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Baccalauréat Mathématiques

ES-L Obligatoire et spécialité

Liban 2017

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Bac ES-L Obligatoire et spécialité Liban 2017

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exercice 1 - Commun à tous les candidats

1)   La valeur moyenne de la fonction g  sur l'intervalle [1 ; e] est donnée par  m=\dfrac{1}{e-1}\int\limits_1^eg(x)\,dx.

Une primitive de g  sur l'intervalle ]0 ; +infini[ est la fonction G  définie par G (x ) = 2 ln(x ).

\text{D'où  }m=\dfrac{1}{e-1}\int\limits_1^eg(x)\,dx\\\\\phantom{\text{D'où  }m}=\dfrac{1}{e-1}\times[G(x)]\limits_1^e\\\\\phantom{\text{D'où  }m}=\dfrac{1}{e-1}\times[G(e)-G(1)]\\\\\phantom{\text{D'où  }m}=\dfrac{1}{e-1}\times[2\ln(e)-2\ln(1)]\\\\\phantom{\text{D'où  }m}=\dfrac{1}{e-1}\times[2\times1-2\times0]\\\\\phantom{\text{D'où  }m}=\dfrac{1}{e-1}\times2\\\\\phantom{\text{D'où  }m}=\dfrac{2}{e-1}

Par conséquent, la réponse correcte est la réponse \red{\boxed{\text{c)}}} .

2)   Sur le graphique, nous observons que mu = 1 et que  p(0,6\le X\le1,4)\approx0,95 .

Nous savons que si X  est une variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance mu  et d'écart-type sigma,
alors  \red{p(\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma)\approx0,95}.

p(0,6\le X\le1,4)\approx0,95\Longleftrightarrow p(1-0,4\le X\le1+0,4)\approx0,95\\\\\phantom{p(0,6\le X\le1,4)\approx0,95}\Longleftrightarrow\red{p(\mu-0,4\le X\le\mu+0,4)\approx0,95}

D'où  2\sigma\approx0,4\Longrightarrow\boxed{\sigma\approx0,2}

L'écart-type est environ égal à 0,2.

Par conséquent, la réponse correcte est la réponse \red{\boxed{\text{d)}}} .

3)   Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I50  au seuil de 95 % de la fréquence de tickets gagnants dans un échantillon aléatoire de 50 tickets à gratter.

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

\left\lbrace\begin{array}l n=50\ge30 \\ p=0,15\Longrightarrow np=50\times0,15=7,5>5 \\n(1-p)= 50\times(1-0,15)= 50\times0,85=42,5>5 \end{array}

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I50  au seuil de 95% est :

 I_{50}=\left[0,15-1,96\sqrt{\dfrac{0,15 (1-0,15)}{50}};0,15+1,96\sqrt{\dfrac{0,15 (1-0,15)}{50}}\right]\\\\\Longrightarrow I_{50}\approx[0,051;0,249]

Par conséquent, la réponse correcte est la réponse \red{\boxed{\text{a)}}} .



exercice 2 - Commun à tous les candidats

Partie A : L'accord de Kyoto (1997)


1)   Calculons le pourcentage de diminution de l'émission de GES entre 1990 et 2011 :

           \dfrac{486-559}{559}\times100\approx-13

Cela signifie que entre 1990 et 2011, les émissions de CO2 ont marqué une baisse d'environ 13 %.

Donc en 2011, la France respectait déjà son engagement.

2)   Le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de 5,6 % est égal à 1 - 0,056 = 0,944.

Soit x  le nombre de mégatonnes de CO2 émises par la France en 2010.
Nous obtenons ainsi :

0,944x=486\Longrightarrow x=\dfrac{486}{0,944}\\\\\phantom{0,944x=486}\Longrightarrow x\approx514,8.

Donc en 2010, la France avait émis environ 514,8 mégatonnes d'équivalent CO2.

Partie B: Etude des émissions de gaz à effet de serre d'une zone industrielle


1)   En 2005, cette zone industrielle a émis 41 milliers de tonnes de CO2 au total.
Donc \boxed{u_0=41}

Une réduction de 2 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 - 0,02 = 0,98.
Dès lors, diminuer de 2 % les émissions de 2005 et générer 200 tonnes (soit 0,2 millier de tonnes) revient au calcul : 0,98\times u_0+0,2.

D'où u_1=0,98\times41+200

\boxed{u_1=40,38}

2) En 2005+n , cette zone industrielle a émis un  milliers de tonnes de CO2 au total.
Une réduction de 2 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 - 0,02 = 0,98.
Dès lors, diminuer de 2 % les émissions de l'année 2005+n  et générer 200 tonnes (soit 0,2 millier de tonnes) revient au calcul : 0,98\times u_n+0,2.

Par conséquent, \boxed{u_{n+1}=0,98\times u_n+0,2\ \ \ (n\in\mathbb{N})}

3)   v_n=u_n-10\ \ \ (n\in\mathbb{N})

a)   Montrons que la suite (vn )  est une suite géométrique.

\begin{array}{r @{ = } l} v_{n+1}\ &\ u_{n+1}-10\\&\ (0,98\times u_{n}+0,2)-10\\&\ 0,98\times u_{n}-9,8\\&\ 0,98\times u_{n}-0,98\times10\\&\ 0,98\times (u_{n}-10)\\&\ 0,98\times v_{n}\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}=0,98\times v_{n}}

D'où la suite (vn )  est une suite géométrique de raison 0,98 et dont le premier terme est  v_0=u_0-10=41-10=31.

b)   Pour tout entier naturel n,  v_n=v_0\times(0,98)^n\Longrightarrow\boxed{v_n=31\times(0,98)^n}

\begin{array}l \text{\red{c)}}\\\dfrac{}{} \end{array}\left\lbrace\begin{array}l v_n=u_n-10\\v_n=31\times(0,98)^n \end{array}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{array}l u_n=v_n+10\\v_n=31\times(0,98)^n \end{array}\Longrightarrow\boxed{u_n=31\times(0,98)^n+10}

4) a)   Nous avons montré que u_n=31\times(0,98)^n+10

Nous savons que \lim\limits_{n\to+\infty}(0,98)^{n}=0\ \ \text{car }0<0,98<1.

\begin{array}{r @{ = } l} \Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}(31\times(0,98)^{n}+10)\ &\ 31\times\lim\limits_{n\to+\infty}(0,98)^{n}+10\\&\ 31\times0+10\\&\ 10 \end{array}

D'où \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=10}

b)   Interprétation  : A très long terme, si l'évolution perdure, la quantité de CO2 émise dans cette zone industrielle se rapprochera de 10 milliers de tonnes.

5) a)   Algorithme complété :

1 Variables
2         U  est du type nombre
3         n  est du type nombre entier
4 Début Algorithme
5         U  prend la valeur 41
6         n  prend la valeur 0
7         Tant que U  > 20,5 faire
8                 Début Tant que
9                 U  prend la valeur 0,98 multiplie U + 0,2
10                n  prend la valeur n  + 1
11                Fin Tant que
12         Afficher n 
13 Fin Algorithme

b)   L'algorithme affiche 54.
Donc les émissions de GES auront diminué de moitié dans la zone industrielle par rapport à 2005 dans 54 ans, soit en 2059.



exercice 3 - Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement                                 de spécialité et candidats de la serie L

Partie A


1)   Nous savons que 18 % des demandeurs d'emploi sont sans expérience.

D'où \boxed{p(S)=0,18}

Nous savons que parmi les hommes demandeurs d'emploi, 17,5 % sont sans expérience.

D'où \boxed{p_{\overline{F}}(S)=0,175}

2)   Arbre pondéré partiellement complété.

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\text{\red{3)}}\ \ \ p(\overline{F}\cap S)=p_{\overline{F}}(S)\times p(\overline{F})\\\\\phantom{\text{\red{3)}}\ \ \ p(\overline{F}\cap S)}=0,175\times0,48\\\\\phantom{\text{\red{3)}}\ \ \ p(\overline{F}\cap S)}=0,084\\\\\Longrightarrow\boxed{p(\overline{F}\cap S)=0,084}

Interprétation :
La probabilité que la fiche prélevée soit celle d'un homme sans expérience est égale à 0,084, soit 8,4 %.

4)   Nous devons déterminer  p_S(\overline{F}).

 p_S(\overline{F})=\dfrac{p(\overline{F}\cap S)}{p(S)}\\\\\phantom{ p_S(\overline{F})}=\dfrac{0,084}{0,18}\\\\\phantom{ p_S(\overline{F})}\approx0,467\\\\\Longrightarrow\boxed{ p_S(\overline{F})\approx0,467}

5)   Nous devons déterminer  p_F(S).

Selon la formule des probabilités totales, nous obtenons :

p(S)=p(F\cap S)+p(\overline{F}\cap S)\\\\0,18=p(F\cap S)+0,084\\\\p(F\cap S)=0,18-0,084\\\\p(F\cap S)=0,096\\\\p_F(S)\times p(F)=0,096\\\\p_F(S)\times 0,52=0,096\\\\p_F(S)=\dfrac{0,096}{0,52}\\\\\Longrightarrow\boxed{p_F(S)\approx0,185}

Partie B


La responsable de l'agence répète 5 fois de manière indépendante un tirage parmi les demandeurs d'emploi.
Chaque tirage n'a que deux issues possibles :
le succès : "le demandeur est sans expérience" dont la probabilité est  p  = 0,18
l'échec : "le demandeur a de l'expérience" dont la probabilité est 1 - p  = 1 - 0,18 = 0,82.

Soit X  la variable déterminant le nombre de fiches de demandeur d'emploi sans expérience.
X  suit la loi binomiale de paramètres n  = 5 et p  = 0,18.

Nous devons déterminer p (X  supegal 1).

p(X\ge1)=1-p(X=0)\\\\\phantom{p(X\ge1)}=1-\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}\times0,18^0\times0,82^5\\\\\phantom{p(X\ge1)}=1-1\times1\times0,82^5\\\phantom{p(X\ge1)}=1-0,82^5\\\phantom{p(X\ge1)}\approx0,629\\\\\Longrightarrow\boxed{p(X\ge1)\approx0,629}

Par conséquent, la probabilité que, parmi les cinq fiches tirées au hasard, il y ait au moins une fiche de demandeur d'emploi sans expérience est environ égale à 0,629.



exercice 3 - Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement                                       de spécialité

Partie A


1)   Les données de l'énoncé nous permettent de traduire la situation par le graphe probabiliste suivant :

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2)   En 2015, l'opérateur Alpha possède 30 % du marché de téléphonie mobile. Le reste appartient à l'opérateur Bravo.

Nous en déduisons que a 0 = 0,3 et b 0 = 0,7.

3)   Puisque 2018 = 2015 + 3, nous devons déterminer la valeur de a 3.

P_3=P_0\times M^3\ \ \text{avec }P_0=(0,3\ \ \ \ \ 0,7)\\\\\text{Or  }M=\begin{pmatrix}0,88&0,12\\0,14&0,86\end{pmatrix}\Longrightarrow M^3=\begin{pmatrix}0,725488&0,274512\\0,320264&0,679736\end{pmatrix}\\\\\text{D'où  }P_3=(0,3\ \ \ \ \ 0,7)\times\begin{pmatrix}0,725488&0,274512\\0,320264&0,679736\end{pmatrix}\\\\\phantom{\text{D'où  }P_3}=(0,3\times0,725488+0,7\times0,320264\ \ \ \ 0,3\times0,274512+0,7\times0,679736)\\\\\phantom{\text{D'où  }P_3}=(0,4418312\ \ \ \ 0,55816688)\\\\\Longrightarrow\boxed{P_3\approx(0,442\ \ \ 0,558)}

Par conséquent, a 0 environegal 0,442.

En 2018, il y aura donc bien environ 44,2 % des abonnés chez l'opérateur Alpha.

4) a)   La matrice M  de transition ne comporte pas de 0.
L'état probabiliste Pn  à l'étape n  converge vers un état P  indépendant de l'état initial P0 .

Cet état P  est l'état probabiliste stable du système et vérifie la relation PmultiplieM = P.

Soit   P=\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}\ \ \ \text{avec }x+y=1

Alors

 P\times M=P

\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,88&0,12 \\ 0,14 & 0,86\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}\ \ \ \text{avec }x+y=1

\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}0,88x+0,14y & 0,12x+0,86y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}\ \ \ \text{avec }x+y=1

\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l 0,88x+0,14y=x\\0,12x+0,86y=y\\x+y=1 \end{array}

\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l 0,88x-x+0,14y=0\\0,12x+0,86y-y=0\\x+y=1 \end{array}

\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l -0,12x+0,14y=0\\0,12x-0,14y=0\\x+y=1 \end{array}

\Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{array}l0,12x-0,14y=0\\x+y=1 \end{array}}

b)   Résoudre le système \left\lbrace\begin{array}l0,12x-0,14y=0\\x+y=1 \end{array}

\left\lbrace\begin{array}l0,12x-0,14y=0\\x+y=1 \end{array} \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l0,12x-0,14y=0\\y=1-x \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l0,12x-0,14(1-x)=0\\y=1-x \end{array}

\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l0,12x-0,14+0,14x=0\\y=1-x \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l0,26x-0,14=0\\y=1-x \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l0,26x=0,14\\y=1-x \end{array}

 \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}lx=\dfrac{0,14}{0,26}\\\\y=1-x \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}lx=\dfrac{7}{13}\\\\y=1-\dfrac{7}{13} \end{array}\Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{array}lx=\dfrac{7}{13}\\\\y=\dfrac{6}{13} \end{array}}

D'où l'état probabiliste stable est  \boxed{P=\begin{pmatrix}\dfrac{7}{13} & \dfrac{6}{13}\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}0,538 & 0,462\end{pmatrix}}

c)   Au bout d'un grand nombre d'années, il y aura environ 53,8 % des abonnés chez l'opérateur Alpha et 46,2 % des abonnés chez l'opérateur Bravo.

Partie B


1)   Valeurs obtenues en utilisant l'algorithme de Dijkstra :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline&C&\ \ A\ \ &\ \ B\ \ &\ \ D\ \ &\ \ E\ \ &\ \ F\ \ &\ \ H\ \ &\ \ I\ \ &\ \ G\ \ \\\hline C &\ \ \red{0_C}\ \ &25_C&30_C&20_C&\infty&\infty&\infty&\infty&\infty\\\hline D&&25_C&30_C&\red{20_C}&40_D&\infty&\infty&35_D&\infty\\\hline A&&\red{25_C}&30_A&&40_D&\infty&35_A&35_D&\infty\\\hline B&&&\red{30_A}&&40_D&\infty&35_A&35_D&\infty\\\hline H&& &&&40_D&45_H&\red{35_A}&35_D&55_H\\\hline I&&&&&40_D&45_H&&\red{35_D}&55_H\\\hline E&&&&&\red{40_D}&45_H&&&55_H\\\hline F&&&&&&\red{45_H}&&&50_F\\\hline F&&&&&&&&&\red{50_F}\\ \hline \end{array}

D'où le tracé de fibre optique le moins cher à déployer entre les stations C et G est C - A - H - F - G.

2)   Calcul du coût de ce tracé en milliers d'euros.

De C à A : 25
De A à H : 10
De H à F : 10
De F à G :    5
Total  :        50.

Par conséquent, le coût de ce tracé s'élève à 50 000 euros.



exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A


f(x)=\dfrac{1}{0,5+100e^{-x}}

\text{\red{1)}}\ \ \dfrac{}{}f'(x)=\dfrac{-(0,5+100e^{-x})'}{(0,5+100e^{-x})^2}\\\\\phantom{\text{\red{c)}}\ \ \dfrac{}{}f'(x)}=\dfrac{-(0,5)'-(100e^{-x})'}{(0,5+100e^{-x})^2}\\\\\phantom{\text{\red{c)}}\ \ \dfrac{}{}f'(x)}=\dfrac{0-100\times(-x)'\times e^{-x}}{(0,5+100e^{-x})^2}\\\\\phantom{\text{\red{c)}}\ \ \dfrac{}{}f'(x)}=\dfrac{-100\times(-1)\times e^{-x}}{(0,5+100e^{-x})^2}\\\\\phantom{\text{\red{c)}}\ \ \dfrac{}{}f'(x)}=\dfrac{100e^{-x}}{(0,5+100e^{-x})^2}\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{100e^{-x}}{(0,5+100e^{-x})^2}}

\text{\red{2)  a)}}\ \ \dfrac{}{}100e^{-x}-0,5\ge0\Longleftrightarrow100e^{-x}\ge0,5\\\\\phantom{\text{\red{2)  a)}}\ \ \dfrac{}{}100e^{-x}-0,5\ge0}\Longleftrightarrow e^{-x}\ge\dfrac{0,5}{100}\\\\\phantom{\text{\red{2)  a)}}\ \ \dfrac{}{}100e^{-x}-0,5\ge0}\Longleftrightarrow e^{-x}\ge0,005\\\\\phantom{\text{\red{2)  a)}}\ \ \dfrac{}{}100e^{-x}-0,5\ge0}\Longleftrightarrow -x\ge\ln(0,005)\\\\\phantom{\text{\red{2)  a)}}\ \ \dfrac{}{}100e^{-x}-0,5\ge0}\Longleftrightarrow x\le-\ln(0,005)\\\\\text{D'où   }\boxed{100e^{-x}-0,5\ge0\Longleftrightarrow x\le-\ln(0,005)}

b)   Etude du signe de f''(x)=\dfrac{100e^{-x}\times(100e^{-x}-0,5)}{(0,5+100e^{-x})^3}

Puisque la fonction exponentielle est strictement positive pour tout x  réel, nous en déduisons que 100e-x > 0.


De plus (0,5 + 100e-x)3 > 0 comme étant le cube d'une somme de deux nombres positifs.
D'où, le signe de f''(x) sera le signe de 100e-x - 0,5.

En utilisant la question 2) a), nous obtenons le tableau de signes de f'' (x ) sur l'intervalle [0 ; 10] :

\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&0&&-\ln(0,005)&&10\\\hline100e^{-x}-0,5&&+&0&-&\\\hline f''(x)&&+&0&-&\\\hline \end{array}

3)   La fonction f est deux fois dérivable sur l'intervalle [0 ; 10].
La courbe  \mathscr{C}_f  possède un point d'inflexion M  si et seulement si la dérivée seconde de f  s'annule en changeant de signe en l'abscisse du point M .
En utilisant le tableau de signes de f''(x), nous déduisons que la courbe admet un point d'inflexion I  dont l'abscisse vaut -ln(0,005).

4)   La fonction f  est concave sur un intervalle si sa dérivée seconde est négative sur cet intervalle.
En utilisant le tableau de signes de f''(x), nous déduisons que la fonction f  est concave sur
l'intervalle [-ln(0,005) ; 10] .


Partie B


1) a)  f(10)=\dfrac{1}{0,5+100e^{-10}}\approx1,98.

b)   L'année 2150 correspond à l'abscisse 10 car 2150 = 1900 + 250 = 1900 + 10 multiplie 25.
Puisque f(10) environegal 1,98 < 2,nous en déduisons qu'en 2150, la température terrestre ne dépassera pas de plus de 2°C la température de 1900.

Donc l'objectif de l'accord de Paris sera respecté.

2) a)   Dans la partie A, nous avons montré que l'abscisse du point I  d'inflexion de la courbe  \mathscr{C}_f est
égal à -ln(0,005), soit environ 5,3.

5,3 multiplie 25 = 132,5.

Par conséquent, en arrondissant l'année à l'unité, nous pouvons dire que l'année correspondant à l'abscisse du point I  d'inflexion de la courbe  \mathscr{C}_f  est l'année 1900 + 132, soit 2032.

\text{\red{b)}}\ \ \dfrac{}{}f(-\ln(0,005))=\dfrac{1}{0,5+100e^{-(-\ln(0,005))}}\\\\\phantom{\text{\red{b)}}\ \ \dfrac{}{}f(-\ln(0,005))}=\dfrac{1}{0,5+100e^{\ln(0,005)}}\\\\\phantom{\text{\red{b)}}\ \ \dfrac{}{}f(-\ln(0,005))}=\dfrac{1}{0,5+100\times0,005}\\\\\phantom{\text{\red{b)}}\ \ \dfrac{}{}f(-\ln(0,005))}=\dfrac{1}{0,5+0,5}\\\\\phantom{\text{\red{b)}}\ \ \dfrac{}{}f(-\ln(0,005))}=1

D'où, en 2032, la température aura augmenté de 1°C par rapport à la température de 1900.

3) a)  Puisque la fonction f  est strictement croissante sur [0 ; 10], la température terrestre continuera d'augmenter après 2033.

b)   Etudions les variations de la dérivée f' (x ) à partir du signe de f'' (x ) étudié dans la partie A.

\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&0&&-\ln(0,005)\approx5,3&&10\\\hline f''(x)&&+&0&-&\\\hline f'(x)&&\nearrow&&\searrow&\\\hline \end{array}

Nous observons que la dérivée f' (x ) est strictement décroissante sur l'intervalle [-ln(0,005) ; 10].

Par conséquent, après 2033, la vitesse du réchauffement climatique diminuera.

4)   Résolvons l'inéquation f (x ) infegal 1,5.

f(x)\le1,5\Longleftrightarrow\dfrac{1}{0,5+100e^{-x}}\le1,5\\\\\phantom{f(x)\le1,5}\Longleftrightarrow1\le1,5(0,5+100e^{-x})\ \ \ \ \ \text{car }\ 0,5+100e^{-x}>0\\\\\phantom{f(x)\le1,5}\Longleftrightarrow1\le0,75+150e^{-x}\\\\\phantom{f(x)\le1,5}\Longleftrightarrow150e^{-x}\ge1-0,75\\\\\phantom{f(x)\le1,5}\Longleftrightarrow150e^{-x}\ge0,25\\\\\phantom{f(x)\le1,5}\Longleftrightarrow150e^{-x}\ge\dfrac{1}{4}\\\\\phantom{f(x)\le1,5}\Longleftrightarrow e^{-x}\ge\dfrac{1}{600}\\\\\phantom{f(x)\le1,5}\Longleftrightarrow -x\ge\ln(\dfrac{1}{600})\\\\\phantom{f(x)\le1,5}\Longleftrightarrow -x\ge-\ln(600)\\\\\phantom{f(x)\le1,5}\Longleftrightarrow x\le\ln(600)

Déterminons l'année correspondant à x  = ln(600).
1900 + 25 multiplie ln(600) environegal 2059,9.

Donc le seuil sera atteint à la fin de l'année 2059 et il sera dépassé en 2060.
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