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Baccalauréat Mathématiques

STMG Antilles Guyane 2017

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Corrigé : Bac STMG Antilles Guyane 2017

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4 points

exercice 1

Partie A


1. a)   Une augmentation de 1,5% correspond à un coefficient multiplicateur 1 + 0,015 = 1,015.
Appliquer ce taux à une population de 470 000 individus revient à effectuer le calcul 1,015 multiplie 470 000 = 477 050.

Donc en abscence de braconnage, la population d'éléphants d'Afrique en 2014 sera estimée à 477 050 individus.

b)   Chaque terme de la suite (un ) est égal au précédent multiplié par le nombre constant 1,015.
Par conséquent, la suite (un ) est une suite géométrique de raison 1,015 et dont le premier terme est 470 000.

c)   u_n=u_0\times(1,015)^n\Longrightarrow\boxed{u_n=470\ 000\times(1,015)^n}

2.   Puisque 2028 = 2013 + 15, le nombre d'éléphants d'Afrique en 2028 sera la valeur de u 15.

u_{15}=470\ 000\times(1,015)^{15}\Longrightarrow\boxed{u_{15}\approx587\ 609}

D'où en 2015, le nombre d'éléphants d'Afrique sera estimé à environ 587 609 individus.

Partie B


1.   En 1 quart d'heure, un éléphant d'Afrique est tué.
En 1 heure, soit 4 quarts d'heure, 4 éléphants d'Afrique sont tués.
En 1 jour, soit 24 heures, 24 multiplie  4 = 96 éléphants d'Afrique sont tués.
En 1 an, soit 365 jours, 365 multiplie  96 = 35 040 éléphants d'Afrique sont tués.

D'où environ 35 000 éléphants d'Afrique sont tués chaque année par le braconnage.

2.   Le taux d'évolution de la population d'éléphants d'Afrique entre 2013 et 2023 se calcule par

                                \dfrac{\text{Valeur finale - Valeur initiale}}{\text{Valeur initiale}}=\dfrac{170,9-470}{470}\approx-0,6364.

Par conséquent, la population d'éléphants d'Afrique aura baissé de près de 64 % en dix ans.

3.   La valeur de n  en sortie de l'algorithme détermine l'année à partir de laquelle la race d'éléphants d'Afrique aura disparu.
Puisque l'agorithme affiche le résultat 2029, cela signifie qu'à partir de l'année 2029, la population d'éléphants d'Afrique aura disparu à cause du braconnage si on ne réagit pas.

6 points

exercice 2

Partie A


1.   Le taux d'évolution global du tirage journalier entre 2010 et 2014 se calcule par

                                \dfrac{\text{Valeur finale - Valeur initiale}}{\text{Valeur initiale}}=\dfrac{1,36-1,80}{1,80}\approx-0,244444...

Par conséquent, entre 2010 et 2014, le tirage journalier a subi une baisse d'environ 24,44 % (arrondi à 0,01 %).

2.   Notons par T  le taux d'évolution global et par tm  le taux d'évolution annuel moyen.

Entre 2010 et 2014, le taux d'évolution annuel moyen du tirage journalier vérifie la relation 1+T=(1+t_m)^4.

\text{D'où   }\ \ 1+T=(1+t_m)^4\Longleftrightarrow1-0,2444=(1+t_m)^4\\\\\phantom{\text{D'où   }\ \ 1+T=(1+t_m)^4}\Longleftrightarrow0,7556=(1+t_m)^4\\\\\phantom{\text{D'où   }\ \ 1+T=(1+t_m)^4}\Longleftrightarrow1+t_m=0,7556^{\frac{1}4{}}\\\\\phantom{\text{D'où   }\ \ 1+T=(1+t_m)^4}\Longleftrightarrow t_m=0,7556^{\frac{1}4{}}-1\\\\\phantom{\text{D'où   }\ \ 1+T=(1+t_m)^4}\Longleftrightarrow t_m\approx-0,06766....

Par conséquent, le taux d'évolution annuel moyen du tirage journalier entre 2010 et 2014 est d'environ -6,77 % (arrondi à 0,01 %).

3.   Le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de 7 % est égal à 1 - 0,07 = 0,93.
Nous savons qu'en 2014, le tirage journalier en million d'exemplaires est de 1,36.
0,933 multiplie 1,36 environegal 1,094.

D'où pour l'année 2017, nous pourrons prévoir un tirage journalier d'environ 1,09 million d'exemplaires.

Partie B


1.   Nuage de points (xi , yi ) associé au tableau :

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2.   Par la calculatrice, nous obtenons une équation de la droite d'ajustement affine suivant la méthode des moindres carrés :

y = -0,11x + 1,82

3. a)  Représentation de la droite D  d'équation y  = -0,1x  + 1,8.

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b)   Dans l'équation de la droite D , remplaçons x  par 7 et calculons la valeur de y .

y  = -0,1 multiplie 7 + 1,8 = 1,1.

Donc nous pouvons prévoir un tirage journalier de 1,1 million d'exemplaires en 2017.

Partie C


1. a)   10 % des visites se font depuis une tablette et ont un taux de rebond de 53 %.

Donc \boxed{p_T(R)=0,53}

b)   2 visites sur 5 se font depuis un smartphone et 10 % des visites se font depuis une tablette.
Nous supposons qu'aucune visite ne se fait simultanément sur les deux supports.

\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{4}{10}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{5}{10}=50\ \%

Par conséquent, 50 % des personnes naviguent sur un site à partir d'un appareil mobile (tablette ou smartphone) parmi les personnes interrogées.

2. a)   Arbre pondéré représentant la situation :

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b)   Soit l'événement A : "le visiteur utilise un smartphone et quitte le site après avoir visité la première page".

p(A)=p(S\cap R)\\\phantom{p(A)}=p(S)\times p_S(R)\\\phantom{p(A)}=0,4\times 0,65\\\phantom{p(A)}=0,26\\\\\Longrightarrow\boxed{p(A)=0,26}

c)   Selon la formule des probabilités totales, nous obtenons :

p(R)=p(S\cap R)+p(T\cap R)+p(O\cap R)\\\phantom{p(A)}=p(S)\times p_S(R)+p(T)\times p_T(R)+p(O)\times p_O(R)\\\phantom{p(A)}=0,4\times 0,65+0,1\times 0,53+0,5\times 0,59\\\phantom{p(A)}=0,608\\\\\Longrightarrow\boxed{p(R)=0,608}

Ce calcul confirme la valeur donnée dans l'énoncé.

3.   La probabilité qu'un visiteur utilise un ordinateur sachant qu'il a quitté le site après avoir consulté la première page est donnée par pR (O ).

P_R(O)=\dfrac{p(O\cap R)}{p(R)}\\\\\phantom{P_R(O)}=\dfrac{p(O)\times p_O(R)}{p(R)}\\\\\phantom{P_R(O)}=\dfrac{0,5\times 0,59}{0,608}\\\\\phantom{P_R(O)}=\dfrac{0,295}{0,608}\\\\\phantom{P_R(O)}\approx0,49\\\\\Longrightarrow\boxed{P_R(O)\approx0,49\ \ \ (\text{arrondi à 0,01})}

6 points

exercice 3

Partie A


1.   Dans la cellule D3, nous pouvons proposer la formule suivante : \boxed{=(\$C3 -\$C2)/\$C2}

2.   Dans la cellule E3, nous pouvons proposer la formule suivante : \boxed{=(\$B3 -\$B2)/\$B2}

3. a)   Le taux d'évolution global du prix du menu entre l'été 2012 et l'été 2015 se calcule par

                                \dfrac{\text{Valeur finale - Valeur initiale}}{\text{Valeur initiale}}=\dfrac{13,80-9,80}{9,80}\approx0,4082

Notons par T  le taux d'évolution global et par tm  le taux d'évolution annuel moyen.

Entre 2012 et 2015, le taux d'évolution annuel moyen du prix du menu vérifie la relation 1+T=(1+t_m)^3.

\text{D'où   }\ \ 1+T=(1+t_m)^3\Longleftrightarrow1+0,4082=(1+t_m)^3\\\phantom{\text{D'où   }\ \ 1+T=(1+t_m)^3}\Longleftrightarrow1,4082=(1+t_m)^3\\\phantom{\text{D'où   }\ \ 1+T=(1+t_m)^3}\Longleftrightarrow1+t_m=1,4082^{\frac{1}{3}}\\\phantom{\text{D'où   }\ \ 1+T=(1+t_m)^3}\Longleftrightarrow t_m=1,4082^{\frac{1}{3}}-1\\\phantom{\text{D'où   }\ \ 1+T=(1+t_m)^3}\Longleftrightarrow t_m\approx0,1209

Par conséquent, le taux annuel d'évolution moyen du prix du menu entre l'été 2012 et l'été 2015 est d'environ 12,09 % (arrondi à 0,01 %).

b)   Le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de 12,09 % est égal à 1 + 0,1209 = 1,1209.

Nous savons qu'en 2015, le prix du menu est de 13,80 euros.
1,12092 multiplie 13,80 environegal 17,34.

D'où pour l'année 2017, nous pourrons prévoir un prix du menu à environ 17,34 euros.

4.   Nous avons montré dans la question 3a) que le taux annuel d'évolution moyen du prix du menu entre l'été 2012 et l'été 2015 est d'environ 12,09 %.
A chacune de ces augmentations, le nombre de couverts diminuait de 25 unités.
Nous pouvons donc conjecturer que cette diminution de couverts perdurera entre l'été 2015 et l'été 2017, ce qui engendrera une perte de 2 fois 25 couverts.
En 2015, le nombre hebdomadaire de couverts s'élevait à 345.
345 - 2 multiplie 25 = 295.
Par conséquent, durant l'été 2017, nous pouvons estimer le nombre hebdomadaire moyen de couverts à 295.

Partie B


1. a) N(x)=-19x+604

\text{Donc  }\ \ N(11)=-19\times11+604\\\phantom{\text{Donc  }\ \ N(11)}=395

D'où lorsque le prix du menu est de 11 euros, le nombre hebdomadaire moyen de couverts est de 395 euros.

b)   Le chiffre d'affaires hebdomadaire se calcule en multipliant le prix d'un menu par le nombre hebdomadaire de couverts.

395 multiplie  11 = 4345.

Par conséquent, lorsque le prix du menu est de 11 euros, le chiffre d'affaires hebdomadaire réalisé par la brasserie est de 4345 euros.

c)   En appliquant la démarche effectuée dans l'exercice 1. b), nous obtenons :

C(x)=N(x) \times x\\\phantom {C(x)}=(-19x+604)\times x\\\phantom {C(x)}=-19x^2+604x\\\\\Longrightarrow\boxed{C(x)=-19x^2+604x}

2.  C(x)=-19x^2+604x

{\red{\text{a)} }}\ \ C'(x)=(-19x^2)'+(604x)'\\\phantom{{\red{\text{a)} }}\ \ C'(x)}=-19(x^2)'+604x'\\\phantom{{\red{\text{a)} }}\ \ C'(x)}=-19\times2x+604\times1\\\phantom{{\red{\text{a)} }}\ \ C'(x)}=-38x+604\\\\\Longrightarrow\boxed{C'(x)=-38x+604}

b)   Etude du signe de C' (x ) sur l'intervale [0 ; 25].

\begin{array}l {\red{C'(x)=0}}\Longleftrightarrow-38x+604=0\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow38x=604\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow x=\dfrac{604}{38}\\\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow\red{x=\dfrac{302}{19}}\end{array}\begin{array}l |\\|\\|\\|\\|\\|\end{array}\begin{array}l {\red{C'(x)>0}}\Longleftrightarrow-38x+604>0\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow38x<604\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow x<\dfrac{604}{38}\\\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow\red{x<\dfrac{302}{19}}\end{array}\begin{array}l |\\|\\|\\|\\|\\|\\\end{array}\begin{array}l {\red{C'(x)<0}}\Longleftrightarrow-38x+604<0\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow38x>604\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow x>\dfrac{604}{38}\\\\\phantom{f'(x)=0}\Longleftrightarrow\red{x>\dfrac{302}{19}}\end{array}

Nous en déduisons que si x\in[0;\dfrac{302}{19}[ , alors C' (x ) > 0 et si x\in\ ]\dfrac{302}{19};25] , alors C' (x ) < 0.

c)   Tableau de variations de la fonction C  sur l'intervalle [0 ; 25].

                         \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&\dfrac{302}{19}&&25\\&&&&&\\\hline C'(x)&&+&0&-&\\\hline &&&C(\frac{302}{19})&& \\ C(x)&&\nearrow&&\searrow& \\ &0&&{\red{\text{max}}}&&3225 \\ \hline \end{array}

3. a)   Le tableau de variations de la fonction C  nous montre que cette fonction C  admet un maximum

pour x=\dfrac{302}{19}\approx15,89.

Par conséquent, le chiffre d'affaires hebdomadaire de la brasserie sera maximal pour un menu dont le prix sera fixé à 15,89 euros (arrondi au centième d'euro).

{\red{\text{b)} }}\ \ C(\dfrac{302}{19})=-19\times(\dfrac{302}{19})^2+604\times(\dfrac{302}{19})\\\\\phantom{{\red{\text{b)} }}\ \ C(\dfrac{302}{19})}\approx4800

Donc pour un prix de 15,89 euro par menu, le chiffre d'affaires hebdomadaire de la brasserie s'élèvera à environ 4800 euros.

Partie C


Déterminons l'intervalle de confiance I_{50} au seuil de 95% de la proportion de clients favorables au changement.

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de confiance sont remplies.
En effet,

\left\lbrace\begin{array}l n=50\ge30 \\ f=\dfrac{39}{50}=0,78\Longrightarrow nf=50\times0,78=39\ge5 \\n(1-f)=50\times(1-0,78)=50\times0,22=11\ge5 \end{array}

Donc l'intervalle de confiance I_{50} au seuil de 95% est :  I_{50}=\left[0,78-\dfrac{1}{\sqrt{50}};0,78+\dfrac{1}{\sqrt{50}}\right]

\Longrightarrow\boxed{I_{50}\approx[0,63\ ;\ 0,93]}

4 points

exercice 4

1.   Calculons p(T < 145).

p(T < 145) = 0,5 + p(135 < T < 145)
                        environegal 0,5 + 0,47724986
                        environegal 0,97724986

Puisque p(T < 145) different 0,02, la réponse a) n'est pas correcte.

Calculons p(125 < T < 145).

Par la calculatrice, nous obtenons p(125 < T < 145) environegal 0,95449973.

D'où p(125 < T < 145) environegal 0,95.

Par conséquent, la réponse correcte est la réponse \red{\boxed{\text{b)}}} .

2.   Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I400  au seuil de 95 % de la fréquence de consommateurs bio régulers dans cet échantillon aléatoire de 400 personnes.

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

\left\lbrace\begin{array}l n=400\ge30 \\ p=0,43\Longrightarrow np=400\times0,43=172\ge5 \\n(1-p)= 400\times(1-0,43)= 400\times0,57=228\ge5 \end{array}

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I400  au seuil de 95% est :

 I_{400}=\left[0,43-1,96\sqrt{\dfrac{0,43 (1-0,43)}{400}};0,43+1,96\sqrt{\dfrac{0,43 (1-0,43)}{ 400}}\right]\\\\\Longrightarrow I_{400}\approx[0,38;0,48]

D'où au seuil de 95 %, 0,38 infegal f  infegal 0,48.

Par conséquent, la réponse correcte est la réponse \red{\boxed{\text{b)}}} .

{\red{\text{3.} }}\ \ f(x)=\dfrac{2x+1}{x-2}\\\\f'(x)=\dfrac{(2x+1)'\times(x-2)-(2x+1)\times(x-2)'}{(x-2)^2}\\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{2\times(x-2)-(2x+1)\times1}{(x-2)^2}\\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{2x-4-2x-1}{(x-2)^2}\\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{-5}{(x-2)^2}\\\\\Longrightarrow \boxed{f'(x)=\dfrac{-5}{(x-2)^2}}

Par conséquent, la réponse correcte est la réponse \red{\boxed{\text{b)}}} .

4.   Une équation de la tangente D  à la courbe \mathscr{C} au point A  d'abscisse 2 est de la forme y=f'(2)(x-2)+f(2).

Or f (2) = 1 car les coordonnées du point A  sont (2 ; 1).

f(x)=-x^2+x+3\Longrightarrow f'(x)=(-x^2)'+x'+3'\\\phantom{f(x)=-x^2+x+3}\Longrightarrow  f'(x)=-2x+1+0\\\phantom{f(x)=-x^2+x+3}\Longrightarrow  f'(x)=-2x+1\\\phantom{f(x)=-x^2+x+3}\Longrightarrow  f'(2)=-2\times2+1\\\phantom{f(x)=-x^2+x+3}\Longrightarrow\boxed{f'(2)=-3}

D'où une équation de la tangente D  est y  =-3(x  - 2) + 1,
soit y  =-3x  + 6 + 1,
soit y  =-3x  + 7.

Par conséquent, la réponse correcte est la réponse \red{\boxed{\text{a)}}} .

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