Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Mathématiques

Série S Obligatoire et spécialité

Liban 2017

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Corrigé

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6 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats


Partie A


1. Montrons que le vecteur \overrightarrow{DF} est orthogonal à deux vecteurs non colinéraires \overrightarrow{EB} et \overrightarrow{EG} du plan (EBG).

Dans le repère (D ; \overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DH}), nous avons :

\left\lbrace\begin{array}l D(0;0;0)\\F(1;1;1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{DF}(1-0;1-0;1-0)\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{DF}(1;1,;1)}

\left\lbrace\begin{array}l E(1;0;1)\\B(1;1;0)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{EB}(1-1;1-0;0-1)\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{EB}(0;1,;-1)}

\left\lbrace\begin{array}l E(1;0;1)\\G(0;1;1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{EG}(0-1;1-0;1-1)\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{EG}(-1;1,;0)}

Manifestement, les vecteurs \overrightarrow{EB} et \overrightarrow{EG} ne sont pas colinéaires.

De plus,

\begin{array}{r @{ = } l} \overrightarrow{DF}.\overrightarrow{EB}\ \ &\ 1\times0+1\times1+1\times(-1)\\\ \ &\ 0+1-1\\\ \ &\ 0\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{DF}\perp\overrightarrow{EB}}

\begin{array}{r @{ = } l} \overrightarrow{DF}.\overrightarrow{EG}\ \ &\ 1\times(-1)+1\times1+1\times0\\\ \ &\ -1+1+0\\\ \ &\ 0\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{DF}\perp\overrightarrow{EG}}

Par conséquent, le vecteur \overrightarrow{DF} étant orthogonal à deux vecteurs non colinéraires \overrightarrow{EB} et \overrightarrow{EG} du plan (EBG), nous en déduisons que le vecteur \overrightarrow{DF} est normal au plan (EBG).

2. Nous savons que tout plan de vecteur normal \overrightarrow{n} de coordonnées (a ; b ;c) admet une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0.

Puisque le vecteur \overrightarrow{DF}(1;1;1) est normal au plan (EBG), nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (EBG) est de la forme x + y + z + d = 0

Or le point E(1 ; 0 ; 1) appartient au plan (EBG). Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où 1 + 0 + 1 + d = 0, soit d=-2

Par conséquent, une équation cartésienne du plan (EBG) est : x + y + z - 2 = 0.

3. La droite (DF) comprend le point D(0 ; 0 ; 0).
Le vecteur  \overrightarrow{DF}(1;1,;1) est un vecteur directeur de cette droite.

Donc une représentation paramétrique de la droite (DF) est :  \left\lbrace\begin{array}l x=0+1\times t\\y=0+1\times t\\z=0+1\times t \end{array}

soit (DF):\left\lbrace\begin{array}l x=t\\y=t\\z=t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})

Les coordonnées du point I sont les solutions du système composé par les équations de la droite (DF) et du plan (EBG),

soit du système :

 \left\lbrace\begin{array}l x=t\\y=t\\z=t\\x+y+z-2=0 \end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=t\\y=t\\z=t\\t+t+t-2=0 \end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=t\\y=t\\z=t\\3t-2=0 \end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=t\\y=t\\z=t\\t=\dfrac{2}{3} \end{array}

\left\lbrace\begin{array}l x=\dfrac{2}{3}\\\\y=\dfrac{2}{3}\\\\z=\dfrac{2}{3}\\\\t=\dfrac{2}{3} \end{array}

D'où les coordonnées du point I sont \boxed{I(\dfrac{2}{3} ; \dfrac{2}{3} ; \dfrac{2}{3})}.

Partie B


1. Si le point M est confondu avec le point D, alors \widehat{EMB}=\widehat{EDB}=\dfrac{\pi}{3} car le triangle EDB est équilatéral vu que les côtés de ce triangle sont les diagonales de carrés isométriques.

Donc si le point M est confondu avec le point D, alors \boxed{\theta=\dfrac{\pi}{3}}.

Si le point M est confondu avec le point 1F, alors \widehat{EMB}=\widehat{EFB}=\dfrac{\pi}{2} car le triangle EFB est rectangle en F.
Donc si le point M est confondu avec le point F, alors \boxed{\theta=\dfrac{\pi}{2}}.

2. a) Nous avons montré dans la question 1 que \left\lbrace\begin{array}l D(0;0;0)\\F(1;1;1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{DF}(1-0;1-0;1-0)\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{DF}(1;1,;1)}.

De même, nous obtenons que

\left\lbrace\begin{array}l D(0;0;0)\\M(x_M;y_M;z_M)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{DM}(x_M -0;y_M -0;z_M -0)\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{DM}(x_M ;y_M ;z_M)}

D'où,

\overrightarrow{DM}=x\overrightarrow{DF}\Longleftrightarrow(x_M ;y_M ;z_M)=x(1;1;1) \Longleftrightarrow(x_M ;y_M ;z_M)=(x;x;x)

Par conséquent, les coordonnées du point M sont (x ; x ; x)

b) Nous allons calculer le produit scalaire \overrightarrow{ME}.\overrightarrow{MB} de deux manières différentes.

Calculs préliminaires :

\left\lbrace\begin{array}l M(x ;x ;x)\\E(1;0;1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{ME}(1-x;0-x;1-x)\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{ME}(1-x;-x,1-x)}

\left\lbrace\begin{array}l M(x ;x ;x)\\B(1;1;0)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{MB}(1-x;1-x;0-x)\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{MB}(1-x;1-x, -x)}

ME=\sqrt{(1-x)^2+(-x)^2+(1-x)^2}=\sqrt{1-2x+x^2+x^2+1-2x+x^2}\Longrightarrow\boxed{ME=\sqrt{3x^2-4x+2}}

MB=\sqrt{(1-x)^2+(1-x)^2+(-x)^2}=\sqrt{1-2x+x^2+1-2x+x^2+x^2}\Longrightarrow\boxed{MB=\sqrt{3x^2-4x+2}}

Calculons le produit scalaire \overrightarrow{ME}.\overrightarrow{MB}.

Première manière :

\begin{array}{r @{ = } l} \overrightarrow{ME}.\overrightarrow{MB}\ \ &\ (1-x)(1-x) + (-x)(1-x)+ (1-x)(-x) \\ &\ (1-x)^2 -x+x^2-x+x^2\\ &\ 1-2x+x^2 -x+x^2-x+x^2\\&\ 3x^2-4x+1\end{array}

Deuxième manière :

\begin{array}{r @{ = } l} \overrightarrow{ME}.\overrightarrow{MB}\ \ &\ ME\times MB\times\cos(\widehat{EMB})\\&\sqrt{3x^2-4x+2}\times\sqrt{3x^2-4x+2}\times\cos(\theta)\\&(3x^2-4x+2)\times\cos(\theta)\end{array}

Par identification des résultats, nous en déduisons que :

 (3x^2-4x+2)\times\cos(\theta)=3x^2-4x+1

Or pour tout x réel, 3x² - 4x + 2 different 0 car le discriminant du trinôme 3x² - 4x + 2 est négatif (deltamaj = 16 - 24 = -8 < 0).

D'où  (3x^2-4x+2)\times\cos(\theta)=3x^2-4x+1\Longleftrightarrow\boxed{\cos(\theta)=\dfrac{3x^2-4x+1}{3x^2-4x+2}}.

3. a) Le triangle MEB sera rectangle en M si et seulement si \theta=\dfrac{\pi}{2}, soit si et seulement si \cos(\theta)=0.

Or nous avons montré que \cos(\theta)=\dfrac{3x^2-4x+1}{3x^2-4x+2}=f(x).
D'où le triangle MEB sera rectangle en M si et seulement si f(x) = 0, soit si 3x^2-4x+1=0.

Par le tableau, les deux solutions de cette équation sont x_1=\dfrac{1}{3} et x_2=1.

Par conséquent, le triangle MEB sera rectangle en M si M est confondu avec le point J(\dfrac{1}{3} ; \dfrac{1}{3} ; \dfrac{1}{3}) ou avec le point F(1 ;1 ;1).

b) Puisque la fonction cos est décroissante sur l'intervalle [0 ; pi], l'angle theta sera maximal si cos(theta) est minimal, soit si la fonction f est minimale.
Par le tableau de variation de la fonction f, nous savons que f est minimale pour x=\dfrac{2}{3}.

Par conséquent, l'angle theta sera maximal si M est confondu avec le point I(\dfrac{2}{3} ; \dfrac{2}{3} ; \dfrac{2}{3}).

6 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats


Partie A - Durée d'attente pour entrer dans un parking souterrain


1. Si nous considérons les valeurs centrales des classes, nous obtenons le tableau des observations d'une journée suivant :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{Durée d'attente en minutes}&1&3&5&7\\\hline \text{Nombre de voitures}&75&19&10&5\\\hline \end{array}

La durée moyenne d'attente en minutes d'une voiture est donnée par

m=\dfrac{1\times75+3\times19+5\times10+7\times5}{75+19+10+5}=\dfrac{217}{109}\approx1,9908

D'où la durée moyenne d'attente d'une voiture à l'entrée du parking est environ de 2 minutes.

2. a) Si la variable aléatoire T exprime cette durée d'attente suivant une loi exponentielle, alors l'espérance de T est donnée par E(T)=\dfrac{1}{\lambda}
Par la question précédente, nous déduisons que :

E(T)=2\\\\\dfrac{1}{\lambda}=2\\\\\lambda=\dfrac{1}{2}=0,5

Par conséquent, le choix de lambda = 0,5 min-1 est justifié.

b) Nous savons que P(a\le T\le b)=e^{-\lambda a}- e^{-\lambda b}

« La voiture met moins de deux minutes pour franchir la barrière » se traduit par : « 0\le T<2 ».

\begin{array}{r @{ = } l}\text{D'où}\ \ P(0\le T<2)\ &\ e^{-0,5\times0}- e^{-0,5\times2} \\\ &\ e^{0}- e^{-1}\\\ &\ 1- e^{-1}\approx0,6321\end{array}

Par conséquent, la probabilité que la voiture mette moins de deux minutes pour franchir la barrière est environ égale à 0,6321.

c) Nous devons déterminer P_{T\ge1}(T\le2).

 \begin{array}{r @{ = } l} P_{T\ge1}(T\le2)\ &\ \dfrac{P((T\ge1)\cap(T\le2))}{P(T\ge1))}\\ \ &\ \dfrac{P(1\le T\le2))}{P(T\ge1))}\\ \ &\ \dfrac{ e^{-0,5\times1}- e^{-0,5\times2}}{ e^{-0,5\times1}}\\\ &\ \dfrac{ e^{-0,5 }- e^{-1}}{ e^{-0,5 }}\approx0,3935\end{array}

Par conséquent, sachant qu'une voiture attend à l'entrée du parking depuis une minute, la probabilité qu'elle franchisse la barrière dans la minute suivante est environ égale à 0,3935.

Partie B - Durée et tarifs de stationnement dans ce parking souterrain


1. a) L'énoncé définit la variable aléatoire D représentant la durée de stationnement d'une voiture. Cette variable aléatoire D suit une loi normale d'espérance \mu=70\ \text{minutes}.
La durée moyenne de stationnement d'une voiture est donc de 70 minutes.

b) P(D>120)= 0,5-P(70<D<120)

P(D>120)\approx0,5-0,4522\\\\ P(D>120)\approx0,0478

Donc la probabilité que la durée de stationnement dépasse deux heures est environ égale à 0,0478.

c) Nous devons déterminer la valeur de a tel que P(D\le a)=0,99.
Par la calculatrice, nous obtenons a\approx139,79\approx140.

Par conséquent, à la minute près, le temps maximum de stationnement pour au moins 99 % des voitures
est de 2 heures 20 minutes.


2. Tableau des tarifs et des montants facturés :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Durée de stationnement}&\text{Inf. à 15 min}&\text{Entre 15 min et 1 h}&\text{1ère h. suppl.}&\text{2ème h. suppl.}&\text{3ème h. suppl.}\\\hline \text{Tarif en euros}&\text{Gratuit}&3,5&t&t&t\\\hline &P(D)\le15&15\le P(D)\le60&60\le P(D)\le120&120\le P(D)\le180&180\le P(D)\le240\\&\approx0,0334&\approx0,3361&\approx0,5828&\approx0,0477&\approx0,0001\approx0\\\hline \text{Montant facturé en euros}&0&3,5&3,5+t&3,5+2t&\\\hline \end{array}

Nous ne tiendrons pas compte des stationnements au-delà de 2 heures supplémentaires vu que leurs probabilités sont quasi nulles.

Nous savons que le prix moyen de stationnement doit être de 5 euros.

D'où E(D) = 5

0,0334\times0+0,3361\times3,5+0,5828\times(3,5+t)+0,0477\times(3,5+2t)=5\\\\0+1,17635+2,0398+0,5828t+0,16695+0,0954t=5\\\\3,3831+0,6782t=5\\\\0,6782t=1,6169\\\\\boxed{t=\dfrac{1,6169}{0,6782}\approx2,3841}

Pour que le prix moyen de stationnement d'une voiture soit de 5 euros, le gestionnaire du parking doit fixer le tarif de l'heure supplémentaire à 2,38 euros.

Partie C - Temps d'attente pour se garer dans un parking de centre-ville


La durée moyenne de temps de stationnement dans ce parking de centre-ville est de 30 minutes.
Donc la variable aléatoire T' suit une loi normale d'espérance mu' = 30.

Déterminons l'écart-type sigma' de cette loi normale.

Nous savons que P(T'\le37)=0,75

Donc P(T'-30\le7)=0,75

P(\dfrac{T'-30}{\sigma'})\le\dfrac{7}{\sigma'})=0,75

Si Z=\dfrac{T'-30}{\sigma'}, alors la variable aléatoire Z suit une loi normale centrée réduite.

Par la calculatrice nous obtenons :

\begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} P(Z\le\dfrac{7}{{\sigma}'})=0,75\ &\ \dfrac{7}{{\sigma}'}\approx0,6745\\\ &\ {\sigma}'\approx\dfrac{7}{0,6745}\\\ &\ {\sigma}'\approx10,3781 \end{array}

Donc la variable aléatoire T' suit une loi normale d'espérance mu' = 30 et d'écart-type sigma'=10,3781.

« Le temps de stationnement dans ce parking est compris entre 10 et 50 minutes » se traduit par « 10\le T'\le50 »
Par la calculatrice, nous obtenons que P(10\le T'\le50)\approx0,9460

L'objectif de 95% visé par le gestionnaire n'est donc pas atteint puisque 0,9460 < 0,95.

3 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats


La fonction f_k est dérivable sur R.
Nous savons que pour tout k > 0, la fonction f_k admet un minimum.

Ce minimum sera atteint pour x tel que  f_k'(x)=0.

 f_k'(x)=(x+ke^{-x})'=1-ke^{-x}\\\\\begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} f_k'(x)=0\ &\ 1-ke^{-x}=0\\&\ ke^{-x}=1\\&\ e^{-x}=\dfrac{1}{k}\\&\ -x=\ln(\dfrac{1}{k})\\&\ -x=-\ln(k)\\&\ \boxed{x=\ln(k)}\end{array}
D'où la fonction f_k admet un minimum pour  x=\ln(k).

De plus,

 f(\ln(k))=\ln(k)+ke^{-\ln(k)}\\\\f(\ln(k))=\ln(k)+k\times(e^{\ln(k)})^{-1}\\\\f(\ln(k))=\ln(k)+k\times k^{-1}\\\\\boxed{f(\ln(k))=\ln(k)+1}.
Nous en déduisons que les coordonnées des points A_k sont (\ln(k) ;\ln(k)+1).

Par conséquent, les points A_k appartiennent à la droite d'équation y = x + 1 et sont donc alignés.

5 points

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité


Partie A : Modélisation de l'âge d'un épicéa


1. Montrons que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; 1[.

 f(x)=30\ln\left(\dfrac{20x}{1-x}\right)\\\\f'(x)=30\times\dfrac{\left(\dfrac{20x}{1-x}\right)'}{\dfrac{20x}{1-x}}\\\\f'(x)=30\times\dfrac{1-x}{20x}\times\left(\dfrac{20x}{1-x}\right)'\\\\f'(x)=\dfrac{3(1-x)}{2x}\times\left[\dfrac{(20x)'\times(1-x)-20x\times(1-x)'}{(1-x)^2}\right]\\\\f'(x)=\dfrac{3(1-x)}{2x}\times\left[\dfrac{20(1-x)+20x}{(1-x)^2}\right]\\\\f'(x)=\dfrac{3(1-x)}{2x}\times\left[\dfrac{20}{(1-x)^2}\right]\\\\f'(x)=\dfrac{60(1-x)}{2x(1-x)^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{30}{x(1-x)}}

 x\in\ ]0;1[\Longrightarrow (x>0\ \text{et}\ 1-x>0).
D'où pour tout x appartenant à l'intervalle ]0 ; 1[, f'(x)>0.
Par conséquent, la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; 1[.

2. Nous devons déterminer les valeurs de x telles que 20 infegal f(x) infegal 120.

Or

 \begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} 20\le f(x)\le120\ &\ 20\le30\ln(\dfrac{20x}{1-x}  )\le120\\&\ \dfrac{2}{3}\le\ln(\dfrac{20x}{1-x})\le4\\&\ e^{\frac{2}{3}}\le\dfrac{20x}{1-x} \le e^4\ \ (\text{avec}\ 1-x>0)\\&\ e^{\frac{2}{3}}(1-x)\le20x \le e^4(1-x)\end{array}

Dès lors,

\begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} e^{\frac{2}{3}}(1-x)\le20x\ &\ e^{\frac{2}{3}}-e^{\frac{2}{3}}x\le20x\\&\ e^{\frac{2}{3}}\le20x+e^{\frac{2}{3}}x\\&\ e^{\frac{2}{3}}\le(20+e^{\frac{2}{3}})x\\&\ \dfrac{e^{\frac{2}{3}}}{20+e^{\frac{2}{3}}}\le x\end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r @{ | } l} &\\\\\\\\\  \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} 20x \le e^4(1-x)\ &\ 20x \le e^4-e^4x\\&\ 20x+e^4x \le e^4\\&\ (20+e^4)x \le e^4\\&\ x \le\dfrac{e^4}{20+e^4}\end{array}

Sachant que  \dfrac{e^{\frac{2}{3}}}{20+e^{\frac{2}{3}}}\approx0,089\ \ \text{et}\ \ \dfrac{e^4}{20+e^4}\approx0,732, et en arrondissant les résultats à 10-2près, nous obtenons 0,09\le x\le0,73.

Par conséquent, pour que l'âge calculé reste conforme aux conditions de validité, il faut que le diamètre du tronc soit compris entre 9 cm et 73 cm (arrondi au cm près).

Partie B


1. a) Le nombre 0,245 signifie que durant la période s'écoulant entre 70 ans et 80 ans, la hauteur de l'arbre a augmenté en moyenne de 0,245 mètre chaque année.

b) La formule à entrer dans la cellule C3 est \boxed{=(C2-B2)/(C1-B1)}. Cette formule doit être copiée vers la droite de la cellule C3 afin de compléter la ligne 3.

2. L'âge de l'épicéa est donné par f(0,27).

f(0,27)=30\times\ln(\dfrac{20\times0,27}{1-0,27})\approx60,0333.
Donc l'épicéa a environ 60 ans.

En utilisant le tableau, nous observons que la vitesse de croissance pour un épicéa âgé de 50 ans à 70 ans est de 0,22 mètre par an.

D'où à 60 ans, la taille de l'épicéa sera égale à 11,20+10\times0,22=\boxed{13,4\ \text{mètres}}.

3. a) Le tableau complété grâce au tableur est le suivant :

Bac S Obligatoire et spécialité Liban 2017 : image 13


Nous remarquons que la vitesse de croissance maximale est 0,250 mètre par année.
Les intervalles d'âges correspondants sont [80 ; 85], [85 ; 90] et [90 ; 95].

Par conséquent, la qualité du bois est meilleure pour des épicéas dans la tranche d'âges en années appartenant à l'intervalle [80 ; 95].

b) Si le diamètre du tronc est de 70 cm, l'âge de l'épicéa est donné par f(0,70).

f(0,70)=30\times\ln(\dfrac{20\times0,70}{1-0,70})\approx115,29.

Cet épicéa aurait alors environ 115 ans.

Nous savons par la partie A que la qualité du bois est meilleure pour des épicéas dans la tranche d'âges en années appartenant à l'intervalle [80 ; 95].
Or 115 nonappartient [80 ; 95] et 115 > 95.

D'où la période durant laquelle la qualité du bois est la meilleure est dépassée.

Si le diamètre du tronc est de 70 cm, la qualité du bois ne sera donc pas optimale.
Il est cohérent de demander aux bûcherons de couper les arbres lorsque leur diamètre mesure environ 70 cm.

5 points

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité



1. a) Tableau permettant d'obtenir la valeur finale de la variable I

 \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline k&0&1&2&3&4&5&6&7 \\\hline a_{2k+1}&5&3&4&0&9&6&3&1\\\hline 2a_{2k+1}&10&6&8&0&18&12&6&2\\\hline R&1&6&8&0&0&3&6&2\\\hline I&1&7&15&15&15&18&24&26\\\hline \end{array}

La valeur finale de I est 26.

b) Montrons que le numéro de carte 5635 4002 9561 3411 est correct.

Calculons la valeur finale de P pour ce numéro.

 \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline k&1&2&3&4&5&6&7 \\\hline a_{2k}&6&5&0&2&5&1&4\\\hline P&6&11&11&13&18&19&23\\\hline \end{array}

La valeur finale de P est 23.

Nous savons c=1.
Donc S=I+P+c=26+23+1=50.

Comme 50 est un multiple de 10, le numéro de carte est correct.

c) Soit le numéro 6a35 4002 9561 3411.

Déterminons la valeur finale de la variable I

 \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline k&0&1&2&3&4&5&6&7 \\\hline a_{2k+1}&6&3&4&0&9&6&3&1\\\hline 2a_{2k+1}&12&6&8&0&18&12&6&2\\\hline R&3&6&8&0&0&3&6&2\\\hline I&3&9&17&17&17&20&26&28\\\hline \end{array}

La valeur finale de I est 28.

Calculons la valeur finale de P pour ce numéro.

 \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline k&1&2&3&4&5&6&7 \\\hline a_{2k}&a&5&0&2&5&1&4\\\hline P&a&a+5&a+5&a+7&a+12&a+13&a+17\\\hline \end{array}

La valeur finale de P est a +17.

Nous savons c =1.

Donc S=I+P+c=28+(a+17)+1=46+a.

Pour que le numéro soit correct, il faut que 46+a soit un multiple de 10, soit  46+a\equiv0[10] , soit  a\equiv4[10].

Puisque a est un nombre entier tel que 0 infegal a infegal 9, la seule valeur possible est \boxed{a=4}.

2. Soit u le chiffre des unités de la somme I +P.
Alors 0 infegal u infegal 9
Si u = 0, alors la seule valeur de c pour que S soit multiple de 10 est c = 0.
Si 0 < u infegal 9, alors la seule valeur de c pour que S soit multiple de 10 est c = 10 - u.
Par conséquent, il existe une clé c rendant le numéro de carte correct et cette clé est unique.

3. Soit un numéro de carte de la forme « aaaa aaaa aaaa aaaa ».
Déterminons les valeurs de S selon les différentes valeurs de a.

 \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9 \\\hline a_{2k+1}&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\hline 2a_{2k+1}&0&2&4&6&8&10&12&14&16&18\\\hline R&0&2&4&6&8&1&3&5&7&0\\\hline I=8\times R&0&16&32&48&64&8&24&40&56&0\\\hline a_{2k}&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\hline P=7\times a&0&7&14&21&28&35&42&49&56&63\\\hline S=I+P+c&{\color{DarkOrange} 0}&24&48&72&96&48&72&96&{\color{DarkOrange} 120}&72\\\hline \end{array}

Les deux valeurs de S multiples de 10 sont S = 0 et S = 120.
Les valeurs correspondantes pour a sont a = 0 et a = 8.
Par conséquent, les deux seuls numéros de cartes corrects sont 0000\ 0000\ 0000\ 0000 et 8888\ 8888\ 8888\ 8888.

4. Montrons que l'on ne peut pas déterminer l'autre chiffre changé en reprenant le numéro de carte 5635 4002 9561 3411 utilisé dans la question 1.
Nous avons montré que ce numéro est correct.

D'une part, sur base de ce nombre 5635 4002 9561 3411, nous allons permuter les chiffres consécutifs 6 et 1
Nous obtenons le nombre 5635 4002 9516 3411.
Calculons la valeur de S correspondant à ce nombre.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline k&0&1&2&3&4&5&6&7 \\\hline a_{2k+1}&5&3&4&0&9&1&3&1\\\hline 2a_{2k+1}&10&6&8&0&18&2&6&2\\\hline R&1&6&8&0&0&2&6&2\\\hline I&1&7&15&15&15&17&23&25\\\hline a_{2k}&***&6&5&0&2&5&6&4\\\hline P&***&6&11&11&13&18&24&28\\\hline \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r @{ \  } l} &\\\\\\\\\Longrightarrow\text{La valeur finale de I est 25}\\\\\Longrightarrow\text{La valeur finale de P est 28}  \end{array}

D'où S = I + P + c = 25 + 28 + 1 = 54.
Puisque 54 n'est pas un multiple de 10, le nombre 5635 4002 9516 3411 n'est pas correct.

D'autre part, sur base du nombre correct 5635 4002 9561 3411, nous allons permuter les chiffres consécutifs 1 et 3.
Nous obtenons le nombre 5635 4002 9563 1411.
Calculons la valeur de S correspondant à ce nombre.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline k&0&1&2&3&4&5&6&7 \\\hline a_{2k+1}&5&3&4&0&9&6&1&1\\\hline 2a_{2k+1}&10&6&8&0&18&12&2&2\\\hline R&1&6&8&0&0&3&2&2\\\hline I&1&7&15&15&15&18&20&22\\\hline a_{2k}&***&6&5&0&2&5&3&4\\\hline P&***&6&11&11&13&18&21&25\\\hline \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r @{ \  } l} &\\\\\\\\\Longrightarrow\text{La valeur finale de I est 22}\\\\\Longrightarrow\text{La valeur finale de P est 25}  \end{array}

D'où S = I + P + c = 22 + 25 + 1 = 48.
Puisque 48 n'est pas un multiple de 10, le nombre 5635 4002 9563 1411 n'est pas correct.

Nous avons ainsi deux cas dans lesquels les numéros ne sont pas corrects après permutations d'une part du 6 avec le 1, d'autre part du 3 avec le 1.

Par conséquent, le fait de trouver un numéro de carte incorrect après ces manipulations ne permet pas de déterminer la valeur du chiffre autre que 1.
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