Fiche de mathématiques

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Bac Economie Gestion Tunisie 2021

Durée : 2 heures

Coefficient : 2

5 points

exercice 1

On considère les matrices : ${\white{ww}}A=\begin{pmatrix} 32 & 21& 12\\ 20& 7&12 \\ 12& 21& 9 \end{pmatrix}{\white{ww}}$ et ${\white{ww}}B=\begin{pmatrix} 189 & -63&-168 \\ 36&-144 &144 \\ -336& 420 & 196 \end{pmatrix}$

1. a) Calculer le déterminant de A, en déduire que A est inversible.
$\white{w}$ b) déterminer la matrice A multiplie

B et déduire la matrice A ^-1 inverse de A.

2. Soit le système $(S) : \left\lbrace\begin{matrix} 32x+21y+12z& = & 3500\\ 20x+7y+12z& =&2180 \\ 12x+21y+9z& = & 2460 \end{matrix}\right.$

$\white{w}$ a) Donner l'écriture matricielle de (S ).
$\white{w}$ b) Résoudre alors dans R³, le système (S ).

3. Le gérant d'un magasin de vêtements décide d'appliquer une réduction de 20% sur le prix d'une chemise, de 30% sur le prix d'un pantalon et de 40% sur le prix d'un pull.
Avec la carte de fidélité du magasin, le client peut avoir une réduction de 10% supplémentaire sur le prix soldé de chaque article.
Le tableau suivant résume les paiements de trois clients C₁ , C₂ et C₃ auprès de ce magasin.

$\begin{array} {|c|cccccccc|} \hline & \text{Nombre de } & |& \text{Nombre de } & | & \text{Nombre de } &| & \text{Somme payée } & \\ & \text{chemises} & | & \text{pantalons}& | & \text{pulls} & | & \text{en dinars} & \\\hline \text{Client }C_1 & 4 & |& 3&|&2 &|& 350& \\\hline \text{Client }C_2 & 5 & |& 2&|& 4&|& 436& \\\hline \text{Client }C_3 & 5 & |&10 &|& 5&|& 738& \\\hline \end{array}$

Seulement le client C₃ possède une carte de fidélité, déterminer le prix initial de chaque article.

5 points

exercice 2

Dans un manège, il y a cinq grands appareils de jeux reliés entre eux par des allées.
On modélise les appareils par les sommets A, B, C, D et E, et les allées par les arêtes du graphe (G) ci-dessous :

1. a) Recopier et compléter le tableau suivant :
$\begin{array} {|c|cccccccccc|} \hline \text{ Sommet}& \text{A}&| & \text{B}& |& \text{C} & |& \text{D} & | & \text{E}& \\ \hline \text{ Degré} & & | & & | & &| & & | & & \\ \hline \end{array}$
$\white{w}$ b) Quelle est la nature du sous graphe de (G) constitué par les sommets B, C et D ? Donner son ordre.
$\white{w}$ c) On désire illuminer les cinq appareils par des ampoules colorées de façon que deux d'entre eux reliés par une allée soient éclairés la nuit par deux couleurs différentes.
Donner, en justifiant, un encadrement du nombre minimal de couleurs nécessaires. Quel est ce nombre ?
2. Justifier la possibilité de parcourir toutes les allées du manège sans passer deux fois par la même allée.
3. La fréquentation du manège devient importante, le propriétaire décide d'instaurer un plan de circulation : certaines allées deviennent à sens unique, d'autres restent à double sens.
Le graphe (G') ci-dessous modélise cette nouvelle situation.

Donner la matrice M associée au graphe (G'). (On ordonnera les sommets par ordre alphabétique A, B, C, D et E).
4. On donne la matrice :
$M^5=\begin{pmatrix} 1 & 6 & 9& 6&10 \\ 4& 5& 7 & 11&5 \\ 4& 6& 6& 11& 5\\ 1& 5& 10 & 6& 10\\ 6& 5& 5& 14 & 2 \end{pmatrix}$
$\white{w}$ a) Combien y-a-t-il de chaines de longueur 5 permettant de se rendre du sommet D au sommet B ? Donner un exemple.
$\white{w}$ b) déterminer le nombre de chaînes fermées de longueur 5. Donner un exemple.

4,5 points

exercice 3

Le tableau ci-dessous résume les dépenses d'une entreprise, en milliers de dinars, de l'année 2012 à l'année 2019.

$\begin{array} {|c|ccccccccccccccc|} \hline \text{Année}&2012& |& 2013&| &2014& | & 2015& | & 2016&| & 2017 &| & 2018& | &2019 \\ \hline \text{Rang }x_i \text{ de l'année}& 1 & |& 2 & |& 3 & | & 4 & | & 5 &| & 6 &| & 7 & |& 8 \\ \hline \text{Dépense }y_i \text{ en milliers de dinars}& 6& |& 3,5& | & 2,6& |&2,2 & |& 2& |& 1,8& |&1,7 & |&1,6 & \hline \end{array}$

I) 1. a) Représenter le nuage de points de la série ( X , Y ) dans un repère orthogonal.
$\white{viw}$ b) Ce nuage permet-il d'envisager un ajustement affine ? Justifier.
$\white{viw}$ c) Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et le placer sur le graphique.
$\white{v}$ 2. Calculer, à 10^-3 près, le coefficient de corrélation linéaire r₁ de la série (X, Y ).

II) Dans cette partie, tous les résultats seront donnés à 10^-3 près. On pose $T=\dfrac 5 X$
$\white{v}$ 1. Recopier et compléter le tableau suivant :

$\begin{array} {|c|cccccccccccccccc|} \hline x_i & 1& |& 2 & | & 3& | & 4& | & 5& | & 6& | &7& | & 8 & \\ \hline t_i & 5 & | & 2,5 & | & & | & & | & & | & & | & & | & & \\ \hline y_i& 6& | &3,5 & | & 2,6& | & 2,2&| & 2&| &1,8 & | & 1,7&| & 1,6& \\ \hline \end{array}$

$\white{v}$ 2. a) Calculer le coefficient r₂ de corrélation de la série (T, Y ).
$\white{viw}$ b) Déterminer par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite D de régression de Y en T.
$\white{viw}$ c) Donner alors, en utilisant la droite D, une estimation des dépenses de l'entreprise pour l'année 2022.

5,5 points

exercice 4

Soit f la fonction définie sur R par : $f(x)=x-\text e ^{x-2}$ .
On désigne par (C) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O\,; \vec i\,,\vec j)$ .

1. a) Calculer $\lim\limits_{x\to-\infty}\; f(x)$ .
$\white{w}$ b) Vérifier que la droite deltamaj

d'équation : y=x est une asymptote à (C) au voisinage de - infini

.
$\white{w}$ c) Etudier la position relative de (C) par rapport à deltamaj

.

2. a) Montrer que pour tout x appartient

R, $f(x)=x\left( 1-\dfrac{\text e ^x}{x}\;\text e ^{-2}\right )$
$\white{w}$ b) Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}\; f(x)$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}\; \dfrac{f(x)}{x}$ et donner une interprétation graphique.

3. a) Dresser le tableau de variation de f .
$\white{w}$ b) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet dans R exactement deux solutions alpha

.
$\white{w}$ c) Construire deltamaj

et (C) dans le repère $(O\,; \vec i\,,\vec j)$ . (On prendra alpha

0,16 et

3,15 )

4. Une entreprise produit chaque jour x centaines de composants électroniques avec x appartient

]0 ; 4]. Le bénéfice algébrique (gain ou perte) en milliers de dinars est égal à $f(x)$ .
$\white{w}$ a) Quel est le nombre de composants produits par jour pour que le gain soit maximal ? Calculer ce gain.
$\white{w}$ b) Pour quelles quantités de composants produits par jour, l'entreprise réalise un gain ?

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Bac Tunisie Eco-gestion 2021

5 points

exercice 1

On considère les matrices : ${\white{w}}A=\begin{pmatrix} 32 & 21& 12\\ 20& 7&12 \\ 12& 21& 9 \end{pmatrix}{\white{w}}$ et ${\white{w}}B=\begin{pmatrix} 189 & -63&-168 \\ 36&-144 &144 \\ -336& 420 & 196 \end{pmatrix}.$

1. a) Calculons le déterminant de A .

${\white{ww}}\text{dét }A=\begin{vmatrix}32&21&12\\20&7&12\\12&21&9\end{vmatrix}=32\times\begin{vmatrix}7&12\\21&9\end{vmatrix}-21\times\begin{vmatrix}20&12\\12&9\end{vmatrix}+12\times\begin{vmatrix}20&7\\12&21\end{vmatrix} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWwwww}=32\times(63-252)-21\times(180-144)+12\times(420-84)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWwwww}=32\times (-189)-21\times36+12\times336 } \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWwwww}=-2772} \\\\\Longrightarrow\boxed{\text{dét A}=-2772}$

Nous en déduisons que A est inversible car dét A different

0.

1. b) Déterminons la matrice A multiplie

B .

$A\times B=\begin{pmatrix} 32 & 21& 12\\ 20& 7&12 \\ 12& 21& 9 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 189 & -63&-168 \\ 36&-144 &144 \\ -336& 420 & 196 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12}& c_{13}\\ c_{21}& c_{22}&c_{23} \\c_{31} & c_{32}& c_{33} \end{pmatrix}$

$\text{où }\left\lbrace\begin{matrix}c_{11}=32\times189+21\times36+12\times(-336)\Longrightarrow c_{11}=2772\phantom{w.}\\c_{12}=32\times(-63)+21\times(-144)+12\times420\Longrightarrow c_{12}=0\phantom{w.}\\c_{13}=32\times(-168)+21\times144+12\times196\Longrightarrow c_{13}=0\phantom{www}\\\\c_{21}=20\times189+7\times36+12\times(-336)\Longrightarrow c_{21}=0\phantom{wwww}\\c_{22}=20\times(-63)+7\times(-144)+12\times420\Longrightarrow c_{22}=2772\\c_{23}=20\times(-168)+7\times144+12\times196\Longrightarrow c_{23}=0\phantom{www} \\\\c_{31}=12\times189+21\times36+9\times(-336)\Longrightarrow c_{31}=0\phantom{www}\\c_{32}=12\times(-63)+21\times(-144)+9\times420\Longrightarrow c_{32}=0\phantom{w}\\c_{33}=12\times(-168)+21\times144+9\times196\Longrightarrow c_{33}=2772\end{matrix}\right. \\\\\\\Longrightarrow\boxed{A\times B=\begin{pmatrix} 2772 & 0& 0\\ 0&2772&0 \\0 &0&2772 \end{pmatrix}}$

Il s'ensuit que : $A\times \left(\dfrac{1}{2772}\,B\right)=\begin{pmatrix}1 & 0& 0\\ 0&1&0 \\0 &0&1 \end{pmatrix}$

D'où l'inverse à droite de la matrice A est la matrice $\dfrac{1}{2772}\,B.$

Rappelons une propriété des matrices carrées :
Si une matrice carrée A admet une matrice inverse à droite (resp à gauche) alors cette matrice inverse à droite (resp à gauche) est aussi inverse à gauche (resp à droite) de A et est l'unique matrice inverse de A, notée A^-1.

Par conséquent, $\boxed{A^{-1}=\dfrac{1}{2772}\,B=\dfrac{1}{2772}\begin{pmatrix} 189 & -63&-168 \\ 36&-144 &144 \\ -336& 420 & 196 \end{pmatrix}}$

2. Soit le système $(S) : \left\lbrace\begin{matrix} 32x+21y+12z& = & 3500\\ 20x+7y+12z& =&2180 \\ 12x+21y+9z& = & 2460 \end{matrix}\right.$

2. a) Donnons l'écriture matricielle de (S ).

$(S)\Longleftrightarrow\begin{pmatrix} 32 & 21& 12\\ 20& 7&12 \\ 12& 21& 9 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3500\\2180\\2460\end{pmatrix} \\\\\phantom{(S)}\Longleftrightarrow A\times X=C{\white{xxx}}\text{où}{\white{x}}X=\begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}{\white{x}}\text{et}{\phantom{x}}C=\begin{pmatrix} 3500\\2180\\2460\end{pmatrix}$

2. b) Nous devons résoudre dans

³ le système (S ).

$(S)\Longleftrightarrow A\times X=C{\white{xxx}}\text{où}{\white{x}}X=\begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}{\white{x}}\text{et}{\phantom{x}}C=\begin{pmatrix} 3500\\2180\\2460\end{pmatrix} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{(S)}\Longleftrightarrow A^{-1}\times A\times X=A^{-1}\times C} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{(S)}\Longleftrightarrow I_3\times X=A^{-1}\times C} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{(S)}\Longleftrightarrow X=A^{-1}\times C}$

${\white{.}}\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{(S)}\Longleftrightarrow \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}=\dfrac{1}{2772}\begin{pmatrix} 189 & -63&-168 \\ 36&-144 &144 \\ -336& 420 & 196 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3500\\2180\\2460\end{pmatrix}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{(S)}\Longleftrightarrow \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}=\dfrac{1}{2772}\begin{pmatrix} 189\times3500-63\times2180-168\times2460 \\36\times3500-144\times2180+144\times2460\\-336\times3500+420\times2180+196\times2460 \end{pmatrix}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{(S)}\Longleftrightarrow \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}=\dfrac{1}{2772}\begin{pmatrix} 110\,880 \\166\,320\\221\,760\end{pmatrix}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{(S)}\Longleftrightarrow \boxed{\begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 40 \\60\\80\end{pmatrix}}}$

La solution du système (S ) est le triplet (x ; y ; z) = (40 ; 60 ; 80).

3. Soient x le prix initial en dinars d'une chemise,
${\white{wwwwwv}}$ y le prix initial en dinars d'un pantalon et
${\white{wwwwwv}}$ z le prix initial en dinars d'un pull.
Une diminution de 20% correspond à un coefficient multiplicateur de 0,80.
Une diminution de 30% correspond à un coefficient multiplicateur de 0,70.
Une diminution de 40% correspond à un coefficient multiplicateur de 0,60.

Donc le montant des achats du client C₁ peut être transposé en équation comme suit :
$\overset{{\white{.}}}{4\times0,8\times x+3\times0,7\times y+2\times0,6\times z=350\Longleftrightarrow3,2x+2,1y+1,2z=350} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{4\times0,8\times x+3\times0,7\times y+2\times0,6\times z=350} \Longleftrightarrow\boxed{32x+21y+12z=350}}$

Le montant des achats du client C₂ peut être transposé en équation comme suit :
$\overset{{\white{.}}}{5\times0,8\times x+2\times0,7\times y+4\times0,6\times z=436\Longleftrightarrow4x+1,4y+2,4z=436} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{4\times0,8\times x+3\times0,7\times y+2\times0,6\times z=350} \Longleftrightarrow\boxed{20x+7y+12z=2180}}$

Le client C₃ bénéficie d'une réduction supplémentaire de 10% sur le prix soldé de chaque article, ce qui correspond à un coefficient multiplicateur de 0,9.
Donc le montant des achats du client C₃ peut être transposé en équation comme suit :
$\overset{{\white{.}}}{5\times0,8\times0,9\times x+10\times0,7\times0,9\times y+5\times0,6\times0,9\times z=738}$
$\\\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwwww}}\Longleftrightarrow3,6x+6,3y+2,7z=738 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwwww}\Longleftrightarrow36x+63y+27z=7\,380} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwwww}\Longleftrightarrow\boxed{12x+21y+9z=2\,460}}$

Les montant des achats des trois clients peuvent alors être traduits par le
système $\overset{{\white{ww}}}{(S) }: \overset{{\white{ww}}}{\left\lbrace\begin{matrix} 32x+21y+12z& = & 3500\\ 20x+7y+12z& =&2180 \\ 12x+21y+9z& = & 2460 \end{matrix}\right.}$

Nous savons que la solution de ce système (S ) est le triplet (x ; y ; z) = (40 ; 60 ; 80).
Par conséquent, le prix initial d'une chemise est de 40 dinars, celui d'un pantalon est de 60 dinars et celui d'un pull est de 80 dinars.

5 points

exercice 2

1. a) Tableau complété.

${\white{wwwwww}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Sommet}&\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D}&\text{E} \\\hline\text{Degré}&{\red{2}}&{\red{3}}&{\red{2}}&{\red{3}}&{\red{2}}\\\hline \end{array}$

1. b) Nous devons donner la nature du sous graphe de (G) constitué par les sommets B, C et D.
Le sous graphe constitué par les sommets B, C et D est simple car il ne contient aucune boucle ni arête multiple.

Ce sous graphe est complet car c'est un graphe simple dont tous les sommets sont adjacents deux à deux.
Son ordre est 3 car il comprend exactement 3 sommets.
Ce sous graphe est maximal car aucun autre sous-graphe de G ne le contient.
Donc le sous graphe constitué par les sommets B, C et D est complet maximal d'ordre 3.

1. c) On désire illuminer les cinq appareils par des ampoules colorées de façon que deux d'entre eux reliés par une allée soient éclairés la nuit par deux couleurs différentes.

Le nombre minimal de couleurs nécessaires s'appelle le nombre chromatique du graphe (G) et se note $\chi (G).$
Le nombre chromatique $\chi$ d'un graphe G est inférieur ou égal à r + 1, où r est le plus grand degré des sommets.
Le plus grand degré des sommets est 3 (pour les sommets B et D).
Donc $\chi (G)\le3+1\Longleftrightarrow\boxed{\chi (G)\le 4}$

Le nombre chromatique $\chi$ d'un graphe G est supérieur ou égal à l'ordre n du sous graphe complet le plus grand de G.
Donc $\boxed{\chi (G)\ge 3}\,.$

Par conséquent, un encadrement du nombre minimal de couleurs nécessaires est donné par $\boxed{3\le\chi (G)\le 4}\,.$

Ce nombre minimal est par évidence égal à 3.
Un exemple de graphe coloré à l'aide de 3 couleurs différentes est donné ci-dessous.

2. Pour parcourir toutes les allées du manège sans passer deux fois par la même allée, il faut que le graphe (G) comporte une chaîne eulérienne.

Or un graphe admet une chaîne eulérienne si le graphe est connexe et si le nombre de sommets de degré impair est 0 ou 2.

$\bullet{\white{w}}$ Un graphe est connexe si nous pouvons relier, directement ou non, n'importe quel sommet à n'importe quel autre sommet par une chaîne d'arêtes
Nous remarquons que la chaîne A - B - C - D - E contient tous les sommets du graphe.
Donc à partir de chacun des sommets du graphe (G), nous pouvons nous rendre à n'importe quel autre sommet du graphe.
Dès lors, le graphe (G) est connexe.

Le graphe (G) contient exactement deux sommets de degré impair B et D (degré de B = degré de D = 3).

Nous en déduisons que le graphe (G) admet au moins une chaîne eulérienne.

Par conséquent, il est possible de parcourir toutes les allées du manège sans passer deux fois par la même allée.
Par exemple, le trajet B - C - D - B - A - E - D répond à ce critère.

3. La fréquentation du manège devient importante, le propriétaire décide d'instaurer un plan de circulation : certaines allées deviennent à sens unique, d'autres restent à double sens.
Le graphe (G') ci-dessous modélise cette nouvelle situation.

La matrice M associée au graphe (G') est $\overset{{\white{.}}}{M=\begin{pmatrix}0&1&0&0&1\\0&0&1&1&0\\0&1&0&1&0\\0&0&1&0&1\\1&0&0&1&0\end{pmatrix}.}$

4. On donne la matrice : $\overset{{\white{.}}}{M^5=\begin{pmatrix} 1 & 6 & 9& 6&10 \\ 4& 5& 7 & 11&5 \\ 4& 6& 6& 11& 5\\ 1& {\red{5}}& 10 & 6& 10\\ 6& 5& 5& 14 & 2 \end{pmatrix}.}$

4. a) Le terme situé à l'intersection de la ligne 4 et de la colonne 2 de la matrice M⁵ donne le nombre de chaînes de longueur 5 permettant de se rendre du sommet D au sommet B du graphe.
Ce terme est 5.
Par conséquent, il y a 5 chemins de longueur 5 permettant de se rendre du sommet D au sommet B.

Ces 5 chemins sont : $\bullet{\white{w}}$ D - C - B - D - C - B
${\white{wWWwwwwwwW}}\bullet{\white{w}}$ D - C - D - E - A - B
${\white{wWWWwwwwww}}\bullet{\white{w}}$ D - E - A - B - C - B
${\white{wwwwwwwWWW}}\bullet{\white{w}}$ D - E - A - E - A - B
${\white{wWWwwwwwwW}}\bullet{\white{w}}$ D - E - D - E - A - B

4. b) Le nombre de chaînes fermées de longueur 5 est donné par la somme des éléments de la diagonale principale de la matrice M⁵.
Cette somme est 1 + 5 + 6 + 6 + 2 = 20.
D'où, il y a 20 chaînes fermées de longueur 5.

Ces 20 chaînes fermées sont : $\bullet{\white{w}}$ A - B - C - D - E - A

${\white{wWWwwwWWWWwwvw}}\bullet{\white{w}}$ B - C - B - D - C - B
${\white{wWWwwwWWWWwwvw}}\bullet{\white{w}}$ B - C - D - E - A - B
${\white{wWWwwwWWWWwwvw}}\bullet{\white{w}}$ B - D - C - B - C - B
${\white{wWWwwwWWWWwwvw}}\bullet{\white{w}}$ B - D - C - D - C - B
${\white{wWWwwwWWWWwwvw}}\bullet{\white{w}}$ B - D - E - D - C - B

${\white{wWWwwwWWWWwwvw}}\bullet{\white{w}}$ C - B - C - B - D - C
${\white{wWWwwwWWWWwwvw}}\bullet{\white{w}}$ C - B - D - C - B - C
${\white{wWWwwwWWWWwwvw}}\bullet{\white{w}}$ C - B - D - C - D - C
${\white{wWWwwwWWWWwwvw}}\bullet{\white{w}}$ C - B - D - E - D - C
${\white{wWWwwwWWWWwwvw}}\bullet{\white{w}}$ C - D - C - B - D - C
${\white{wWWwwwWWWWwwvw}}\bullet{\white{w}}$ C - D - E - A - B - C

${\white{wWWwwwWWWWwwvw}}\bullet{\white{w}}$ D - C - B - C - B - D
${\white{wWWwwwWWWWwwvw}}\bullet{\white{w}}$ D - C - B - D - C - D
${\white{wWWwwwWWWWwwvw}}\bullet{\white{w}}$ D - C - B - D - E - D
${\white{wWWwwwWWWWwwvw}}\bullet{\white{w}}$ D - C - D - C - B - D
${\white{wWWwwwWWWWwwvw}}\bullet{\white{w}}$ D - E - A - B - C - D
${\white{wWWwwwWWWWwwvw}}\bullet{\white{w}}$ D - E - D - C - B - D

${\white{wWWwwwWWWWwwvw}}\bullet{\white{w}}$ E - A - B - C - D - E
${\white{wWWwwwWWWWwwvw}}\bullet{\white{w}}$ E - D - C - B - D - E

4,5 points

exercice 3

Le tableau ci-dessous résume les dépenses d'une entreprise, en milliers de dinars, de l'année 2012 à l'année 2019.

$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &&&&&&&&&\text{Année}&2012&\,2013&2014 & 2015 & 2016 & 2017 & 2018 &2019&&&&&&&&& \\ \hline &&&&&&&&\\ \text{Rang }x_i \text{ de l'année}& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\&&&&&&&& \\ \hline \text{Dépense }y_i & & & & & & &&&\text{en milliers } & 6 & 3,5& 2,6 &2,2 & 2& 1,8 &1,7 &1,6\\\text{ de dinars}&&&&&&&& \\\hline \end{array}$

I) 1. a) Nuage de points de la série (X , Y ) dans un repère orthogonal.

1. b) Les points du nuage ne sont pas sensiblement alignés.
L'allure du nuage ne permet donc pas d'envisager un ajustement affine.

1. c) Déterminons les coordonnées (x_G ; y_G ) du point moyen G du nuage.

$\left\lbrace\begin{matrix}x_G=\dfrac{1+2+3+4+5+6+7+8}{8}\phantom{wwwwwww}\\\\y_G=\dfrac{6+3,5+2,6+2,2+2+1,8+1,7+1,6}{8}\end{matrix}\right.\phantom{www}\Longleftrightarrow\phantom{www}\left\lbrace\begin{matrix}x_G=4,5\\\\y_G=2,675\end{matrix}\right.$
D'où les coordonnées du point G sont (4,5 ; 2,675).
Plaçons le point G sur le graphique de la question 1. a).

2. Nous devons calculer, à 10^-3 près, le coefficient de corrélation r₁ de la série (X , Y ).

Par la question 1. c), nous savons que les moyennes de x et de y sont données par : :

$\left\lbrace\begin{matrix}\overline{x}=\dfrac{1}{8}\,\sum\limits_{i=1}^8x_i=x_G=4,5\Longrightarrow\overline{x}=4,5\phantom{ww}\\\\\overline{y}=\dfrac{1}{8}\,\sum\limits_{i=1}^8y_i=y_G=2,675\Longrightarrow\overline{y}=2,675\end{matrix}\right.$

Le coefficient de corrélation linéaire est $\overset{{\white{.}}}{r_1=\dfrac{\text{cov}(x\,,\,y)}{\sqrt{V(x)\times V(y)}}}$ où V(x ) est la variance de x , V(y ) est la variance de y et cov(x ,y ) la covariance de (x ,y ).

Notations utilisées :

$\bullet{\phantom{w}}\text{Covariance : }\text{cov}(x;y)=\dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}) \\\\ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(x)=\dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2 \\\\ \phantom{\bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }}V(y)=\dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{i=1}^n(y_i-\overline{y})^2$

Tableau statistique complété.

$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &&&&&&&&\\ x_i & \phantom{i}1\phantom{i} & 2 & 3 & 4 & \phantom{i}5\phantom{i} & 6 & 7 & 8\\&&&&&&&&\\ \hline& & & & & & &&& x_i-\overline{x} & -3,5 & -2,5& -1,5 &-0,5 & 0,5& 1,5 &2,5 &3,5\\&&&&&&&&\\ \hline& & & & & & &&& y_i & 6 & 3,5& 2,6 &2,2 & 2& 1,8 &1,7 &1,6\\&&&&&&&&\\ \hline& & & & & & &&& y_i-\overline{y} & 3,325 & 0,825& -0,075 &-0,475 & -0,675& -0,875 &-0,975 &-1,075\\&&&&&&&& \\\hline \end{array}$

$\bullet{\phantom{w}}\text{Covariance : }\text{cov}(x;y)=\dfrac{1}{8}\,\sum\limits_{i=1}^8(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}) \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Covariance : }\text{cov}(x;y)}=\dfrac{1}{8}\,(-3,5\times3,325-2,5\times0,825+\cdots-3,5\times1,075) \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Covariance : }\text{cov}(x;y)}=-2,65 \\\\ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(x)=\dfrac{1}{8}\,\sum\limits_{i=1}^8(x_i-\overline{x})^2 \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(x)}=\dfrac{1}{8}\,((-3,5)^2+(-2,5)^2+\cdots+3,5^2) \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(x)}=5,25 \\\\\phantom{\bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }}V(y)=\dfrac{1}{8}\,\sum\limits_{i=1}^8(y_i-\overline{y})^2 \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(y)}=\dfrac{1}{8}\,(3,325^2+0,825^2+\cdots+(-1,075)^2) \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(y)}\approx1,912$

D'où $\overset{{\white{.}}}{r_1=\dfrac{\text{cov}(x\,,\,y)}{\sqrt{V(x)\times V(y)}}=\dfrac{-2,65}{\sqrt{5,25\times 1,912}}\approx-0,836.}$

Par conséquent, à 10^-3 près, le coefficient de corrélation r₁ de la série (X , Y ) est égal à -0,836.

II) On pose $T=\dfrac{5}{X}.$
Tous les résultats seront donnés à 10^-3 près.

1. Tableau complété.

$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &&&&&&&&\\ x_i & \phantom{ii}1\phantom{ii} & 2 & 3 & 4 & \phantom{vv}5\phantom{vv} & 6 & 7 & 8\\&&&&&&&& \\ \hline &&&&&&&&\\t_i&\phantom{i} 5\phantom{i} & \phantom{v}2,5\phantom{v} & \dfrac{5}{3}\approx1,667 & 1,25 & 1 & \dfrac{5}{6}\approx0,833 & \dfrac{5}{7}\approx0,714 & 0,625\\&&&&&&&& \\ \hline& & & & & & &&& y_i & 6 & 3,5& 2,6 &2,2 & 2& 1,8 &1,7 &1,6\\&&&&&&&& \\\hline \end{array}$
2. a) Le coefficient r₂ de corrélation de la série (T , Y ) est $\overset{{\white{.}}}{r_2=\dfrac{\text{cov}(t\,,\,y)}{\sqrt{V(t)\times V(y)}}}$ où V(t ) est la variance de t , V(y ) est la variance de y et cov(t ,y ) la covariance de (t ,y ).

Les moyennes de t et de y sont données par : :

$\left\lbrace\begin{matrix}\overline{t}=\dfrac{5+2,5+1,667+1,25+1+0,833+ 0,714+ 0,625}{8}\\\overline{y}=y_G\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWWW}\end{matrix}\right.\phantom{www}\Longleftrightarrow\phantom{www}\left\lbrace\begin{matrix}\overline{t}\approx1,699\\\overline{y}=2,675\end{matrix}\right.$

Tableau statistique complété.

$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &&&&&&&&\\ t_i&\phantom{i} 5\phantom{i} & \phantom{v}2,5\phantom{v} & 1,667 & 1,25 & 1 & 0,833 & 0,714 & 0,625\\&&&&&&&& \\ \hline& & & & & & &&& t_i-\overline{t} & 3,301 &0,801& -0,032 &-0,449 & -0,699& -0,866 &-0,985 &-1,074\\&&&&&&&&\\ \hline& & & & & & &&& y_i & 6 & 3,5& 2,6 &2,2 & 2& 1,8 &1,7 &1,6\\&&&&&&&&\\ \hline& & & & & & &&& y_i-\overline{y} & 3,325 & 0,825& -0,075 &-0,475 & -0,675& -0,875 &-0,975 &-1,075\\&&&&&&&& \\\hline \end{array}$

$\bullet{\phantom{w}}\text{Covariance : }\text{cov}(t;y)=\dfrac{1}{8}\,\sum\limits_{i=1}^8(t_i-\overline{t})(y_i-\overline{y}) \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Covariance : }\text{cov}(x;y)}=\dfrac{1}{8}\,(3,301\times3,325+0,801\times0,825+\cdots-1,074\times1,075) \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Covariance : }\text{cov}(x;y)}=1,899 \\\\ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(t)=\dfrac{1}{8}\,\sum\limits_{i=1}^8(t_i-\overline{t})^2 \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(t)}=\dfrac{1}{8}\,(3,301^2+0,801^2+\cdots+(-1,074)^2) \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(x)}=1,888 \\\\\phantom{\bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }}V(y)=\dfrac{1}{8}\,\sum\limits_{i=1}^8(y_i-\overline{y})^2 \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(y)}=\dfrac{1}{8}\,(3,325^2+0,825^2+\cdots+(-1,075)^2) \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(y)}=1,912$

D'où $\overset{{\white{.}}}{r_2=\dfrac{\text{cov}(t\,,\,y)}{\sqrt{V(t)\times V(y)}}=\dfrac{1,899}{\sqrt{1,888\times 1,912}}\approx0,999.}$

Les deux variables t et y présentent une corrélation parfaite.

2. b) Déterminons par la méthode des moindres carrés une équation de la droite D de régression de Y en T .

Une équation de la droite D est de la forme $y=at+b$ où $a=\dfrac{\text{cov}(t\,,\,y)}{V(t)}$ et $b=\overline{y}-a\overline{t}.$

$\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}a=\dfrac{\text{cov}(t\,,\,y)}{V(t)}=\dfrac{1,899}{1,888}\approx1\phantom{wwwwwww}\\\\b=\overline{y}-a\overline{t}=2,675-1\times1,699=0,976\end{matrix}\right.$

Par conséquent, une équation de la droite D de régression de Y en T est : y = t + 0,976.

2. c) Nous devons donner une estimation des dépenses de l'entreprise pour l'année 2022.
La valeur de x correspondant à l'année 2022 est x = 11.
D'où $t=\dfrac{5}{11}\approx0,455.$

Dans l'équation de D, remplaçons t par 0,455 et calculons la valeur de y .
y = 0,455 + 0,976 = 1,431.

Par conséquent, les dépenses de l'entreprise pour l'année 2022 peuvent être estimées à environ 1400 dinars.

Représentation graphique de D.

5,5 points

exercice 4

Soit f la fonction définie sur

par $f(x)=x-\text{e}^{x-2}.$

1. a) Nous devons calculer la limite de f en - infini

.

$\bullet\phantom{w}\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty}\\\\\bullet\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(x-2)=-\infty\\\\\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X=0\end{matrix}\right.\phantom{w}\underset{X=x-2}{\Longrightarrow}\phantom{w}\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{x-2}=0} \\\\\text{D'où }\lim\limits_{x\to-\infty}(x-\text{e}^{x-2})=-\infty,\phantom{x}\text{ soit }\phantom{x}\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty}$

1. b) Nous devons montrer que la droite deltamaj

d'équation y = x est une asymptote à (C) au voisinage de - infini

.

$\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-x]=\lim\limits_{x\to-\infty}[(x-\text{e}^{x-2}) -x] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-x}=\lim\limits_{x\to-\infty}(-\text{e}^{x-2}) }\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-x}=0\phantom{www}(\text{voir exercice 1. a)}} \\\\\text{D'où }\,\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-x]=0}$

Par conséquent, la droite d'équation y = x est une asymptote à (C) au voisinage de -.

1. c) Étudions la position relative de (C) par rapport à deltamaj

.

Pour tout x réel, $f(x)-x=(x-\text{e}^{x-2}) -x=-\text{e}^{x-2}<0\Longrightarrow\boxed{f(x)-x<0}\,.$

Dès lors, la courbe (C) est en dessous de la droite .

2. a) Pour tout x réel,

$x\,\left(1-\dfrac{\text{e}^x}{x}\,\text{e}^{-2}\right)=x\times1-x\times\dfrac{\text{e}^x}{x}\,\text{e}^{-2} \\\phantom{x\,\left(1-\dfrac{\text{e}^x}{x}\,\text{e}^{-2}\right)}=x-\cancel{x}\times\dfrac{\text{e}^x}{\cancel{x}}\,\text{e}^{-2} \\\phantom{x\,\left(1-\dfrac{\text{e}^x}{x}\,\text{e}^{-2}\right)}=x-\text{e}^x\,\text{e}^{-2} \\\phantom{x\,\left(1-\dfrac{\text{e}^x}{x}\,\text{e}^{-2}\right)}=x-\text{e}^{x-2} \\\phantom{x\,\left(1-\dfrac{\text{e}^x}{x}\,\text{e}^{-2}\right)}=f(x) \\\\\Longleftrightarrow\boxed{\forall\,x\in\R,\,f(x)=x\,\left(1-\dfrac{\text{e}^x}{x}\,\text{e}^{-2}\right)}$

2. b) $\bullet{\white{w}}$ Calculons $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x).$

$f(x)=x\,\left(1-\dfrac{\text{e}^x}{x}\,\text{e}^{-2}\right) \\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\phantom{www.}\\\\ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x}=+\infty\phantom{www.}\\\phantom{ww}(\text{croissances comparées}) \end{matrix}\right\phantom{ww.}\Longrightarrow\phantom{ww.}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\phantom{www.}\\\\ \lim\limits_{x\to+\infty}\left(1-\dfrac{\text{e}^x}{x}\,\text{e}^{-2}\right)=-\infty\phantom{www.} \end{matrix}\right \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWW.}\Longrightarrow\phantom{ww.}\lim\limits_{x\to+\infty}x\,\left(1-\dfrac{\text{e}^x}{x}\,\text{e}^{-2}\right)=-\infty \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWW.}\Longrightarrow\phantom{ww.}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty}$

$\bullet{\white{w}}$ Calculons $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}.$

$\forall\,x\neq0,\phantom{w}\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{x\,\left(1-\dfrac{\text{e}^x}{x}\,\text{e}^{-2}\right)}{x}\Longleftrightarrow \dfrac{f(x)}{x}=1-\dfrac{\text{e}^x}{x}\,\text{e}^{-2} \\\\\text{Or }\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1-\dfrac{\text{e}^x}{x}\,\text{e}^{-2}\right)=-\infty\phantom{ww}(\text{voir ci-dessus}) \\\\\Longrightarrow\phantom{ww.}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=-\infty}$

Par suite, (C ) présente une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées en +.

3. a) La fonction f est dérivable sur

.

$f'(x)=x'-(\text{e}^{x-2})' \\\phantom{f(x)}=1-(x-2)'\,\text{e}^{x-2} \\\phantom{f(x)}=1-1\times\,\text{e}^{x-2} \\\phantom{f(x)}=1-\text{e}^{x-2} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\R,\,f'(x)=1-\text{e}^{x-2}}$

Tableau de variation de f .

$\begin{matrix}1-\text{e}^{x-2}<0\Longleftrightarrow \text{e}^{x-2}>1\\\phantom{www2x-1<0}\Longleftrightarrow x-2>\ln1\\\phantom{.w2x-1<0}\Longleftrightarrow x-2>0\\\phantom{2x-1<}\Longleftrightarrow x>2\\\\1-\text{e}^{x-2}=0\Longleftrightarrow x=2\\\\1-\text{e}^{x-2}>0\Longleftrightarrow x<2\\\\f(2)=2-\text{e}^{0}\\\phantom{f(2)}=2-1\\\phantom{f)}=1\phantom{w.}\end{matrix}{\white{www}}\begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{www}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&2&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f\,'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&1&&\\f(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&-\infty&&&&-\infty\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

3. b) Nous devons montrer que l'équation f (x ) = 0 admet deux solutions dans

.

$\bullet{\white{w}}$ Sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;2[.}$

La fonction f est définie, continue et strictement croissante sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;2[.}$

$\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty}$ et $\overset{{\white{.}}}{f(2)=1.}$

D'où $\overset{{\white{.}}}{ 0\in f(\,]-\infty\,;2[\,).}$

Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation f (x ) = 0 possède une et une seule solution notée $\overset{{\white{.}}}{\alpha}$ dans l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;2[.}$

$\underline{\text{Remarque}}\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}f(0,15)\approx-0,007<0 \\\\f(0,16)\approx0,001>0\end{matrix}\right.$

D'où $\overset{{\white{.}}}{\boxed{0,15<\alpha<0,16}\,.}$

$\bullet{\white{w}}$ Sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]2\,;\,+\infty[.}$

La fonction f est définie, continue et strictement décroissante sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]2\,;\,+\infty[.}$

$\overset{{\white{.}}}{f(2)=1}$ et $\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty}.}$

D'où $\overset{{\white{.}}}{ 0\in f(\,]2\,;\,+\infty[\,).}$

Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation f (x ) = 0 possède une et une seule solution notée $\overset{{\white{.}}}{\beta}$ dans l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]2\,;\,+\infty[.}$

$\underline{\text{Remarque}}\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}f(3,14)\approx0,013>0 \\\\f(3,15)\approx-0,008<0\end{matrix}\right.$

D'où $\overset{{\white{.}}}{\boxed{3,14<\beta<3,15}\,.}$

Par conséquent, l'équation f (x ) = 0 admet deux solutions et dans .

3. c) Représentation graphique de deltamaj

et de (C).

4. a) Le tableau de variation de f montre que la fonction f admet un maximum égal à 1 si x = 2.
Dès lors, le gain est maximal si 200 composants électroniques sont produits par jour.
Ce gain est alors égal à 1000 dinars.

4. b) Complétons le tableau de variation de f sur l'intervalle ]0 ; 4].

$\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline &&&&&&&&&\\ x&0&&\alpha\approx0,16&&2&&\beta\approx3,15&&4\\&&&&&&&&&\\\hline&&&&&1&&&&\\f(x)&&\nearrow&0&\nearrow&&\searrow&0&\searrow&\\&-\text{e}^{-2}\approx-0,315&&&&&&&&4-\text{e}^2\approx-3,389\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

Nous en déduisons que $f(x)>0\Longleftrightarrow x\in\,]\alpha\,;\,\beta[.$

D'où l'entreprise réalise un gain pour une quantité de composants comprise entre 16 et 315 composants produits par jour.

Publié par malou le 04-02-2022

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