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Baccalauréat Mathématiques

ES-L Obligatoire et spécialité

Antilles Guyane 2017

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Corrigé : Bac ES-L Obligatoire et spécialité Antilles Guyane 2017

5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. Nous savons que $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Or $\left\lbrace\begin{array}l P(A\cap B)=0,42\\P(B)=0,5 \end{array}\ \ \ \ \Longrightarrow\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0,42}{0,5}=0,84$

D'où $P_B(A)=0,84$

Par conséquent, la réponse correcte est la réponse $\boxed{\text{\red{c.}}}$

2. Si une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l'intervalle [a ; b], alors pour tout intervalle [c ; d] inclus dans [a ; b], nous avons l'égalité suivante : $P(c\le X\le d)=\dfrac{d-c}{b-a}$

Or X suit une loi uniforme sur l'intervalle [0 ; 5] et l'intervalle [2 ; 5] est inclus dans [0 ; 5].

D'où $P(X>2)=P(2<X\le5)=\dfrac{5-2}{5-0}=\dfrac{3}{5}$

$\Longrightarrow\boxed{P(X>2)=\dfrac{3}{5}}$

Par conséquent, la réponse correcte est la réponse $\boxed{\text{\red{b.}}}$

3. Nous savons que si Y suit la loi normale d'espérance

et d'écart type sigma

, alors :

$P(\mu - 2\sigma\le Y \le\mu + 2\sigma)\approx 0, 95.$

Or $\left\lbrace\begin{array}l \mu - 2\sigma=100-2\times2=96\\\mu + 2\sigma=100+2\times2=104 \end{array}$

D'où $P(\mu - 2\sigma\le Y \le\mu + 2\sigma)\approx 0, 95\Longleftrightarrow\boxed{P(96\le Y \le104)\approx 0, 95}$

Par conséquent, la réponse correcte est la réponse $\boxed{\text{\red{c.}}}$

4. Si f est la fréquence observée dans un échantillon de taille n, alors l'intervalle de confiance I au niveau de confiance de 95 % est de la forme $I=[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}].$

L'amplitude de cet intervalle est $|\dfrac{1}{\sqrt{n}}-(-\dfrac{1}{\sqrt{n}})|=|\dfrac{1}{\sqrt{n}}+\dfrac{1}{\sqrt{n}}|=|\dfrac{2}{\sqrt{n}}|=\dfrac{2}{\sqrt{n}}.$

Or nous savons que l'amplitude de l'intervalle de confiance est égale à 0,1.

D'où $\dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,1$

$\dfrac{2}{0,1}=\sqrt{n}\\\\\sqrt{n}=20\\\\ (\sqrt{n})^2=20^2\\\\\boxed{n=400}$

Par conséquent, la réponse correcte est la réponse $\boxed{\text{\red{d.}}}$

5. La fonction f est la fonction densité de probabilité associée à la loi normale centrée réduite $\mathscr{N}(0 ; 1)$ .

D'où $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\dfrac{x^2}{2}}\Longrightarrow f(0)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\ e^{0}=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\times1=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\approx0,4$

$\Longrightarrow\boxed{f(0)\approx0,4}$

La figure c est donc à rejeter.

La fonction g est la fonction densité de probabilité associée à la loi normale de moyenne

= 3
et d'écart-type sigma

= 2.

D'où $g(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}=\dfrac{1}{2\sqrt{2\pi}}\,e^{-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x-3}{2}\right)^2}$

$\Longrightarrow g(3)=\dfrac{1}{2\sqrt{2\pi}}\ e^{-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3-3}{2}\right)^2}=\dfrac{1}{2\sqrt{2\pi}}\,e^0=\dfrac{1}{2\sqrt{2\pi}}\times1=\dfrac{1}{2\sqrt{2\pi}}\approx0,2\\\\\Longrightarrow\boxed{g(3)\approx0,2}$

Les figures a et b sont donc à rejeter.

Par conséquent, la représentation graphique correcte des deux fonctions est la figure $\boxed{\text{\red{d.}}}$

5 points

exercice 2 - Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseigment de spécialité
et candidats L

1. Retirer 4 % d'un volume d'eau revient à multiplier ce volume par $1-\dfrac{4}{100}=1-0,04=0,96.$

D'où

$\begin{array}{r @{ = } l} u_1\ &\ 0,96\times u_0+2\\&\ 0,96\times 75+2 \\&\ 74\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{u_1=74}\\\\\begin{array}{r @{ = } l} u_2\ &\ 0,96\times u_1+2\\&\ 0,96\times 74+2 \\&\ 74\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{u_2=73,04}$

2. $\left\lbrace\begin{array}l u_1-u_0=74-75=-1\\u_2-u_1=73,04-74=-0,96 \end{array}\ \ \ \Longrightarrow\boxed{u_1-u_0\neq u_2-u_1}$

Par conséquent, la suite (u_n ) n'est pas une suite arithmétique. $\left\lbrace\begin{array}l \dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{74}{75}\approx0,98666667\\\\\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{73,04}{74}\approx0,987027 \end{array}\ \ \ \Longrightarrow\boxed{\dfrac{u_1}{u_0}\neq\dfrac{u_2}{u_1}}$

Par conséquent, la suite (u_n ) n'est pas une suite géométrique.

3. Le volume d'eau dans la piscine, exprimé en mètre cube, (n + 1) jours après la mise en fonctionnement du système automatique de remplissage est égal au volume d'eau après n jours diminué de 4 % suite à l'évaporation auquel nous ajoutons 2 mètres cubes.

Puisqu'une diminution de 4% d'un volume revient à multiplier ce volume par 0,96, nous avons : $\boxed{u_{n+1}=0,96\times u_n+2}$

4. $v_n=u_n-50\ \ (n\in\mathbb{N})$

a. Montrons que la suite (v_n ) est une suite géométrique.

$\begin{array}{r @{ = } l} v_{n+1}\ &\ u_{n+1}-50\\&\ (0,96\times u_{n}+2)-50\\&\ 0,96\times u_{n}-48\\&\ 0,96\times u_{n}-0,96\times50\\&\ 0,96\times (u_{n}-50)\\&\ 0,96\times v_{n}\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}=0,96\times v_{n}}$

D'où la suite (v_n ) est une suite géométrique de raison 0,96 et dont le premier terme est $v_0=u_0-50=75-50=25$

b. Pour tout entier naturel n, $v_n=v_0\times0,96^n\Longrightarrow\boxed{v_n=25\times0,96^n}$

$\begin{array}l \text{\red{c.}}\\\dfrac{}{} \end{array}\left\lbrace\begin{array}l v_n=u_n-50\\v_n=25\times0,96^n \end{array}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{array}l u_n=v_n+50\\v_n=25\times0,96^n \end{array}\Longrightarrow\boxed{u_n=25\times0,96^n+50}$

d. Nous avons montré dans la question 4. c. que $u_n=25\times0,96^n+50.$

$\lim\limits_{n\to+\infty} 0,96^{n}=0\ \ \ (\text{car }0 < 0,96 < 1)\\\\\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty} (25\times0,96^{n})=25\times\lim\limits_{n\to+\infty} 0,96^{n}=25\times0=0\\\\\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty} (25\times0,96^{n}+50)=\lim\limits_{n\to+\infty} (25\times0,96^{n})+50=0+50=50\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=50}$

Dans le contexte de l'exercice, cela signifie que plus les jours passent, plus le volume d'eau dans la piscine se rapproche de 50 mètres cubes.

5. a. Algorithme complété

Variables : n est un nombre entier naturel
                        u est un nombre réel
Traitement : n prend la valeur 0
                            u prend la valeur 75
                            Tant que u 65
                                u prend la valeur 0,96 u +2
                                n prend la valeur n +1
                            Fin Tant que
Sortie : Afficher n

b. En exécutant l'algorithme, nous obtenons les valeurs reprises dans le tableau suivant :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Valeur de n}&0&1&2&3&4&...&11&12&\red{13} \\\hline \text{Valeur de u}&75&74&73,04&72,12&71,23&...&65,96&65,32&\red{64,71}\\\hline \end{array}$

Puisque la valeur de u est inférieure à 65 pour n = 13, le resultat affiché en sortie de l'algorithme est n = 13.

c. Si on conserve ce réglage, le niveau de l'eau sera suffisant pendant 13 jours.

5 points

exercice 2 - Candidats de ES ayant suivi l'enseigment de spécialité

Partie A

1. Le graphe est connexe puisqu'il existe une chaîne contenant tous les sommets. Par exemple, la chaîne A - B - C - E - G - F - D.

Un graphe connexe admet une chaîne eulérienne si et seulement si le nombre de sommets de degré impair est 0 ou 2.

Déterminons les degrés des sommets du graphe proposé.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Sommets}&A&B&\red{C}&D&E&\red{F}&G \\\hline \text{Degrés}&2&4&\red{3}&2&4&\red{3}&2\\\hline \end{array}$

Puisque les sommets C et F sont les deux seuls sommets de degré impair, le graphe admet une chaîne eulérienne dont les extrémités sont C et F.

Par conséquent, en partant du carrefour C, il est possible de nettoyer toutes les allées en passant une et une seule fois par chacune d'elles.

2. Un graphe connexe admet un cycle eulérien si et seulement si tous les sommets ont un degré pair.

Puisque tous les sommets du graphe proposé ne sont pas de degré pair, ce graphe connexe n'admettra pas de cycle eulérien.

Par conséquent, il n'existe aucun parcours permettant de nettoyer toutes les allées en passant une et une seule fois par chacune d'elles et de revenir au point de départ.

3. Valeurs obtenues en utilisant l'algorithme de Dijkstra :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline&A&\ \ B\ \ &\ \ C\ \ &\ \ D\ \ &E&F&G\\\hline A&\ \ 0\ \ &&&&&&\\\hline B_{75}&&75_A&110_A&&&&\\\hline C_{105}&&&105_B&125_B&117_B&&\\\hline E_{117}&& &&125_B&117_B&&\\\hline D_{125}&&&&125_B&&157_E&210_E\\\hline F_{157}&&&&&&157_E&210_E\\\hline G_{210}&&&&&&&210_E\\ \hline \end{array}$

D'où la distance la plus courte pour aller du carrefour A au carrefour G est de 210 mètres.
Le trajet parcouru est A - B - E - G.

Partie B

1. Les données de l'énoncé nous permettent de traduire la situation par le graphe probabiliste suivant :

Bac ES-L Obligatoire et spécialité Antilles Guyane 2017 : image 12

2. Nous pouvons alors déterminer la matrice M de transition suivante (les sommets étant rangés selon l'ordre alphabétique) :

$\boxed{M=\begin{pmatrix}0,95&0,05 \\ 0,2 & 0,8\end{pmatrix}}$

3. Sachant que le premier jour, le quart des vacanciers a déjeuné au centre de vacances,
nous avons l'état probabiliste initial donné par la matrice $E_1=\begin{pmatrix}0,25 & 0,75\end{pmatrix}.$

Le deuxième jour, l'état probabiliste est donné par :

$E_2=E_1\times M\\\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}=\begin{pmatrix}0,25 & 0,75\end{pmatrix} \times\begin{pmatrix}0,95&0,05 \\ 0,2 & 0,8\end{pmatrix}\\\\\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}=\begin{pmatrix}0,25\times0,95+0,75\times0,2 &&& 0,25\times0,05+0,75\times0,8\end{pmatrix}\\\\\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}= \begin{pmatrix}0,2375+0,15 && 0,0125+0,6\end{pmatrix} \\\\\Longrightarrow\boxed{E_2= \begin{pmatrix}0,3875&& 0,6125\end{pmatrix}}$

Donc le deuxième jour, 38,75 % des vacanciers ont déjeuné au centre de vacances.

Le cinquième jour, l'état probabiliste donné par :

$E_5=E_1\times M^4\\\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}=\begin{pmatrix}0,25 & 0,75\end{pmatrix} \times\begin{pmatrix}0,95&0,05 \\ 0,2 & 0,8\end{pmatrix}^4\\\\\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\approx\begin{pmatrix}0,25 & 0,75\end{pmatrix} \times\begin{pmatrix}0,86328125&0,1367187 \\ 0,546875 & 0,453125\end{pmatrix}\\\\\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}= \begin{pmatrix}0,2158+0,4102 && 0,03420+0,3398\end{pmatrix} \\\\\Longrightarrow\boxed{E_5= \begin{pmatrix}0,6260&& 0,3740\end{pmatrix}}$

Donc le cinquième jour, 62,6 % des vacanciers ont déjeuné au centre de vacances.

4. L'état $\begin{pmatrix}0,5 & 0,5\end{pmatrix}$ est stable si et seulement si $\begin{pmatrix}0,5 & 0,5\end{pmatrix}\times M=\begin{pmatrix}0,5 & 0,5\end{pmatrix}$

Or

$\begin{pmatrix}0,5 & 0,5\end{pmatrix} \times M=\begin{pmatrix}0,5 & 0,5\end{pmatrix} \times\begin{pmatrix}0,95&0,05 \\ 0,2 & 0,8\end{pmatrix}\\\\\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}=\begin{pmatrix}0,475+0,1 & 0,025+0,4\end{pmatrix} \\\\\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}=\begin{pmatrix}0,575 & 0,425\end{pmatrix}\\\\\Longrightarrow\boxed{\begin{pmatrix}0,5 & 0,5\end{pmatrix}\times M\neq\begin{pmatrix}0,5 & 0,5\end{pmatrix}}$

Par conséquent, l'état $\begin{pmatrix}0,5 & 0,5\end{pmatrix}$ n'est pas stable.

5. Dans le cas où 75% des vacanciers prendraient leur déjeuner au centre, l'état probabiliste serait $\begin{pmatrix}0,75 & 1-0,75\end{pmatrix}$ , soit $\begin{pmatrix}0,75 & 0,25\end{pmatrix}.$

Or

$\begin{pmatrix}0,75 & 0,25\end{pmatrix} \times M=\begin{pmatrix}0,75 & 0,25\end{pmatrix} \times\begin{pmatrix}0,95&0,05 \\ 0,2 & 0,8\end{pmatrix}\\\\\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}=\begin{pmatrix}0,7125+0,05 & 0,0375+0,2\end{pmatrix}$

$\\\\\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}=\begin{pmatrix}0,7625 & 0,2375\end{pmatrix}\\\\\Longrightarrow\boxed{\begin{pmatrix}0,75 & 0,25\end{pmatrix}\times M\neq\begin{pmatrix}0,75 & 0,25\end{pmatrix}}$

D'où l'état $\begin{pmatrix}0,75 & 0,25\end{pmatrix}$ n'est pas stable.

Par conséquent, nous ne pouvons pas affirmer qu'à terme, 75 % des vacanciers prendront leur déjeuner au centre.

7 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. La tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point A d'abscisse -2 est parallèle à l'axe des abscisses.
Son coefficient directeur est donc nul.

Or f' (-2) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse -2.

Par conséquent, $\boxed{f'(-2)=0}$

2. Par lecture graphique, la fonction f est décroissante sur l'intervalle [3 ; 5].
Donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 4 est négatif.

Par conséquent, par lecture graphique, nous pouvons conjecturer que $\boxed{f'(4)<0}$

3. Par lecture graphique, nous pouvons conjecturer que l'aire du domaine S grisé est comprise entre 3 et 4 unités d'aires.

Partie B

1. a. $f(x)=(x+4)e^{-0,5x}$

$\begin{array}{r @{ = } l} f'(x)\ &\ (x+4)'\times e^{-0,5x}+(x+4)\times(e^{-0,5x})'\\&\ 1\times e^{-0,5x}+(x+4)\times(-0,5e^{-0,5x})\\&\ e^{-0,5x}-0,5(x+4)e^{-0,5x}\\&\ e^{-0,5x}-0,5xe^{-0,5x}-2e^{-0,5x}\\&\ (1-0,5x-2)e^{-0,5x}\\&\ (-0,5x-1)e^{-0,5x} \end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=(-0,5x-1)e^{-0,5x}}$

b. Puisque toute exponentielle est strictement positive sur l'ensemble des réels, nous déduisons que pour tout x réel, $e^{-0,5x}>0.$

Donc le signe de la dérivée f'(x) sera le signe de (-0,5x -1).

$\begin{array}{r @{ \ \Longleftrightarrow } l} \text{Or }-0,5x-1=0\ &\ 0,5x=-1\Longleftrightarrow x=-2&-0,5x-1>0\ &\ 0,5x<-1\Longleftrightarrow x<-2&-0,5x-1<0\ &\ 0,5x>-1\Longleftrightarrow x>-2 \end{array}$

D'où le tableau de variations de f sur l'intervalle [-4 ; 10] :

$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&-4&&-2&&10\\\hline -0,5x-1&&+&0&-&\\\hline f'(x)&&+&0&-&\\\hline &&&\red{f(-2)=2e}&& \\ \red{f(x)}&&\red{\nearrow}&&\red{\searrow}& \\ & \red{f(-4)=0}&&MAX&&\red{f(10)=14e^{-5}} \\ \hline \end{array}$

Par conséquent, la fonction f est croissante sur l'intervalle [-4 ; -2] et est décroissante sur l'intervalle [-2 ; 10].

c. La fonction f est continue et strictement décroissante sur l'intervalle [-2 ; 10], a fortiori sur l'intervalle [1 ; 6].

f (1) = 5e^-0,5 environegal

3.

f (6) = 10e^-3 environegal

0,5.

Nous observons que 0,5 < 1,5 < 3, soit que 1,5 est compris entre f (1) et f (6).

Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous en déduisons que l'équation f(x) = 1,5 admet une solution unique sur l'intervalle [1; 6].

d. En utilisant le tableur de la calculatrice, nous obtenons $\boxed{\alpha\approx3,11\ \ \ (\text{approché à }10^{-2}\ \text{près})}$

2. $f$

a. La convexité de la fonction f dépend du signe de f".

Puisque toute exponentielle est strictement positive sur l'ensemble des réels, nous déduisons que pour tout x réel, $0,25e^{-0,5x}>0.$

Donc le signe de la dérivée f"(x) sera le signe de x.

Nous obtenons ainsi le tableau suivant pour x appartient

[-4 ; 10]:

$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&-4&&0&&10 \\\hline x&&-&0&+&\\\hline f$

Par conséquent, la fonction f est concave sur l'intervalle [-4 ; 0] et est convexe sur l'intervalle [0 ; 10].

b. Puisque la fonction f ne change de convexité qu'en 0, la courbe $\mathscr{c}$ admet un unique point d'inflexion I de coordonnées (0 ; 4).

3. a. Pour montrer que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle [-4 ; 10], nous devons montrer que F'(x) = f(x) pour tout réel x de cet intervalle [-4 ; 10].

b. Calcul de S.

$\begin{array}{r @{ = } l} S=\int\limits_2^{4}f(x)\,dx\ &\ \left[F(x)\right]\limits_2^{4}\\&\ F(4)-F(2)\\&\ (-20e^{-2})-(-16e^{-1})\\&\ -20e^{-2}+16e^{-1}\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\int\limits_2^{4}f(x)\,dx=16e^{-1}-20e^{-2}\approx3,18\ \text{u. a.}}$

3 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. Une primitive de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 1] est la fonction F définie sur [0 ; 1] par $F(x)=4x-\dfrac{1}{5}e^{-5x}.$

L'aire $\mathscr{A}$ du domaine $\mathscr{D}$ hachuré délimité par la courbe $\mathscr{C}$ , par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x = 1 est :

$\begin{array}{r @{ = } l} \mathscr{A}\ &\ \int\limits_0^1f(x)\,dx\\&\ \left[F(x)\right]\limits_0^1\\ &\ F(1)-F(0)\\ &\ (4\times1-\dfrac{1}{5}e^{-5\times1})-(4\times0-\dfrac{1}{5}e^{-5\times0})\\ &\ (4-\dfrac{1}{5}e^{-5})-(0-\dfrac{1}{5}e^{0})\\ &\ 4-\dfrac{1}{5}e^{-5}+\dfrac{1}{5}\\ &\ 4,2-\dfrac{1}{5}e^{-5}\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\mathscr{A}=(4,2-\dfrac{1}{5}e^{-5})\ \text{u.a.}\approx4,193\ \text{u.a.}}$

Considérons le rectangle situé sous la droite d'équation y = 3, limité par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x = 1.
L'aire de ce rectangle est égale à 1 multiplie

3 = 3 u. a.

D'où, dans le cas où a = 3, nous avons : $\dfrac{1}{2}\mathscr{A}<3\ \text{u.a.}$ car $\dfrac{1}{2}\mathscr{A}\approx\dfrac{1}{2}4,193\approx2$

Par conséquent, a = 3 ne convient pas car le domaine hachuré ne sera pas partagé en deux domaines de même aire par une droite d'équation y = a.

2. L'aire du rectangle situé sous la droite d'équation y = a est égale à 1 multiplie

a = a (u. a.)

Si le domaine hachuré est partagé en deux domaines de même aire par une droite d'équation y = a, alors :

$a=\dfrac{1}{2}\mathscr{A}\\\\a=\dfrac{1}{2}(4,2-\dfrac{1}{5}e^{-5})\\\\a=2,1-\dfrac{1}{10}e^{-5}\\\\\Longrightarrow\boxed{a\approx2,1\ \text{arrondi à 0,1 près}}.$

Publié par malou/Panter le 29-04-2018

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