Coefficient : 2
L'usage de la calculatrice est autorisée.
Corrigé
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9 points
exercice 1
Partie A : Étude du socle
1. est le cercle de centre et de rayon (distance lue directement du graphique).
Soit un point du plan ; on a :
2. est un point appartenant au cercle , les coordonnées de vérifient donc l'équation cartésienne de trouvée en 1. On a donc :
Calcul du discriminant : L'équation admet donc deux solutions qui sont On ne retient que car, d'après le graphique, l'ordonnée du point ne peut pas être
De plus, et toujours d'après le graphique, les points et ont le même abscisse , donc :
Conclusion :
3.a. D'après le graphique, est le point symétrique de par rapport à l'axe des ordonnées, alors et ont le même ordonnée .
De plus, par lecture graphique :
Donc :
3.b. Il s'agit de reproduire le tracé du socle. Voir la représentation graphique à la fin de l'exercice.
Partie B : Étude de l'assise
1. Tableau de valeurs, on remplace directement dans l'expression de pour trouver les images.
On rappelle que toutes les valeurs sont arrondies au dixième.
2. Voir la représentation graphique à la fin de l'exercice.
3. Calcul de la dérivée :
Pour tout appartenant à l'intervalle , on a :
Conclusion :
4. On remplace directement par dans l'expression de On en déduit : Voir la représentation graphique à la fin de l'exercice pour le tracé de la droite tangente à au point .
5.a. Résolution de l'équation Calcul du discriminant Donc l'équation admet deux solutions.
Pour simplifier, on calcule à l'avance :
Donc :
Conclusion :
5.b. Le binôme est de signe négatif entre ses deux racines (car est négatif ) et de signe positif en dehors des racines, ce qui veut dire :
On peut aussi présenter ce résultat sous forme de tableau de signe :
5.c. Le tableau de variation de :
Directement :
Avec :
Partie c : Étude du repose-pieds
1. Dans la troisième condition, on a ), cela veut dire que les tangentes aux courbes au niveau de l'abscisse 1 ont le même coefficient directeur, autrement dit, elles y sont parallèles.
De plus, il s'agit d'un raccord au point de , donc ces deux tangentes parallèles passent par le même point .
Conclusion :
2. Commençons par calculer la dérivée de :
Pour tout appartenant à Or, on a :
Conclusion :
3. On a :
4. On a :
5. Figure :
5 points
exercice 2
1. On applique le théorème d'Al Kashi au triangle ABC :
2.
3.a. Dans le repère orthonormé , le cercle contenant l'arc reliant et est de rayon .
De plus, l'arc en question appartient au 2ème quadrant du repère (dans le sens trigonométrique directe).
On en déduit que :
3.b. Dans le repère , le point a pour coordonnées : .
Ces coordonnées ne vérifient pas l'équation cartésienne de l'ellipse donnée, en effet : Donc le point n'appartiendrait pas à l'ellipse, ce qui est contradictoire avec l'énoncé.
On en déduit que :
4. Dans le repère , on a : Donc : Calculons le produit scalaire :
6 points
exercice 3
Partie A : Un pavage
1. Voir le dessin à la fin de la partie A :
Le contour rouge indique le "motif élémentaire".
Les vecteurs verts représentent les deux translations.
2.a. On passe du carreau 1 au carreau 2 par :
2.b. On passe du carreau 1 au carreau 3 par :
2.c. On passe du carreau 4 au carreau 5 par :
Figure.
Partie B : Modèle en perspective
1. Voir dessin en fin de partie B.
Justification : Puisque et sont perpendiculaires à et et sont parallèles, alors :
2. Puisque et sont perpendiculaires à .
3. Voir figure à la fin de la partie B.
4. Voir figure à la fin de la partie B.
5. Figure :
Publié par malou/Panter
le
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