Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Mathématiques

ST2S Remplacement Métropole 2017

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Bac ST2S Remplacement Métropole 2017

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7 points

exercice 1

1. a.   Parmi les 13 519 dossiers, il y a 12 919 dossiers de foyers allocataires habitant la métropole.
Donc la probabilité de choisir le dossier d'un foyer allocataire habitant en métropole est

\boxed{p(M)=\dfrac{12\ 919}{13\ 519}\approx0,956.}

b.   Parmi les 13 519 dossiers, il y a 523 dossiers de foyers allocataires ayant 5 enfants ou plus.
Donc la probabilité de choisir le dossier d'un foyer allocataire avec 5 enfants ou plus est

\boxed{p(E)=\dfrac{523}{13\ 519}\approx0,039.}

c.   L'événement  \overline{E}  peut s'énoncer : "Le dossier choisi est celui d'un foyer allocataire ayant moins de 5 enfants".

p(\overline{E})=1-p(E)\\\phantom{p(\overline{E})}\approx1-0,039\\\phantom{p(\overline{E})}\approx0,961\\\\\Longrightarrow\boxed{p(\overline{E})\approx0,961}

2. a.   L'événement  M\cap E  peut s'énoncer : "le dossier choisi est celui d'un foyer allocataire habitant en métropole et ayant 5 enfants ou plus".
Parmi les 13 519 dossiers, il y a 461 dossiers de foyers allocataires habitant en métropole et ayant 5 enfants ou plus.

Donc \boxed{p(M\cap E)=\dfrac{461}{13\ 519}\approx0,034.}

b.   Parmi les 13 519 dossiers, il y a 62 dossiers de foyers allocataires habitant dans les départements d'outre-mer et ayant 5 enfants ou plus.
Donc la probabilité de choisir le dossier d'un foyer allocataire habitant dans les départements d'outre-mer et

ayant 5 enfants ou plus est \boxed{p(\overline{M}\cap E)=\dfrac{62}{13\ 519}\approx0,005}

{\red{\text{3.  a.  }}}\ p_M(E)=\dfrac{p(M\cap E)}{p(M)}\\\\\phantom{{\red{\text{3.  a.  }}}\ p_M(E)}\approx\dfrac{0,034}{0,956}\\\\\phantom{{\red{\text{3.  a.  }}}\ p_M(E)}\approx0,036\\\\\Longrightarrow\boxed{p_M(E)\approx0,036}

b.   Parmi les 600 foyers allocataires habitant dans les départements d'outre-mer, il y a 62 foyers avec 5 enfants ou plus.
Donc la probabilité de choisir le dossier d'un foyer allocataire ayant 5 enfants ou plus sachant que le dossier est

celui d'un foyer allocataire habitant dans les départements d'outre-mer est  \boxed{p_{\overline{M}}(E)=\dfrac{62}{600}\approx0,103}

{\red{\text{4.  }}}\left\lbrace\begin{matrix}p_M(E)\approx0,036\\\\ \ p_{\overline{M}}(E)\approx0,103\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \Longrightarrow\boxed{p_M(E)<p_{\overline{M}}(E)}

Par conséquent la probabilité de choisir le dossier d'un foyer allocataire avec 5 enfants ou plus est moins importante parmi les foyers allocataires habitant en métropole.

5 points

exercice 2

  1.   Calculons les coordonnées du point G (xG ; yG ).

x_G=\dfrac{1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14}{14}=\dfrac{105}{14}=7,5\\\\y_g=\dfrac{297+286+283+279+282+273+273+264+251+252+238+245+239+241}{14}=\dfrac{3703}{14}=264,5

D'où nous obtenons G  (7,5 ; 264,5).

Ce point G  est placé sur le graphique suivant :

Sujet Bac ST2S Remplacement Métropole 2017 : image 10


2.   La droite (AB ) n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées.
Une équation de (AB ) est donc de la forme y  = ax  + b .

Le coefficient directeur de la droite (AB ) est donné par :

a = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\\\\\phantom{a}=\dfrac{252-297}{10-1}\\\\\phantom{a}=\dfrac{-45}{9}\\\\\phantom{a}=-5\\\\\Longrightarrow\boxed{a=-5}

Ainsi l'équation de la droite (AB ) s'écrit y  = -5x  + b .

Nous savons que le point A (1 ; 297) appartient à cette droite.
Dans ce cas, ses coordonnées vérifient l'équation de la droite (AB ).

\text{Donc }\ \ 297=-5\times1+b\\\phantom{\text{Donc }\ \ }297=-5+b\\\phantom{\text{Donc }\ \ }b=297+5\\\ \Longrightarrow\ \ \boxed{b=302}

Par conséquent une équation de la droite (AB ) est y  = -5x  + 302.

3.   Montrons que les coordonnées du point G  (7,5 ; 264,5) vérifient l'équation de la droite (AB ).

{\red{-5\times x_G+302}}=-5\times7,5+302\\\phantom{-5\times x_G+302}=-37,5+302\\\phantom{-5\times x_G+302}=264,5\\\phantom{-5\times x_G+302}{\red{=y_G}}\\\\\Longrightarrow\boxed{y_G=-5\times x_G+302}

Puisque les coordonnées du point G  vérifient l'équation de la droite (AB ), nous en déduisons que ce point G appartient à la droite (AB ).

4.   La représentation de la droite (AB ) se trouve sur le graphique suivant :

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5. a.   La valeur de x  correspondant à l'année 2017 est x  = 17.
Dans l'équation de la droite (AB ), remplaçons x  par 17 et calculons la valeur de y .
y  = -5 multiplie 17 + 302 = 217.

Donc  en 2017, nous pouvons prévoir 217 mariages.

b.   Résolvons l'inéquation -5x  + 302 < 200.

-5x+302<200\Longleftrightarrow-5x<200-302\\\phantom{-5x+302<200}\Longleftrightarrow-5x<-102\\\\\phantom{-5x+302<200}\Longleftrightarrow x>\dfrac{-102}{-5}\\\\\phantom{-5x+302<200}\Longleftrightarrow x>20,4

Il faudra donc attendre 21 ans.

Par conséquent  à partir de 2021, le nombre de mariages en France sera inférieur à 200 000.

8 points

exercice 3

Partie A


1.   Le pourcentage d'évolution du montant des dépenses entre l'année 2012 et l'année 2013 se calcule par

                                \dfrac{\text{Valeur finale - Valeur initiale}}{\text{Valeur initiale}}\times100=\dfrac{86,6-84,5}{84,5}\times100\approx2,5\%

D'où le pourcentage d'évolution, arrondi à 0,1 %, du montant des dépenses entre l'année 2012 et l'année 2013 est d'environ 2,5 %.

2.   Le pourcentage d'évolution du montant des dépenses entre l'année 2009 et l'année 2010 est de 2,4 %.
Le coefficient multiplicateur correspondant à ce taux est de 1 + 0,024 = 1,024.
D'où le montant des dépenses en 2010 se calcule par : 1,024 multiplie  78,3 = 80,1792.
Par conséquent  le montant des dépenses en 2010 s'élève à environ 80,2 milliards d'euros.

3.   Une formule à saisir dans la cellule C 3 est \boxed{=(C\$2-B\$2)/B\$2}

Partie B


1.   Le coefficient multiplicateur correspondant à un taux de 2,5 % est de 1 + 0,025 = 1,025.

Donc la suite (un ) est une suite géométrique de raison 1,025 et dont le premier terme est u 0 = 88,6.

2.   Le terme général de la suite (un ) est donné par  u_n=u_0\times(1,025)^{n} , soit  \boxed{u_n=88,6\times(1,025)^{n}}

3.   u_{6}=88,6\times(1,025)^{6}\approx102,7.
Cette valeur représente le montant des dépenses, en milliards d'euros, pour l'année 2014+6, soit pour l'année 2020.

D'où le montant des dépenses consacrées aux soins hospitaliers s'élèvera à 102,7 milliards d'euros en 2020.

4.   Résoudre dans R l'inéquation : 88,6 multiplie  1,025x supegal  120.

88,6\times1,025^x\ge120\Longleftrightarrow1,025^x\ge\dfrac{120}{88,6}\\\\\phantom{88,6\times1,025^x\ge120}\Longleftrightarrow1,025^x\ge\dfrac{60}{44,3}\\\\\phantom{88,6\times1,025^x\ge120}\Longleftrightarrow\ln(1,025^x)\ge\ln\left(\dfrac{60}{44,3}\right)\\\\\phantom{88,6\times1,025^x\ge120}\Longleftrightarrow x\ln1,025\ge\ln\left(\dfrac{60}{44,3}\right)\\\\\phantom{88,6\times1,025^x\ge120}\Longleftrightarrow x\ge\dfrac{\ln\left(\dfrac{60}{44,3}\right)}{\ln1,025}

D'ou l'ensemble des solutions de l'inéquation est \boxed{S=\left[\dfrac{\ln\left(\dfrac{60}{44,3}\right)}{\ln1,025}\ ;\ +\infty\right[}

5.   Déterminons le plus petit entier naturel n  tel que  un  supegal 120.

u_n\ge120\Longleftrightarrow88,6\times1,025^n\ge120

Par la question précédente, nous obtenons :  n\ge\dfrac{\ln\left(\dfrac{60}{44,3}\right)}{\ln1,025}

\text{Or  }\ \ \ \dfrac{\ln\left(\dfrac{60}{44,3}\right)}{\ln1,025}\approx12,285

D'où le plus petit entier naturel n vérifiant l'inégalité  n\ge\dfrac{\ln\left(\dfrac{60}{44,3}\right)}{\ln1,025}  est n  = 13.

Puisque 2014 + 13 = 2027, nous pouvons prévoir qu'en 2027, les dépenses pour les soins hospitaliers dépasseront 120 milliards d'euros.
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