Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Mathématiques

ES-L Obligatoire et spécialité

Remplacement Métropole 2017

Bac ES-L Obligatoire et Spécialité Remplacement Métropole 2017 : image 4

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Corrigé Bac ES-L Obligatoire et spécialité

Remplacement Métropole 2017

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Affirmation 1.

$f'(-\dfrac{1}{2})$ représente le coefficient directeur de la tangente T à la courbe $\mathscr{C}$ au point A(-0,5 ; 2) passant également par le point F(1 ; 0,5).

Ce coefficient directeur se calcule par $\dfrac{y_F-y_A}{x_F-x_A}=\dfrac{0,5-2}{1-(-0,5)}=\dfrac{-1,5}{1,5}=-1.$

D'où $\boxed{f'(-\dfrac{1}{2})=-1}.$

$f'(\dfrac{3}{2})$ représente le coefficient directeur de la tangente T' à la courbe $\mathscr{C}$ au point B d'abscisse $\dfrac{3}{2}$ .

Puisque ces droites T et T' sont parallèles, elles sont le même coefficient directeur.

D'où $\boxed{f'(-\dfrac{1}{2})=f'(\dfrac{3}{2})}.$

Par conséquent, $\boxed{f'(-\dfrac{1}{2})=f'(\dfrac{3}{2})=-1}.$

L'affirmation 1 est donc vraie.

Affirmation 2.

La courbe proposée semble montrer que $f'(-\dfrac{1}{2})=f'(\dfrac{3}{2}){\red{=1}}.$

Or l'affirmation 1 étant correcte, nous savons que $f'(-\dfrac{1}{2})=f'(\dfrac{3}{2}){\red{=-1}}.$

L'affirmation 2 est donc fausse.

Affirmation 3.

La fonction f est concave sur l'intervalle [-2 ; 3] si la dérivée seconde f"(x) est négative sur l'intervalle [-2 ; 3].

f"(x) < 0 sur l'intervalle [-2 ; 3] equivaut

(f')'(x) < 0 sur l'intervalle [-2 ; 3]

equivaut

f' est décroissante sur l'intervalle [-2 ; 3].

Or la courbe représentant la fonction f' est croissante sur l'intervalle [-2 ; 0,5].

L'affirmation 3 est donc fausse.

Affirmation 4.

Si F est une primitive de f sur l'intervalle [-2 ; 0], alors F sera croissante sur [-2 ; 0] si F'(x) 0 sur [-2 ; 0].

Or F'(x) = f(x).

Donc puisque la fonction f est positive sur l'intervalle [-2 ; 0], la fonction F' sera positive sur l'intervalle [-2 ; 0] et par conséquent, toute primitive de f sera croissante sur l'intervalle [-2 ; 0].

L'affirmation 4 est donc vraie.

6 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. La situation décrite dans l'énoncé peut se traduire par l'arbre pondéré suivant :

Bac ES-L Obligatoire et Spécialité Remplacement Métropole 2017 : image 14

2. Nous devons calculer $p(E\cap A)$

$\begin{array}{r @{ = } l} p(E\cap A)\ &\ p_E(A)\times p(E)\\&\ 0,3\times0,45\\&\ 0,135 \end{array}$

D'où la probabilité que le billet ait été acheté en ligne et corresponde à une visite individuelle avec location d'audioguide est bien égale à 0,135.

3. D'après la formule de Bayes (probabilités totales), nous obtenons :

$p(A)=p(A\cap E) +p(A\cap\overline{E})$

Or nous avons déjà montré que $p(A\cap E) = 0,135$

De plus $p(A\cap\overline{E})=p_{\overline{E}}(A)\times p(\overline{E})$

$p(A\cap\overline{E})=0,37\times0,55\\\\p(A\cap\overline{E})=0,2035$

Par conséquent, $p(A)=0,135+0,2035$

$\Longrightarrow\boxed{p(A)=0,3385}$

4. Sachant que le billet choisi correspond à une visite individuelle avec location d'audioguide, la probabilité que ce billet ait été acheté au guichet du musée (donc n'ait pas été acheté en ligne) se détermine par :

$p_A(\overline{E})= \dfrac{p(A\cap\overline{E})}{p(A)}\\\\p_A(\overline{E})=\dfrac{0,2035}{0,3385} \\\\\Longrightarrow\boxed{p_A(\overline{E})\approx0,601}.$

D'où la probabilité qu'un billet correspondant à une visite individuelle avec location d'audioguide ait été acheté au guichet du musée est environ égale à 0,601 (arrondie au millième).

Partie B

1. Par la calculatrice, nous obtenons $\boxed{p(90\le D\le120)\approx 0,477}.$

Dans le contexte de l'exercice, cela signifie qu'environ 47,7 % des visites du musée durent entre 90 minutes et 120 minutes.

2. 2 heures et 30 minutes = 150 minutes et 2% = 0,02.

Sachant que la durée D d'une visite, en minutes, suit la loi normale de moyenne = 90, nous pouvons calculer la probabilité qu'une visite dure plus de 150 minutes par :

$p(D>150)=p(D\ge90)-p(90\le D\le150)\\\\p(D>150)\approx0,5-0,49996832\\\\\boxed{p(D>150)\approx0,00003168}$

Puisque 0,00003168 < 0,02, le directeur ne devra pas augmenter la capacité d'accueil de l'espace restauration du musée.

Partie c

Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I₂₀₀₀ au seuil de 95 % de la proportion des visiteurs de nationalité étrangère.

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

$\left\lbrace\begin{array}l n=2000\ge30 \\ p=0,22\Longrightarrow np=2000\times0,22=440>5 \\n(1-p)= 2000\times(1-0,22)= 2000\times0,78=1560>5 \end{array}$

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I₂₀₀₀ au seuil de 95% est :

$I_{2000}=\left[0,22-1,96\sqrt{\dfrac{0,22 (1-0,22)}{ 2000}};0,22+1,96\sqrt{\dfrac{0,22 (1-0,22)}{ 2000}}\right]\\\\I_{2000}\approx[0,201;0,239]$

b. La fréquence observée est $f=\dfrac{490}{2000}=0,245$

Nous remarquons que $f\notin I_{2000}.$

Par conséquent, au risque de se tromper de 5%, le directeur du musée peut considérer que son musée est fréquenté par une proportion de visiteurs de nationalité étrangère supérieure à la proportion rencontrée sur l'ensemble des musées d'art contemporain.

5 points

exercice 3 - Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L

1. Le taux d'évolution du tirage moyen journalier entre 2007 et 2008 est égal à

$\dfrac{10596-10982}{10982}=\dfrac{-386}{10982}\approx-0,0351.$

Comme ce taux est négatif, cela signifie que le tirage moyen journalier a diminué d'environ 3,51 % entre 2007 et 2008.

2. $\left\lbrace\begin{array}l V_0=10\ 982\\V_{n+1}=0,96V_n+100\ \ \ (n\in\mathbb{N}) \end{array}$

$\begin{array}{r @{ = } l} V_1\ &\ 0,96V_0+100\\&\ 0,96\times10\ 982+100\\&\ 10\ 642,72 \end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{V_1=10\ 642,72}$

$\begin{array}{r @{ = } l} V_2\ &\ 0,96V_1+100\\&\ 0,96\times10\ 642,72+100\\&\ 10\ 317,0112 \end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{V_2\approx10\ 317,01}$

3. Nous savons que $W_{n}=V_n-2500\ \ \ (n\in\mathbb{N}).$

$\begin{array}{r @{ = } l}{\red{\text{a. }}}W_{n+1}\ &\ V_{n+1}-2500\\&\ (0,96\times V_n+100)-2500\\&\ 0,96\times V_n-2400\\&\ 0,96\times V_n-0,96\times2500\\&\ 0,96\times (V_n-2500)\\&\ 0,96\times W_n \end{array}\\\\\ \frac{}{}\ \ \ \ \ \Longrightarrow\boxed{W_{n+1}=0,96\times W_n}$

D'où la suite (W_n ) est une suite géométrique de raison 0,96 et dont le premier terme est $W_{0}=V_{0}-2500=10\ 982-2500=\boxed{8482}$

b. $W_n=W_0\times 0,96^n$

$\Longrightarrow\boxed{W_n=8482\times 0,96^n}$

c. $W_n=V_n-2500\Longrightarrow V_n=W_n+2500$ .

Dès lors $\boxed{V_n=8482\times 0,96^n+2500}$

4. a. Le tirage moyen journalier, en milliers d'exemplaires, de l'année (2007+n ) est V_n

Puisque 2017 = 2007 + 10, le tirage moyen journalier, en milliers d'exemplaires, de l'année 2017 sera V₁₀.

$V_{10}=8482\times 0,96^{10}+2500\\\\\boxed{V_{10}\approx8139,11}.$

Par conséquent, le tirage moyen journalier prévu selon ce modèle pour l'année 2017 s'élève à environ 8 139 110 exemplaires.

b. Nous savons que $W_{n}=8482\times 0,96^{n}.$

$\lim\limits_{n\to+\infty} 0,96^{n}=0\ \ \ (\text{car }0 < 0,96 < 1)\\\\\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty} (8482\times0,96^{n})=0\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty} W_n=0}$

Puisque $V_n=W_n+2500,$ nous en déduisons que $\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty} V_n=2500}$

Dans le contexte de l'exercice, cela signifie que plus les années passent, plus le tirage moyen journalier se rapproche de 2500 milliers d'exemplaires.

c. Algorithme

VARIABLES :
n, k, V : nombres réels

DEBUT_ALGORITHME
SAISIR n
POUR k ALLANT_DE 0 A n
DEBUT_POUR
V PREND_LA_VALEUR 8482* 0.96^n + 2500
AFFICHER V
FIN_POUR
FIN_ALGORITHME

5 points

exercice 3 - Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1. Les données de l'énoncé nous permettent de traduire la situation par le graphe probabiliste suivant :

Bac ES-L Obligatoire et Spécialité Remplacement Métropole 2017 : image 15

2. Le graphe probabiliste nous permet de déterminer la matrice A de transition suivante :

$\boxed{A=\begin{pmatrix}0,7&0,3 \\ 0,2 & 0,8\end{pmatrix}}$

3. Nous savons que $E_0=\begin{pmatrix}0,2 & 0,8\end{pmatrix}$

Nous obtenons alors :

$E_1=E_0\times A\\\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}=\begin{pmatrix}0,2 & 0,8\end{pmatrix} \times\begin{pmatrix}0,7&0,3 \\ 0,2 & 0,8\end{pmatrix}\\\\\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}=\begin{pmatrix}0,2\times0,7+0,8\times0,2 &&& 0,2\times0,3+0,8\times0,8\end{pmatrix}\\\\\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}= \begin{pmatrix}0,14+0,16 && 0,06+0,64\end{pmatrix} \\\\\Longrightarrow\boxed{E_1= \begin{pmatrix}0,3 && 0,7\end{pmatrix}}$

$E_2=E_1\times A\\\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}=\begin{pmatrix}0,3 & 0,7\end{pmatrix} \times\begin{pmatrix}0,7&0,3 \\ 0,2 & 0,8\end{pmatrix}\\\\\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}=\begin{pmatrix}0,3\times0,7+0,7\times0,2 &&& 0,3\times0,3+0,7\times0,8\end{pmatrix}\\\\\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}= \begin{pmatrix}0,21+0,14 && 0,09+0,56\end{pmatrix} \\\\\Longrightarrow\boxed{E_2= \begin{pmatrix}0,35 && 0,65\end{pmatrix}}$

4. La matrice A de transition ne comporte pas de 0.

L'état probabiliste E_n à l'étape n converge vers un état E indépendant de l'état initial E₀

Cet état E est l'état probabiliste stable du système et vérifie la relation EA = E.

Soit $E=\begin{pmatrix}c & d\end{pmatrix}\ \ \ \text{avec }c+d=1$

Alors

$E\times A=E$

$\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}c & d\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,7&0,3 \\ 0,2 & 0,8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c & d\end{pmatrix}\ \ \ \text{avec }c+d=1$

$\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}0,7c+0,2d & 0,3c+0,8d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c & d\end{pmatrix}\ \ \ \text{avec }c+d=1$

$\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l 0,7c+0,2d=c\\0,3c+0,8d=d\\c+d=1 \end{array}$

$\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l 0,7c-c+0,2d=0\\0,3c+0,8d-d=0\\c+d=1 \end{array}$

$\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l -0,3c+0,2d=0\\0,3c-0,2d=0\\c+d=1 \end{array}$

$\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l0,3c-0,2d=0\\c+d=1 \end{array}$

$\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l0,3c-0,2d=0\\d=1-c \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l0,3c-0,2(1-c)=0\\d=1-c \end{array}$

$\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l0,3c-0,2+0,2c=0\\d=1-c \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l0,5c-0,2=0\\d=1-c \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l0,5c=0,2\\d=1-c \end{array}$

$\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}lc=\dfrac{0,2}{0,5}\\\\d=1-c \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}lc=0,4\\c=1-0,4 \end{array}\Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{array}lc=0,4\\d=0,6 \end{array}}$

D'où l'état probabiliste stable est $\boxed{E=\begin{pmatrix}0,4 & 0,6\end{pmatrix}}$

Nous pouvons interpréter ces résultats en indiquant qu'à long terme, environ 40 % environ des enfants de la commune suivront les cours d'éveil musical et que a fortiori 60 % environ des enfants de la commune ne seront pas inscrits à l'éveil musical.

Partie B

1. Par définition de la matrice A de transition, nous avons : $E_{n+1}=E_n\times A.$

Donc pour tout entier naturel n,

$E_{n+1}=E_n\times A\\\\\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}c_{n+1} & d_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c_{n} & d_{n}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,7&0,3 \\ 0,2 & 0,8\end{pmatrix}\ \ \ \text{avec }c_n+d_n=1$

$\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}c_{n+1} & d_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,7c_{n}+0,2d_{n} & 0,3c_{n}+0,8d_{n}\end{pmatrix}\ \ \ \text{avec }c_{n}+d_{n}=1\\\\\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l c_{n+1}=0,7c_n+0,2d_{n}\\d_{n+1}=0,3c_{n}+0,8d_{n}\\c_{n}+d_{n}=1 \end{array}\\\\\Longrightarrow\left\lbrace\begin{array}l c_{n+1}=0,7c_n+0,2d_{n}\\c_{n}+d_{n}=1 \end{array}$

$\Longrightarrow\left\lbrace\begin{array}l c_{n+1}=0,7c_n+0,2d_{n}\\d_{n} =1- c_{n} \end{array}$

$\Longrightarrow c_{n+1}=0,7c_n+0,2(1- c_{n})\\\\\Longrightarrow c_{n+1}=0,7c_n+0,2- 0,2c_{n}\\\\\Longrightarrow\boxed{c_{n+1}=0,5c_n+0,2}$

2. D'après l'énoncé, nous savons que $c_n=-0,2\times0,5^n+0,4.$

Quel que soit l'entier naturel n, nous avons :

$\begin{array}{r @{ = } l} c_{n+1}-c_n\ &\ (-0,2\times0,5^{n+1}+0,4)-(-0,2\times0,5^n+0,4)\\&\ -0,2\times0,5^{n+1}+0,4+0,2\times0,5^n-0,4 \\&\ -0,2\times0,5^{n+1}+0,2\times0,5^n\\&\ -0,2\times0,5^{n}\times0,5+0,2\times0,5^n\\&\ -0,1\times0,5^{n}+0,2\times0,5^n\\&\ 0,1\times0,5^{n}>0\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{c_{n+1}-c_n>0}$

Par conséquent, la suite (c_n ) est croissante.

3 a. Algorithme

VARIABLES :
n, k, C : nombres réels

DEBUT_ALGORITHME
SAISIR n
POUR k ALLANT_DE 0 A n
DEBUT_POUR
C PREND_LA_VALEUR -0.2* 0.5^n + 0.4
AFFICHER C
FIN_POUR
FIN_ALGORITHME

b. Nous avons montré dans la partie A question 4 que la suite (c_n ) converge vers 0,4.

En outre, cette suite est croissante.

Donc il existe un nombre naturel p tel que pour tout entier n > p, nous obtenons : 0,39 < c_n < 0,4.

Or

$\begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} 0,39<c_n\ &\ 0,39<-0,2\times0,5^n+0,4\\&\ 0,2\times0,5^n<0,4-0,39\\&\ 0,2\times0,5^n<0,01 \end{array}\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \dfrac{}{}\ \dfrac{}{}\ \ \ \ \ \Longleftrightarrow0,5^n<\dfrac{0,01}{0,2}\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \dfrac{}{}\ \dfrac{}{}\ \ \ \ \ \Longleftrightarrow 0,5^n<0,05$

$.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\ln(0,5^n)<\ln(0,05)\\\\.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow n\times\ln(0,5)<\ln(0,05)\\\\.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow n>\dfrac{\ln(0,05)}{\ln(0,5)}\ \ \ \ \ (\text{car }\ln(0,5)<0)\\\\.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow n>4,33$

D'où le nombre naturel p tel que pour tout entier n > p, nous obtenons : 0,39 < c_n < 0,4 est p = 5.

Par conséquent, la proportion des enfants de la commune inscrits à cet éveil musical franchira le seuil de 39 % en 2013 + 5, soit en 2018.

4. L'affirmation du directeur de cette école est fausse.
Si ce modèle d'évolution reste valable, la proportion d'enfants de la commune inscrits à cet éveil musical ne dépassera pas le seuil de 50 % puisque la suite (c_n ) étant strictement croissante et convergeant vers 0,4, nous avons c_n < 0,4 pour tout entier naturel n.

5 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. Le nombre d'acheteurs pour un prix de vente de 400 euros par enceinte se calcule par $f(4)=e^{-0,25\times4+5}$

$\Longrightarrow f(4)=e^{-1+5}\\\\\Longrightarrow f(4)=e^{4} \approx54,6$

D'où il y aurait environ 55 acheteurs pour un prix de vente de 400 euros par enceinte.

2. Le prix de vente d'une enceinte est de 400 euros.
Le prix total de vente des enceintes est alors de f(4) multiplie

400 euros.

Le coût de production d'une enceinte est de 300 euros.
Le coût total de production des enceintes est alors de f(4) multiplie

300 euros.

D'où la marge brute se calcule par : 400 f(4) - 300 f(4) = 100 f(4) = 100 e⁴ environegal

5460 euros.

Par conséquent, la marge brute de cette entreprise pour un prix de vente de 400 euros par enceinte est environ égale à 5460 euros.

3. Le prix de vente en centaines d'euros d'une enceinte est x.
Le prix total de vente en centaines d'euros des enceintes est alors x f(x).

Le coût de production d'une enceinte est de 300 euros, soit 3 centaines d'euros.
Le coût total de production en centaines d'euros des enceintes est alors de 3 multiplie

f(x) euros.

D'où la marge brute se calcule par

$\begin{array}{r @{ = } l} g(x)\ &\ xf(x)-3f(x)\\&\ (x-3)f(x)\\&\ (x-3)e^{-0,25x+5}\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{g(x)=(x-3)e^{-0,25x+5}}$

4. a. Variations de la fonction g sur l'intervalle [3 ; 10].

En utilisant le logiciel, nous savons que $g'(x)=-\dfrac{x-7}{4}e^{-0,25x+5}$

soit que $g'(x)=(-x+7)\times\dfrac{e^{-0,25x+5}}{4}$

Puisque toute exponentielle est strictement positive sur l'ensemble des réels,

nous déduisons que pour tout x réel, $\dfrac{e^{-0,25x+5}}{4}>0$ .

Donc le signe de la dérivée g'(x) sera le signe de (-x + 7).

$\begin{array}{r @{ \ \Longleftrightarrow } l} \text{Or }-x+7=0\ &\ x=7&-x+7>0\ &\ x<7&-x+7<0\ &\ x>7 \end{array}$

D'où le tableau de variations de g sur l'intervalle [3 ; 10] :

$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&3&&7&&10\\\hline -x+7&&+&0&-&\\\hline g'(x)&&+&0&-&\\\hline &&&\red{g(7)=4e^{3,25}}&& \\ \red{g(x)}&&\red{\nearrow}&&\red{\searrow}& \\ & \red{g(0)=0}&&MAX&&\red{g(10)=7e^{2,5}} \\ \hline \end{array}$

Par conséquent, la fonction g est croissante sur l'intervalle [3 ; 7] et est décroissante sur l'intervalle [7 ; 10].

b. Selon les variations de la fonction g, nous pouvons déduire que g admet un maximum égal à 4e^3,25 environegal

103,16 pour x = 7.

Par conséquent, pour un prix de vente unitaire de 700 euros, la marge brute maximale sera de 10 316 euros environ (arrondi à l'euro près).

5. a. La fonction G sera une primitive de la fonction g si G'(x) = g(x).

Or

$G'(x)=[(-4x-4)e^{-0,25x+5}]'\\\\\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}=(-4x-4)'\times e^{-0,25x+5}+(-4x-4)\times [e^{-0,25x+5}]'\\\\\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}=(-4)\times e^{-0,25x+5}+(-4x-4)\times (-0,25)\times e^{-0,25x+5}\\\\\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}=-4e^{-0,25x+5}+(x+1)e^{-0,25x+5}\\\\\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}=(-4+x+1)e^{-0,25x+5}\\\\\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}=(x-3)e^{-0,25x+5}\\\\\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}\dfrac{}{}=g(x)\\\\\Longrightarrow\boxed{G'(x)=g(x)}$

Par conséquent, la fonction G est une primitive de la fonction g.

b. Calcul de la valeur exacte de I.

$\begin{array}{r @{ = } l} I=\int\limits_3^{10}g(x)\,dx\ &\ \left[G(x)\right]\limits_3^{10}\\&\ G(10)-G(3)\\&\ (-44e^{2,5})-(-16e^{4,25})\\&\ -44e^{2,5}+16e^{4,25} \end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\int\limits_3^{10}g(x)\,dx=16e^{4,25}-44e^{2,5}}$

Publié par malou/Panter le 28-04-2018

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