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Baccalauréat Mathématiques

ES-L Obligatoire et spécialité

Asie 2017

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Bac ES-L Obligatoire et spécialité - Asie 2017

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exercice 1 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS

Soit f  la fonction définie et dérivable sur ]0 ; +infini[ par : f (x) = 1 + ln(x ).

Affirmation 1. 
La fonction F  définie par F (x ) = x ln(x ) est une primitive de f  sur ]0 ; +infini[ si et seulement si F'(x) = f(x)  pour tout x appartenant à ]0 ; +infini[.

\text{Or  }\ F'(x)=[x\times\ln(x)]'\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =x'\times\ln(x)+x\times[\ln(x)]'\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1\times\ln(x)+x\times\dfrac{1}{x}\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ln(x)+1\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =f(x)\\\\\Longrightarrow\boxed{F'(x)=f(x)}

D'où la fonction F  est une primitive de f  sur ]0 ; +infini[.

De plus, F (1) = 1 multiplie ln(1) = 1 multiplie 0 = 0, soit F (1) = 0

Par conséquent, l'affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2. 

f'(x)=[1+\ln(x)]'\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ =1'+[\ln(x)]'\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ =0+\dfrac{1}{x}\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ =\dfrac{1}{x}\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{1}{x}}

D'où f' (x ) > 0 car x  appartient ]0 ; +infini[ implique x > 0.

Nous en déduisons que la fonction f  est strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; +infini[.

Par conséquent, l'affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3. 
La fonction f  est continue et strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; +infini[, a fortiori sur l'intervalle [1 ; 10].

f ( 1) = 1 + ln(1)
           = 1 + 0
           = 1
implique f (1) < 2

f (10) = 1 + ln(10)
            environegal 1 + 2,3
            environegal 3,3
implique f (10) > 2

Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous en déduisons que l'équation f (x) = 2 possède une solution unique dans l'intervalle [1 ; 10].

Par conséquent, l'affirmation 3 est vraie.

Affirmation 4. 
Nous étudierons la convexité de la courbe \mathscr{C}  sur l'intervalle ]0 ; +infini[ en étudiant le signe de la dérivée seconde f" (x ) sur cet intervalle.

Or  f'(x)=\dfrac{1}{x}\Longrightarrow\boxed{f''(x)=-\dfrac{1}{x^2}<0}

Puisque la dérivée seconde est strictement négative sur l'intervalle ]0 ; +infini[, nous en déduisons que la fonction f  est concave sur l'intervalle ]0 ; +infini[.
D'où il n'existe pas de point de la courbe \mathscr{C}  pour lequel la tangente en ce point est située entièrement sous la courbe \mathscr{C} .

Par conséquent, l'affirmation 4 est fausse.



exercice 2 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS

Partie A


1.   D'après le graphique, nous savons que 57% des personnes possèdent une connexion internet fixe au domicile et en mobilité.

D'où p(D\cap M)=0,57.

Nous savons également que 28% des personnes possèdent une connexion fixe au domicile seulement.

D'où p(D\cap \overline{M})=0,28.

En utilisant la formule de Bayes (probabilités totales), nous obtenons :

p(D)=p(D\cap M)+p(D\cap \overline{M})\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ =0,57+0,28\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ =0,85\\\\\Longrightarrow\boxed{p(D)=0,85}

2.   "La probabilité que la personne dispose d'une connexion internet fixe au domicile sachant qu'elle dispose d'une connexion internet en mobilité" se détermine par p_M(D).

\text{Or  }\ p_M(D)=\dfrac{p(D\cap M)}{p(M)}\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{0,57}{p(M)}

Calculons p (M ).

En utilisant la formule de Bayes (probabilités totales), nous obtenons :

\begin{array}{r @{ = } l} p(M)\ &\ p(D\cap M)+p(D\cap\overline{M})\\&\ 0,57+0,03\\&\ 0,60 \end{array}

\text{D'où  }\ p_M(D)=\dfrac{0,57}{0,60}\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =0,95

Par conséquent, la probabilité que la personne dispose d'une connexion internet fixe au domicile sachant qu'elle dispose d'une connexion internet en mobilité est égale à 0,95.

3.   D'après le graphique, nous savons que 12% des personnes ne disposent pas de connexion internet.
Donc, a contrario, 88% des personnes disposent d'une connexion internet.

Par conséquent, la probabilité que la personne dispose d'une connexion internet est égale à 0,88.

4.   p_{\overline{M}}(\overline{D})=\dfrac{p(\overline{M}\cap\overline{D})}{p(\overline{M})}

Or p(\overline{M}\cap\overline{D})=0,12  car 12% des personnes n'ont pas de connexion internet
et p(\overline{M})=1-p(M)=1-0,6=0,4.

\text{D'où  }\ p_{\overline{M}}(\overline{D})=\dfrac{0,12}{0,4}\\\\\Longrightarrow\boxed{p_{\overline{M}}(\overline{D})=0,3}

Partie B


1.   L'expérience consiste en 100 tirages indépendants et identiques.
Lors de chaque tirage deux issues sont possibles :
- le succès (la personne a une connexion internet fixe au domicile) avec une probabilité de 0,85.
- l'échec (la personne n'a pas de connexion internet fixe au domicile) avec une probabilité de 1 - 0,85 = 0,15.

D'où la variable aléatoire X  suit la loi binomiale de paramètres n  = 100 et p  = 0,85.

2.   Par la calculatrice, nous obtenons : \boxed{p(X\le 75)\approx0,0060804}

Interprétation
75 personnes ou moins sur 100 personnes ont une probabilité de posséder une connexion internet fixe au domicile égale à 0,6%.
Cela signifie que plus de 75 personnes sur 100 ont une connexion internet fixe au domicile avec une probabilité de 99,4%, soit l'événement quasi certain.

Partie C


1.   Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I100  au seuil de 95 % de la proportion de Français ayant une connexion internet fixe au domicile pour un échantillon aléatoire de 100 personnes.

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

\left\lbrace\begin{array}l n=100\ge30 \\ p=0,85\Longrightarrow np=100\times0,85=85>5 \\n(1-p)= 100\times(1-0,85)= 100\times0,15=15>5 \end{array}

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I100  au seuil de 95% est :

 I_{100}=\left[0,85-1,96\sqrt{\dfrac{0,85 (1-0,85)}{ 100}};0,85+1,96\sqrt{\dfrac{0,85 (1-0,85)}{ 100}}\right]\\\\\Longrightarrow I_{100}\approx[0,78;0,92]

2.   La fréquence observée est  f=\dfrac{76}{100}=0,76

Nous remarquons que  f\notin I_{100}.

Par conséquent, au risque de se tromper de 5%, cet échantillon ne reflète pas l'équipement de la population française. Cet échantillon est en-dessous de la norme de l'équipement standard en connexion internet fixe au domicile.



exercice 3 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS

Partie A


1.   f' (1) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe \mathscr{C}_f  au point d'abscisse 1, soit au point B .
Or la tangente deltamaj'  à la courbe \mathscr{C}_f au point B  est parallèle à l'axe des abscisses et admet alors un coefficient directeur égal à 0.

D'où  f' (1) = 0.

2.   La fonction f  est strictement décroissante sur l'intervalle [-3 ; -0,5].
Donc f' (-2) infegal 0.
La courbe \mathscr{C}_f ne possède pas de tangente horizontale en son point d'abscisse -2.
Par conséquent, f' (-2) < 0.

3   f' (0) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe \mathscr{C}_f  au point d'abscisse 0, soit le coefficient directeur de la droite deltamaj.
La droite deltamaj admet comme équation y  = 0,5x  + 3.
Son coefficient directeur est égal à 0,5.
Par conséquent, f' (0) = 0,5.

4.   La tangente à la courbe \mathscr{C}_f  ne semble pas traverser la courbe.
Par conséquent, nous pouvons conjecturer que le point A  n'est pas un point d'inflexion de la courbe \mathscr{C}_f.

5.   La fonction f  est continue et positive sur l'intervalle [0 ; 1].
D'où \int\limits_0^1f(x)\,dx correspond à l'aire de la surface comprise entre la courbe \mathscr{C}_f , l'axe des abscisses et les droites d'équation x  = 0 et x  = 1.

Cette surface est comprise entre un rectangle d'aire égale à 3 u.a. et un rectangle d'aire égale à 4 u.a.
Par conséquent,  3<\int\limits_0^1f(x)\,dx<4.

Partie B


f(x)=(ax^2+bx+c)e^x+5

1.   f (0) = 3 car le point A (0 ; 3) appartient à la courbe \mathscr{C}_f.

Nous obtenons ainsi :

\begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} f(0)=3\ &\ (a\times0^2+b\times0+c)e^0+5=3\\&\ (0+c)\times1+5=3\\&\ c+5=3\\&\ \boxed{c=-2} \end{array}

2.   f'(x)=\left(ax^2+(2a+b)x-2+b\right)e^x

Par la question 3 de la partie A, nous savons que f' (0) = 0,5.

Nous obtenons alors :

\begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} f'(0)=0,5\ &\ \left(a\times0^2+(2a+b)\times0-2+b\right)e^0=0,5\\&\ (0-2+b)\times1=0,5\\&\ -2+b=0,5\\&\ \boxed{b=2,5} \end{array}

Par la question 1 de la partie A, nous savons que f' (1) = 0.

Nous obtenons alors :

\begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} f'(1)=0\ &\ [a\times1^2+(2a+b)\times1-2+b]e^1=0\\&\ (a+2a+b-2+b)\times e=0\\&\ (3a+2b-2)\times e=0\\&\ 3a+2b-2=0\ \ \ (\text{car  }e\approx2,7\neq0)\\&\ 3a+2\times2,5-2=0\ \ \ (\text{car  }b=2,5)\\&\ 3a+3=0\\&\ 3a=-3\\&\ \boxed{a=-1} \end{array}

Partie C


f(x)=(-x^2+2,5x-2)e^x+5

1.   Nous savons par la partie B que f'(x)=(ax^2+(2a+b)x-2+b)e^x avec a  = -1 et b  = 2,5.

En remplaçant a et b  par leurs valeurs dans l'expression de f' (x ), nous obtenons :

f'(x)=\left(-x^2+(-2+2,5)x-2+2,5\right)e^x\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=(-x^2+0,5x+0,5)e^x}

2.   Puisque la fonction exponentielle est strictement positive pour tout x  réel, le signe de la dérivée f'  est celui de (-x ² + 0,5x  + 0,5).

Etablissons le tableau de signe du trinôme du second degré -x² + 0,5x  + 0,5.

Calcul des racines de ce trinôme :
Nous savons que a  = -1 ; b  = 0,5 et c  = 0,5.

\Delta = b^2-4ac=0,5^2-4\times(-1)\times0,5=0,25+2=2,25>0\\\\x_1=\dfrac{-0,5-\sqrt{2,25}}{2\times(-1)}=\dfrac{-0,5-1,5}{-2}=\dfrac{-2}{-2}=1\\\\x_2=\dfrac{-0,5+\sqrt{2,25}}{2\times(-1)}=\dfrac{-0,5+1,5}{-2}=\dfrac{1}{-2}=-0,5

Tableau de signes du trinôme -x ² + 0,5x  + 0,5 et donc de f' (x )

Sachant que a  = -1<0, la dérivée f'  sera négative à l'extérieur des racines et positive entre les racines.

\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x&-3&&-0,5&&1&&2 \\\hline f'(x)&&-&0&+&0&-&\\\hline &f(-3)&&&&f(1)&& \\ f(x)&&\searrow&&\nearrow&&\searrow& \\ &&&f(-0,5)&&&&f(2) \\ \hline \end{array}\\\\\text{avec}\ \ \left\lbrace\begin{array}l f(-3)=[-9+2,5\times(-3)-2]e^{-3}+5=-18,5e^{-3}+5\approx4,08\\f(-0,5)=[-0,25+2,5\times(-0,5)-2]e^{-0,5}+5=-3,5e^{-0,5}+5\approx2,88\\f(1)=(-1+2,5\times1-2)e^{1}+5=-0,5e+5\approx3,64\\f(2)=(-4+2,5\times2-2)e^{2}+5=-e^2+5\approx-2,39\end{array}

\text{D'où :}\\\\ \red{\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x&-3&&-0,5&&1&&2 \\\hline &\approx4,08&&&&\approx3,64&& \\ f(x)&&\searrow&&\nearrow&&\searrow& \\ &&&\approx2,88&&&&\approx-2,39 \\ \hline \end{array}}

3. a.   La fonction f  est continue et strictement décroissante sur [1; 2].
f (1) environegal 3,64 et f (2) environegal -2,39.
Nous observons que 0 est compris entre f (1) et f (2).

Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation f (x ) = 0 admet une unique solution alpha  sur [1 ; 2].

b.   Par la calculatrice, nous obtenons f (1,84) environegal 0,05 > 0 et f (1,85) environegal -0,07 < 0.

Par conséquent, une valeur approchée de alpha  au centième est alpha environegal 1,84.



exercice 4 - Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement                                 de spécialité et candidats de la serie L

1.   La situation peut être traduite par l'arbre pondéré suivant :

Bac ES-L Obligatoire et spécialité Asie 2017 : image 12


2.   Selon la formule des probabilités totales, nous obtenons :

p_{n+1}=p(A_{n+1})\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ =p(A_n\cap A_{n+1})+p(\overline{A_n}\cap A_{n+1})\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ =p_{A_n}(A_{n+1})\times p(A_n)+p_{\overline{A_n}}(A_{n+1})\times p(\overline{A_n})\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ =0,7\times p_n+0,2\times(1-p_n)\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ =0,7p_n+0,2-0,2p_n\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ =0,5p_n+0,2\\\\\Longrightarrow\boxed{p_{n+1}=0,5p_n+0,2\ \ \ (n\in\mathbb{N})}

3.   u_n=p_n-0,4\ \ \ (n\in\mathbb{N}^*)

a.   Montrons que la suite (un ) est une suite géométrique.

\begin{array}{r @{ = } l} u_{n+1}\ &\ p_{n+1}-0,4\\&\ (0,5p_{n}+0,2)-0,4\\&\ 0,5p_{n}-0,2\\&\ 0,5\times p_{n}-0,5\times0,4\\&\ 0,5\times (p_{n}-0,4)\\&\ 0,5\times u_n \end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}=0,5\times u_n}

Par conséquent la suite (un ) est une suite géométrique de raison 0,5 et dont le premier terme est u_1=p_1-0,4=0,2-0,4=-0,2.

b.   Puisque la suite (un ) est une suite géométrique de raison 0,5 et dont le premier terme est u1 = -0,2, nous avons u_n=u_1\times0,5^{n-1}, soit  u_n=-0,2\times0,5^{n-1}.

Or  u_n=p_n-0,4\Longrightarrow p_n=u_n+0,4.

Par conséquent,  \boxed{p_n=-0,2\times0,5^{n-1}+0,4\ \ \ (n\in\mathbb{N}^*)}

c.   Nous savons que \lim\limits_{n\to+\infty}0,5^{n-1}=0\ \ \text{car }0<0,5<1.

\begin{array}{r @{ = } l} \Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}(-0,2\times0,5^{n-1})\ &\ -0,2\times\lim\limits_{n\to+\infty}0,5^{n-1}\\&\ -0,2\times0\\&\ 0 \end{array}

D'où \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0

De plus

\lim\limits_{n\to+\infty}p_n=\lim\limits_{n\to+\infty}(u_n+0,4)\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =0,4+\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =0,4+0\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =0,4.

Par conséquent, à long terme, si l'évolution perdure, 40% des élèves choisiront l'accompagnement "Approfondissement".

4.   Algorithme

a.   Les diverses valeurs de P  se déterminent comme suit :

\left.\begin{matrix} p_2=0,5\times p_1+0,2\\\dfrac{}{}\ \ \ =0,5\times0,2+0,2\\=0,3\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\ \ \right|\left.\begin{matrix} p_3=0,5\times p_2+0,2\\\dfrac{}{}\ \ \ =0,5\times0,3+0,2\\=0,35\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\ \ \right|\left.\begin{matrix} p_4=0,5\times p_3+0,2\\\dfrac{}{}\ \ \ =0,5\times0,35+0,2\\=0,375\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\ \ \right|\left.\begin{matrix} p_5=0,5\times p_4+0,2\\\dfrac{}{}\ \ \ =0,5\times0,375+0,2\\=0,3875\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\ \ \right|

Ces valeurs de P  sont reprises dans le tableau suivant :

       \begin{array}{|c|c|c|c|c|>{\columncolor{green}}c|}\hline I&&2&3&4&5 \\\hline P&0,2&0,3&0,35&0,375&0,3875\\\hline \end{array}

D'où la valeur affichée sera 0,3875.

b.   Algorithme modifié

Variables :         N  est un entier naturel
                                P  est un nombre réel
Initialisation : N  prend la valeur 1
                                P  prend la valeur 0,2
Traitement :    Tant que P  infegal  0,399 faire
                                         P  prend la valeur 0,5P + 0,2
                                        N  prend la valeur N + 1
                               Fin Tant que
Sortie :               Afficher N 


exercice 4 - Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de                                 spécialité

1. a.   Les données de l'énoncé nous permettent de traduire la situation par le graphe probabiliste suivant :

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b.   Nous pouvons alors déterminer la matrice M  de transition suivante (les sommets étant rangés selon l'ordre alphabétique) :

\boxed{M=\begin{pmatrix}0,7&0,3\\ 0,2&0,8\end{pmatrix}}

2. a.   Nous savons que P_1=\begin{pmatrix}0,2&0,8\end{pmatrix}

Calculons M ².

M^2=\begin{pmatrix}0,7&0,3\\ 0,2&0,8\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,7&0,3\\ 0,2&0,8\end{pmatrix}\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ =\begin{pmatrix}0,7\times0,7+0,3\times0,2&&0,7\times0,3+0,3\times0,8\\ 0,2\times0,7+0,8\times0,2&&0,2\times0,3+0,8\times0,8\end{pmatrix}\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ =\begin{pmatrix}0,55&0,45\\ 0,3&0,7\end{pmatrix}\\\\\Longrightarrow\boxed{M^2=\begin{pmatrix}0,55&0,45\\ 0,3&0,7\end{pmatrix}}

Calculons ensuite P3.

P_3=P_1\times M^2\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ =\begin{pmatrix}0,2&0,8\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,55&0,45\\ 0,3&0,7\end{pmatrix}\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ =\begin{pmatrix}0,2\times0,55+0,8\times0,3&&&0,2\times0,45+0,8\times0,7\end{pmatrix}\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ =\begin{pmatrix}0,35&&0,65\end{pmatrix}\\\\\Longrightarrow\boxed{P_3=\begin{pmatrix}0,35&0,65\end{pmatrix}}

Par conséquent, la probabilité que l'élève ait choisi "Approfondissement" lors de la troisième semaine est égale à 0,35.

b.   La matrice M de transition ne comporte pas de 0.
L'état probabiliste Pn  à l'étape n  converge vers un état P  indépendant de l'état initial P1.

Cet état P est l'état probabiliste stable du système et vérifie la relation PmultiplieM = P.

Soit   P=\begin{pmatrix}a & b\end{pmatrix}\ \ \ \text{avec }a+b=1

Alors

 P\times M=P

\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}a & b\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,7&0,3 \\ 0,2 & 0,8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & b\end{pmatrix}\ \ \ \text{avec }a+b=1

\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}0,7a+0,2b & 0,3a+0,8b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & b\end{pmatrix}\ \ \ \text{avec }a+b=1

\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l 0,7a+0,2b=a\\0,3a+0,8b=b\\a+b=1 \end{array}

\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l 0,7a-a+0,2b=0\\0,3a+0,8b-b=0\\a+b=1 \end{array}

\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l -0,3a+0,2b=0\\0,3a-0,2b=0\\a+b=1 \end{array}

\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l0,3a-0,2b=0\\a+b=1 \end{array}

 \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l0,3a-0,2b=0\\b=1-a \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l0,3a-0,2(1-a)=0\\b=1-a \end{array}

 \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l0,3a-0,2+0,2a=0\\b=1-a \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l0,5a-0,2=0\\b=1-a \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l0,5a=0,2\\b=1-a \end{array}

 \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}la=\dfrac{0,2}{0,5}\\\\b=1-a \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}la=0,4\\b=1-0,4 \end{array}\Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{array}la=0,4\\b=0,6 \end{array}}

D'où l'état probabiliste stable est  \boxed{P=\begin{pmatrix}0,4 & 0,6\end{pmatrix}}

Nous pouvons interpréter ce résultat en indiquant qu'à long terme, la probabilité qu'un élève choisisse "Approfondissement" est égale à 0,4.

3.   Par définition de la matrice M de transition, nous avons : P_{n+1}=P_n\times M.

Donc pour tout entier naturel n,

P_{n+1}=P_n\times M\\\\\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}a_{n+1} & b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{n} & b_{n}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,7&0,3 \\ 0,2 & 0,8\end{pmatrix}\ \ \ \text{avec }a_n+b_n=1

\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}a_{n+1} & b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,7a_{n}+0,2b_{n} & 0,3a_{n}+0,8b_{n}\end{pmatrix}\ \ \ \text{avec }a_{n}+b_{n}=1\\\\\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l a_{n+1}=0,7a_n+0,2b_{n}\\b_{n+1}=0,3a_{n}+0,8b_{n}\\a_{n}+b_{n}=1 \end{array}\\\\\Longrightarrow\left\lbrace\begin{array}l a_{n+1}=0,7a_n+0,2b_{n}\\a_{n}+b_{n}=1 \end{array}

 \Longrightarrow\left\lbrace\begin{array}l a_{n+1}=0,7a_n+0,2b_{n}\\b_{n} =1- a_{n} \end{array}

\Longrightarrow a_{n+1}=0,7a_n+0,2(1- a_{n})\\\\\Longrightarrow a_{n+1}=0,7a_n+0,2- 0,2a_{n}\\\\\Longrightarrow\boxed{a_{n+1}=0,5a_n+0,2}

4.   Résoudre dans N l'inéquation 0,4 - 0,4 multiplie 0,5n > 0,399.

0,4 - 0,4 \times0,5^n > 0,399\Longleftrightarrow0,4\times0,5^n<0,4-0,399\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow0,4\times0,5^n<0,001\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow0,5^n<\dfrac{0,001}{0,4}\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow0,5^n<0,0025\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\ln(0,5^n)<\ln(0,0025)\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow n\ln(0,5)<\ln(0,0025)\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow n>\dfrac{\ln(0,0025)}{\ln(0,5)}\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow n>8,643...

Puisque n  est un nombre naturel, les solutions de l'inéquation proposée sont les nombres naturels supérieurs ou égaux à 9.

5. a.   Algorithme

Variables :         N  est un entier naturel
                                P  est un nombre réel
Initialisation : Affecter à N  la valeur 1
                                Affecter à A  la valeur 0,2
Traitement :    Tant que A  infegal  0,399 faire
                                         A  prend la valeur 0,5multiplieA + 0,2
                                        N  prend la valeur N + 1
                               Fin Tant que
Sortie :               Afficher N 

b.   La valeur affichée par l'algorithme en sortie est 9 .

Interprétation :
A partir de la 9ième  semaine, la probabilité que l'élève interrogé choisisse l'accompagnement "Approfondissement" est supérieure à 0,399, ce qui revient à dire que plus de 39,9% des élèves choisiront l'accompagnement "Approfondissement".
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