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Baccalauréat Mathématiques

STMG Polynésie Française 2017

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Bac STMG Polynésie Française 2017

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5 points

exercice 1

1.   Par la calculatrice, nous obtenons une équation de la droite d'ajustement affine suivant la méthode des moindres carrés : y  = -0,279x  + 55,594 (les coefficients sont arrondis au millième).

2. a)   Nuage de points de coordonnées (xi  ; yi ) et droite D  d'équation y  = -0,28x  + 55,6.

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b)   Le rang x  correspondant au 6 mai est x  = 13.
Remplaçons x  par 13 dans l'équation de D  et calculons le pourcentage correspondant y .

y=-0,28\times13+55,6\\\phantom{y}=51,96

Donc la valeur prévue par ce modèle le 6 mai est de 51,96 % en faveur du candidat A .

c)   Le candidat B  passera en tête si le pourcentage du candidat A  est inférieur à 50 %.
Résolvons alors l'inéquation -0,28x  + 55,6 < 50.

{\red{-0,28x+55,6<50}}\Longleftrightarrow-0,28x<50-55,6\\\phantom{-0,28x+55,6<50}\Longleftrightarrow-0,28x<-5,6\\\phantom{-0,28x+55,6<50}\Longleftrightarrow x>\dfrac{-5,6}{-0,28}\\\\\phantom{-0,28x+55,6<50}\Longleftrightarrow {\red{x>20}}

Le rang x  = 20 correspond à la date du 13 mai.
Par conséquent, si l'élection n'avait pas eu lieu le 6 mai, d'après ce modèle, le candidat B serait passé en tête des sondages après le 13 mai.

3. a)   Déterminons l'intervalle de confiance  I_{1225}  au seuil de 95% du pourcentage obtenu par le candidat A .

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de confiance sont remplies.
En effet,

\left\lbrace\begin{array}l n=1225\ge30 \\ f=0,52\Longrightarrow nf=1225\times0,52=637\ge5 \\n(1-f)=1225\times(1-0,52)=1225\times0,48=588\ge5 \end{array}

Donc l'intervalle de confiance  I_{1225}  au seuil de 95% est :    I_{1225}=\left[0,52-\dfrac{1}{\sqrt{1225}};0,52+\dfrac{1}{\sqrt{1225}}\right]

\Longrightarrow\boxed{I_{1225}\approx[0,491\ ;\ 0,549]}

b)   L'intervalle de confiance exprimé en pourcentage est l'intervalle [49,1 ; 54,9].
Au vu de cet intervalle, la victoire du candidat A  n'est pas assurée car ce candidat pourrait obtenir un pourcentage dans l'intervalle [49,1 ; 50[, ce qui ne le placerait pas en tête du scrutin.

7 points

exercice 2

Partie A


1.   Arbre pondéré représentant la situation :

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{\red{2.}}\ \ \ p(T\cap V)=p(T)\times p_T(V)\\\phantom{p({\red{2.}}\ \ \ T\cap V)}=0,6\times0,72\\\phantom{{\red{2.}}\ \ \ p(T\cap V)}=0,432\\\\\Longrightarrow\boxed{p(T\cap V)=0,432}

3.   L'événement "l'employé ne peut pas utiliser les transports en commun et ne vient pas travailler en voiture" se traduit par \overline{T}\cap\overline{V}.

p(\overline{T}\cap\overline{V})=p(\overline{T})\times p_{\overline{T}}(\overline{V})\\\phantom{p(\overline{T}\cap\overline{V})}=0,4\times0,04\\\phantom{p(\overline{T}\cap\overline{V})}=0,016

D'où la probabilité que l'employé ne puisse pas utiliser les transports en commun et ne vienne pas travailler en voiture est égale à 0,016.

4.   Selon la formule des probabilités totales, nous obtenons :

p(V)=p(T\cap V)+p(\overline{T}\cap V)\\\phantom{p(V)}=0,432+p(\overline{T})\times p_{\overline{T}}(V)\\\phantom{p(V)}=0,432+0,4\times 0,96\\\phantom{p(V)}=0,816\\\\\Longrightarrow\boxed{p(V)=0,816}

5.   Nous devons calculer  p_V(T).

p_V(T)=\dfrac{p(T\cap V)}{p(V)}\\\\\phantom{p_V(T)}=\dfrac{0,432}{0,816}\\\\\phantom{p_V(T)}\approx0,529

Par conséquent, sachant que l'employé vient en voiture, la probabilité qu'il ait accès aux transports en commun est environ égale à 0,529.

Partie B


1.   Une diminution de 5 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 - 0,05 = 0,95.

\text{D'où }\ \ U_1=0,95\times U_0\\\phantom{\text{D'où }\ \ U_1}=0,95\times81,6\\\phantom{\text{D'où }\ \ U1}=77,52\\\\\Longrightarrow\boxed{U_1=77,52}\\\\U_2=0,95\times U_1\\\phantom{U_2}=0,95\times77,52\\\phantom{U_2}=73,644\\\\\Longrightarrow\boxed{U_2=73,644}

2.   Chaque terme de la suite (Un ), à partir du deuxième, est égal au précédent multiplié par le nombre constant 0,95.
Donc la suite (Un ) est une suite géométrique de raison 0,95 et dont le premier terme est U 0 = 81,6.

U_n=U_0\times(0,95)^n\Longrightarrow\boxed{U_n=81,6\times(0,95)^n}

3.   Puisque 2020 = 2016 + 4, le pourcentage d'employés venant en voiture en 2020 sera la valeur de U 4.

U_{4}=81,6\times(0,95)^{4}\Longrightarrow U_4\approx66,46

D'où en 2020, environ 66,46 % d'employés viendront en voiture.

4.   Résolvons l'inéquation Un < 50.

81,6\times(0,95)^n<50\Longleftrightarrow(0,95)^n<\dfrac{50}{81,6}\\\\\phantom{81,6\times(0,95)^n<50}\Longleftrightarrow\ln(0,95)^n<\ln\left(\dfrac{50}{81,6}\right)\\\\\phantom{81,6\times(0,95)^n<50}\Longleftrightarrow n\times\ln(0,95)<\ln\left(\dfrac{50}{81,6}\right)\\\\\phantom{81,6\times(0,95)^n<50}\Longleftrightarrow n>\dfrac{\ln\left(\dfrac{50}{81,6}\right)}{\ln(0,95)}\ \ \ \text{(changement de sens de l'inégalité car }\ln(0,95)<0)\\\\\phantom{81,6\times(0,95)^n<50}\Longleftrightarrow n>9,549128...

La question posée revient à déterminer le plus petit entier n  vérifiant l'inégalité n  > 9,549128...
Ce plus petit entier est 10.
Puisque 2016 + 10 = 2026, il y aura moins d'un employé sur deux qui viendra travailler en voiture à partir de l'année 2026.

8 points

exercice 3

Partie A


1.   Le taux d'évolution de salaire moyen net des hommes entre 1990 et 2000 se calcule par

         \dfrac{\text{Valeur finale - Valeur initiale}}{\text{Valeur initiale}}=\dfrac{21498-17643}{17643}\approx0,2185, soit environ 21,85 %

Le taux d'évolution de salaire moyen net des femmes entre 1990 et 2000 se calcule par

         \dfrac{\text{Valeur finale - Valeur initiale}}{\text{Valeur initiale}}=\dfrac{17259-13258}{13258}\approx0,3018, soit environ 30,18 %

2.   30,18 % étant un pourcentage supérieur à 21,85 %, nous en déduisons que les femmes ont la plus forte progression du salaire net moyen entre 1990 et 2000.

Et pour les dix années suivantes ?

Le taux d'évolution de salaire moyen net des hommes entre 2000 et 2010 se calcule par

         \dfrac{\text{Valeur finale - Valeur initiale}}{\text{Valeur initiale}}=\dfrac{26831-21498}{21498}\approx0,2481, soit environ 24,81 %

Le taux d'évolution de salaire moyen net des femmes entre 2000 et 2010 se calcule par

         \dfrac{\text{Valeur finale - Valeur initiale}}{\text{Valeur initiale}}=\dfrac{22112-17259}{17259}\approx0,2812, soit environ 28,12 %

28,12 % étant un pourcentage supérieur à 24,81 %, nous en déduisons que la tendance s'est confirmée durant les dix années suivantes.
A noter que l'écart entre les deux pourcentages a diminué entre 2000 et 2010.


3.   Notons par T  le taux d'évolution du salaire net moyen des hommes entre 1990 et 2000 et par tm  le taux d'évolution annuel moyen entre 1990 et 2000.

Entre 1990 et 2000, le taux d'évolution annuel moyen du salaire net des hommes vérifie la relation

1+T=(1+t_m)^{10}.

\text{D'où   }\ \ 1+T=(1+t_m)^{10}\Longleftrightarrow1+0,2185=(1+t_m)^{10}\\\\\phantom{\text{D'où   }\ \ 1+T=(1+t_m)^{10}}\Longleftrightarrow1,2185=(1+t_m)^{10}\\\\\phantom{\text{D'où   }\ \ 1+T=(1+t_m)^{10}}\Longleftrightarrow1+t_m=1,2185^{\frac{1}{10}}\\\\\phantom{\text{D'où   }\ \ 1+T=(1+t_m)^{10}}\Longleftrightarrow t_m=1,2185^{\frac{1}{10}}-1\\\\\phantom{\text{D'où   }\ \ 1+T=(1+t_m)^{10}}\Longleftrightarrow t_m\approx0,01995862...

Par conséquent, le taux d'évolution annuel moyen du salaire net des hommes entre 1990 et 2000 est environ égal à 2 % (arrondi à 0,01 %).
Ce taux est inférieur à celui des femmes durant la même période.

Partie B


1.   h(x)=0,25x^3+2x^2+318x+17865

\Longrightarrow h(15)=0,25\times15^3+2\times15^2+318\times15+17865\\\phantom{\Longrightarrow h(15)}=23928,75

f(x)=0,6x^3-13x^2+470x+13324\\\\\Longrightarrow f(15)=0,6\times15^3-13\times15^2+470\times15+13324\\\phantom{\Longrightarrow f(15)}=19474

Or 1990 + 15 = 2005.
Par conséquent, en 2005, le salaire net annuel des hommes s'élevait à 23928,75 euros et celui des femmes à 19474 euros.

2.   2020 = 1990 + 30.
L'écart des salaires nets annuels moyens prévus par ce modèle entre les hommes et les femmes en 2020 se calcule par h (30) - f (30) = 35955 - 31924 = 4031.
Par conséquent, cet écart s'élève à 4031 euros.

3.   L'écart entre ces deux salaires s'exprime par g (x ) = h (x ) - f (x ).

g(x)=(0,25x^3+2x^2+318x+17865)-(0,6x^3-13x^2+470x+13324)\\\phantom{g(x)}=0,25x^3+2x^2+318x+17865-0,6x^3+13x^2-470x-13324\\\phantom{g(x)}=(0,25x^3-0,6x^3)+(2x^2+13x^2)+(318x-470x)+(17865-13324)\\\phantom{g(x)}=-0,35x^3+15x^2-152x+4541\\\\\Longrightarrow\boxed{g(x)=-0,35x^3+15x^2-152x+4541}

4.   Calcul de g' (x ).

g'(x)=(-0,35x^3)'+(15x^2)'-(152x)'+4541'\\\phantom{g'(x)}=-0,35\times3x^2+15\times 2x-152\times1+0\\\phantom{g'(x)}=-1,05x^2+30x-152\\\\\Longrightarrow\boxed{g'(x)=-1,05x^2+30x-152}

5.   Signe de g' (x ) sur l'intervalle [0 ; 30].

g'(x)=-1,05x^2+30x-152\\\\ \Delta=30^2-4\times(-1,05)\times(-152)\\\phantom{\Delta}=900-638,4\\\phantom{\Delta}=261,6\\\\\text{Racines : }x_1=\dfrac{-30-\sqrt{261,6}}{2\times(-1,05)}=\dfrac{-30-\sqrt{261,6}}{-2,1}=\dfrac{30+\sqrt{261,6}}{2,1}\approx21,99\\\\\phantom{\text{Racines : }}x_2=\dfrac{-30+\sqrt{261,6}}{2\times(-1,05)}=\dfrac{-30+\sqrt{261,6}}{-2,1}=\dfrac{30-\sqrt{261,6}}{2,1}\approx6,58

\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&& x&0&&x_2=\dfrac{30-\sqrt{261,6}}{2,1}&&x_1=\dfrac{30+\sqrt{261,6}}{2,1}&&30 &&&&&&&&\\\hline&&&&&&&& g'(x)&&-&0&+&0&-&\\\hline \end{array}

Nous en déduisons que g' (x ) > 0 si x  appartient ]x 2 ; x 1 [
et g' (x ) < 0 si x  appartient ]-infini ; x 2 [ U ]x 1 ; +infini[.

6.   Puisque g' (x ) > 0 si x  appartient ]x 2 ; x 1 [, nous savons que la fonction g est strictement croissante sur
l'intervalle ]x 2 ; x 1 [, ce qui signifie que l'écart a augmenté sur cet intervalle.
Par conséquent, nous ne pouvons pas affirmer que l'écart entre les salaires nets annuels moyens des hommes et des femmes n'a fait que diminuer depuis 1990.

Partie C


1.   Algorithme complété.

X  prend la valeur 0
H  prend la valeur 17865
F  prend la valeur 13 324
Tant que F  < H 
                X  prend la valeur X  + 1
                H  prend la valeur 0,25X 3 + 2X 2 + 318X  + 17865
                F  prend la valeur 0,6X 3 - 13X 2 + 470X  + 13324
Fin tant que
A  prend la valeur 1990 + X 
Afficher A 

2.   En utilisant le tableau, nous déduisons que l'algorithme affichera 2031  qui représente l'année à partir de laquelle le salaire des femmes aura rattrapé celui des hommes.
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