a:
On déduit directement d'après Partie B.3. que:
2. On rappelle que le traitement est efficace si le plateau est égal à 15, on rappelle aussi que le plateau n'est autre que la limite de la fonction concentration en .
Donc, si l'efficacité est garantie, on a:
3 points
exercice 2
1. La cellule B3 correspond à .
D'autre part, on a:
Avec:
On en déduit donc:
Remarque: On peut aussi écrire:
2.a) On remarque que:
2.b) Montrons par récurrence que
On note la propriété
Initialisation: Pour La propriété est bien vérifiée.
Hérédité: Supposons que pour un entier donné on a : est vraie.
Et montrons que, est vraie.
On a:
Donc:
Or, d'après la supposition initiale:
Donc:
Ce qui veut dire que est bien vraie et que la propriété est donc héréditaire.
Conclusion: La propriété est vraie au rang 0, or elle est héréditaire, donc elle est vraie au rang 1, et de proche en proche, elle est toujours vraie.
3. On a pour tout entier naturel
On a:
On peut donc conclure que:
4 points
exercice 3
1.L'affirmation 1 est fausse
Notons les événements suivants:
Les informations suivantes permettent de tracer l'arbre pondéré:
On prend un des deux dés au hasard.
Le six apparait avec la probabilité de si le dé lancé est truqué.
Si le dé lancé est non truqué, le six apparait avec la probabilité de .
L'arbre pondéré:
Il est demandé de calculer la probabilité que le dé lancé soit truqué en sachant que le résultat est six, il s'agit donc de la probabilité conditionnelle :
2.L'affirmation 2 est vraie
Pour que la droite soit parallèle à l'axe des ordonnées, il faut et il suffit que l'affixe du vecteur soit imaginaire pur.
Calcul:
On en déduit que:
3.L'affirmation 3 est vraie
Pour montrer que la droite est orthogonale au plan , on peut montrer qu'un vecteur directeur de est orthogonal à deux vecteurs du plan :
Notons un vecteur directeur de la droite .
À partir de la représentation paramétrique, on tire:
Calculons les coordonnées de deux vecteurs quelconques du plan , par exemple et :
On a:
Le vecteur directeur de est donc bien orthogonal à et à D'où le résultat.
4.L'affirmation 4 est fausse
Deux droites de l'espace sont coplanaires si elles sont parallèles ou sécantes.
Vérification du parallélisme: et sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, c'est-à-dire, s'il existe un réel tel que On obtient le système suivant:
Ce système est impossible.
On déduit que et ne sont pas parallèles.
Vérification de l'intersection: En connaissant un vecteur directeur de la droite et en sachant qu'elle passe par le point , on peut facilement écrire une représentation paramétrique:
Résolvons le système:
et sont donc bien sécantes au point de coordonnées obtenues en remplaçant la valeur de ou de dans la représentation paramétrique correspondante.
Donc elles sont coplanaires.
D'où le résultat.
3 points
exercice 4
Partie A: Valeur exacte de l'intégrale I
1. La fonction étant clairement continue et positive sur .
On a donc par définition:
2.Calcul de :
Partie B: Estimation de la valeur de J
1. L'algorithme complété:
Variables
Traitement
Sortie
2. Puisque: Les conditions d'utilisation de l'intervalle de confiance sont remplies:
Alors l'intervalle de confiance au niveau de confiance de s'écrit:
3. L'amplitude de l'intervalle de confiance est par définition: Il s'agit donc de résoudre l'inéquation: On a:
Conclusion:
5 points
exercice 5 Non spécialité
Question préliminaire
On a pour tout réel positif:
Ce qui donne:
Partie A: étude d'un exemple
1. La probabilité qu'une lampe fonctionne au moins 180 jours correspond à , donc directement:
2. Puisque la loi exponentielle de paramètre est une loi à durée de vie sans vieillissement. Donc:
Partie B: contrôle de la durée de vie moyenne
On tire de l'énoncé les données suivantes: Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation au seuil de sont donc bien remplies:
Et on écrit:
Puisque lampes sont en panne, alors la fréquence est de:
Déduction:
Partie C: Dans une salle de spectacle
1.Directement avec la calculatrice, la probabilité que plus de lampes soient encore fonctionnelles après un an est :
2. Notons tel que , on a:
La taille minimale du stock de lampes pour que la probabilité de pouvoir changer toutes les lampes défectueuses après un an, soit supérieure à est donc:
5 points
exercice 5 - Spécialité
Partie A: Ligne de transmission
1.a. On a .
Donc, directement: On en déduit que:
La calculatrice fournit l'inverse:
1.b. Calcul:
Donc:
Il en résulte:
1.c. Montrons par récurrence que pour tout Notons pour cela : Initialisation: Le résultat est vrai pour directement d'après 1.b. : Hérédité: Soit un entier naturel non nul et supposons que est vraie.
Hypothèse : Résultat à prouver : On a:
On en déduit que est vraie.
On conclut par récurrence que :
1.d. On a:
Or: On en tire que D'où le résultat:
2. Dans cette question, nous supposons que p est égal à 0,98.
Nous devons déterminer le plus grand entier n tel que qn 0,25.
Donc le plus grand entier n tel que qn 0,25 est n = 16.
Par conséquent, pour que la probabilité que le bit reçu ait pour valeur 0 soit inférieure ou égale à 0,25, nous pouvons aligner un maximum de 16 lignes de transmission.
Partie B : étude d'un code correcteur, le code de Hamming (7,4)
1. Préliminaires
1. a. Puisque les nombres c1, c2 et c3 représentent des restes d'une division euclidienne par 2, ils ne peuvent valoir que 0 ou 1.
1. b. Pour le mot "1001", nous avons : b1 = 1, b2 = 0, b3 = 0 et b4 = 1.
Calcul de c1 :
Le reste de la division de 1 par 2 est 1.
D'où
Calcul de c2 :
Le reste de la division de 2 par 2 est 0.
D'où
Calcul de c3 :
Le reste de la division de 2 par 2 est 0.
D'où
Par conséquent, la clé de contrôle associée au mot 1001 est 100.
2. Supposons que nous changeons la valeur de b1 en b'1.
Si b1 = 0, alors b'1 = 1.
Si b1 = 1, alors b'1 = 0.
Dès lors, dans chaque cas, nous obtenons :
Puisque la valeur de b1 n'intervient pas dans le calcul de c1, la valeur de c1 est inchangée.
Montrons que la valeur de c2 est modifiée.
Par conséquent, la valeur de c2 est modifiée.
Montrons que la valeur de c3 est modifiée.
Par conséquent, la valeur de c3 est modifiée.
3. Tableau complété :
4. Nous observons dans le tableau ci-dessus que les huit colonnes allant de "b1" à "Aucun" sont distinctes deux à deux.
Elles constituent les huit triplets possibles composés à partir des lettres "J " et "F ", une lettre pouvant être répétée jusqu'à trois fois.
À partir des quatre premiers bits du message reçu, nous recalculons les 3 bits de contrôle et nous les comparons avec les bits de contrôle reçus.
Le résultat de la comparaison est une des huit colonnes du tableau.
Si un seul bit est erroné, nous pouvons alors déterminer lequel et corriger l'erreur.
5. Soit le message A = 0100010.
Le reste de la division de 1 par 2 est 1.
D'où
Le reste de la division de 0 par 2 est 0.
D'où
Le reste de la division de 1 par 2 est 1.
D'où
Nous obtenons alors la clé de contrôle correcte 101 alors que la clé reçue est 010.
Puisque les trois bits de contrôles sont erronés, nous retrouvons la colonne (FFF) correspondant au bit b4.
Par conséquent, le bit b4 est erroné et le message correct est 0101010.
Soit le message B = 1101001.
Le reste de la division de 2 par 2 est 0.
D'où
Le reste de la division de 2 par 2 est 0.
D'où
Le reste de la division de 3 par 2 est 1.
D'où
Nous obtenons alors la clé de contrôle correcte 001 qui correspond parfaitement à la clé reçue.
Par conséquent, le message B ne comporte pas d'erreur.
Publié par malou
le
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