Corrigé Bac ES-L Obligatoire et spécialité - Asie 2017
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4 points
exercice 1 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS
Soit f la fonction définie et dérivable sur ]0 ; +[ par : f (x) = 1 + ln(x ).
Affirmation 1. La fonction F définie par F (x ) = x ln(x ) est une primitive de f sur ]0 ; +[ si et seulement si F'(x) = f(x) pour tout x appartenant à ]0 ; +[.
D'où la fonction F est une primitive de f sur ]0 ; +[.
De plus, F (1) = 1 ln(1) = 1 0 = 0, soit F (1) = 0
Par conséquent, l'affirmation 1 est vraie.
Affirmation 2.
D'où f' (x ) > 0 car x ]0 ; +[ x > 0.
Nous en déduisons que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; +[.
Par conséquent, l'affirmation 2 est vraie.
Affirmation 3.
La fonction f est continue et strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; +[, a fortiori sur l'intervalle [1 ; 10].
f ( 1) = 1 + ln(1)
= 1 + 0
= 1 f (1) < 2
f (10) = 1 + ln(10) 1 + 2,3 3,3 f (10) > 2
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous en déduisons que l'équation f (x) = 2 possède une solution unique dans l'intervalle [1 ; 10].
Par conséquent, l'affirmation 3 est vraie.
Affirmation 4.
Nous étudierons la convexité de la courbe sur l'intervalle ]0 ; +[ en étudiant le signe de la dérivée seconde f" (x ) sur cet intervalle.
Or
Puisque la dérivée seconde est strictement négative sur l'intervalle ]0 ; +[, nous en déduisons que la fonction f est concave sur l'intervalle ]0 ; +[.
D'où il n'existe pas de point de la courbe pour lequel la tangente en ce point est située entièrement sous la courbe .
Par conséquent, l'affirmation 4 est fausse.
5 points
exercice 2 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS
Partie A
1. D'après le graphique, nous savons que 57% des personnes possèdent une connexion internet fixe au domicile et en mobilité.
D'où
Nous savons également que 28% des personnes possèdent une connexion fixe au domicile seulement.
D'où
En utilisant la formule de Bayes (probabilités totales), nous obtenons :
2. "La probabilité que la personne dispose d'une connexion internet fixe au domicile sachant qu'elle dispose
d'une connexion internet en mobilité" se détermine par
Calculons p (M ).
En utilisant la formule de Bayes (probabilités totales), nous obtenons :
Par conséquent, la probabilité que la personne dispose d'une connexion internet fixe au domicile sachant qu'elle dispose
d'une connexion internet en mobilité est égale à 0,95.
3. D'après le graphique, nous savons que 12% des personnes ne disposent pas de connexion internet.
Donc, a contrario, 88% des personnes disposent d'une connexion internet.
Par conséquent, la probabilité que la personne dispose d'une connexion internet est égale à 0,88.
4.
Or car 12% des personnes n'ont pas de connexion internet
et
Partie B
1. L'expérience consiste en 100 tirages indépendants et identiques.
Lors de chaque tirage deux issues sont possibles :
- le succès (la personne a une connexion internet fixe au domicile) avec une probabilité de 0,85.
- l'échec (la personne n'a pas de connexion internet fixe au domicile) avec une probabilité de 1 - 0,85 = 0,15.
D'où la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,85.
2. Par la calculatrice, nous obtenons :
Interprétation
75 personnes ou moins sur 100 personnes ont une probabilité de posséder une connexion internet fixe au domicile égale à 0,6%.
Cela signifie que plus de 75 personnes sur 100 ont une connexion internet fixe au domicile avec une probabilité de 99,4%, soit l'événement quasi certain.
Partie C
1. Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I100 au seuil de 95 % de la proportion de Français ayant une connexion internet fixe au domicile pour un échantillon aléatoire de 100 personnes.
Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,
Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I100 au seuil de 95% est :
2. La fréquence observée est
Nous remarquons que
Par conséquent, au risque de se tromper de 5%, cet échantillon ne reflète pas l'équipement de la population française. Cet échantillon est en-dessous de la norme de l'équipement standard en connexion internet fixe au domicile.
6 points
exercice 3 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS
Partie A
1. f' (1) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1, soit au point B .
Or la tangente ' à la courbe au point B est parallèle à l'axe des abscisses et admet alors un coefficient directeur égal à 0.
D'où f' (1) = 0.
2. La fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle [-3 ; -0,5].
Donc f' (-2) 0.
La courbe ne possède pas de tangente horizontale en son point d'abscisse -2.
Par conséquent, f' (-2) < 0.
3 f' (0) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0, soit le coefficient directeur de la droite .
La droite admet comme équation y = 0,5x + 3.
Son coefficient directeur est égal à 0,5.
Par conséquent, f' (0) = 0,5.
4. La tangente à la courbe ne semble pas traverser la courbe.
Par conséquent, nous pouvons conjecturer que le point A n'est pas un point d'inflexion de la courbe .
5. La fonction f est continue et positive sur l'intervalle [0 ; 1].
D'où correspond à l'aire de la surface comprise entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 0 et x = 1.
Cette surface est comprise entre un rectangle d'aire égale à 3 u.a. et un rectangle d'aire égale à 4 u.a.
Par conséquent,
Partie B
1. f (0) = 3 car le point A (0 ; 3) appartient à la courbe .
Nous obtenons ainsi :
2.
Par la question 3 de la partie A, nous savons que f' (0) = 0,5.
Nous obtenons alors :
Par la question 1 de la partie A, nous savons que f' (1) = 0.
Nous obtenons alors :
Partie C
1. Nous savons par la partie B que avec a = -1 et b = 2,5.
En remplaçant a et b par leurs valeurs dans l'expression de f' (x ), nous obtenons :
2. Puisque la fonction exponentielle est strictement positive pour tout x réel, le signe de la dérivée f' est celui de (-x ² + 0,5x + 0,5).
Etablissons le tableau de signe du trinôme du second degré -x² + 0,5x + 0,5.
Calcul des racines de ce trinôme :
Nous savons que a = -1 ; b = 0,5 et c = 0,5.
Tableau de signes du trinôme -x ² + 0,5x + 0,5 et donc de f' (x )
Sachant que a = -1<0, la dérivée f' sera négative à l'extérieur des racines et positive entre les racines.
3. a. La fonction f est continue et strictement décroissante sur [1; 2]. f (1) 3,64 et f (2) -2,39.
Nous observons que 0 est compris entre f (1) et f (2).
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation f (x ) = 0 admet une unique solution sur [1 ; 2].
b. Par la calculatrice, nous obtenons f (1,84) 0,05 > 0 et f (1,85) -0,07 < 0.
Par conséquent, une valeur approchée de au centième est 1,84.
5 points
exercice 4 - Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la serie L
1. La situation peut être traduite par l'arbre pondéré suivant :
2. Selon la formule des probabilités totales, nous obtenons :
3.
a. Montrons que la suite (un ) est une suite géométrique.
Par conséquent la suite (un ) est une suite géométrique de raison 0,5 et dont le premier terme est
b. Puisque la suite (un ) est une suite géométrique de raison 0,5 et dont le premier terme est u1 = -0,2, nous avons , soit
Or
Par conséquent,
c. Nous savons que
D'où
De plus
Par conséquent, à long terme, si l'évolution perdure, 40% des élèves choisiront l'accompagnement "Approfondissement".
4. Algorithme
a. Les diverses valeurs de P se déterminent comme suit :
Ces valeurs de P sont reprises dans le tableau suivant :
D'où la valeur affichée sera 0,3875.
b. Algorithme modifié
Variables : N est un entier naturel P est un nombre réel
Initialisation : N prend la valeur 1 P prend la valeur 0,2
Traitement : Tant que P 0,399 faire P prend la valeur 0,5P + 0,2 N prend la valeur N + 1 Fin Tant que
Sortie : Afficher N 5 points
exercice 4 - Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité
1. a. Les données de l'énoncé nous permettent de traduire la situation par le graphe probabiliste suivant :
b. Nous pouvons alors déterminer la matrice M de transition suivante (les sommets étant rangés selon l'ordre alphabétique) :
2. a. Nous savons que
Calculons M ².
Calculons ensuite P3.
Par conséquent, la probabilité que l'élève ait choisi "Approfondissement" lors de la troisième semaine est égale à 0,35.
b. La matrice M de transition ne comporte pas de 0.
L'état probabiliste Pn à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état initial P1.
Cet état P est l'état probabiliste stable du système et vérifie la relation PM = P.
Soit
Alors
D'où l'état probabiliste stable est
Nous pouvons interpréter ce résultat en indiquant qu'à long terme, la probabilité qu'un élève choisisse "Approfondissement" est égale à 0,4.
3. Par définition de la matrice M de transition, nous avons :
Donc pour tout entier naturel n,
4. Résoudre dans l'inéquation 0,4 - 0,4 0,5n > 0,399.
Puisque n est un nombre naturel, les solutions de l'inéquation proposée sont les nombres naturels supérieurs ou égaux à 9.
5. a. Algorithme
Variables : N est un entier naturel P est un nombre réel
Initialisation : Affecter à N la valeur 1
Affecter à A la valeur 0,2
Traitement : Tant que A 0,399 faire A prend la valeur 0,5A + 0,2 N prend la valeur N + 1 Fin Tant que
Sortie : Afficher N
b. La valeur affichée par l'algorithme en sortie est 9 .
Interprétation : A partir de la 9ième semaine, la probabilité que l'élève interrogé choisisse l'accompagnement "Approfondissement" est supérieure à 0,399, ce qui revient à dire que plus de 39,9% des élèves choisiront l'accompagnement "Approfondissement".
Publié par malou/Panter
le
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