Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Mathématiques

ES-L Obligatoire et spécialité

Métropole 2017

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Corrigé

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6 points

exercice 1 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS

1. a. T_1 est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle [0 ; 12].

D'où P(T_1\ge5)=P(5\le T_1\le12)=\dfrac{12-5}{12-0}=\dfrac{7}{12}\approx0,583

Par conséquent, la probabilité qu'un client attende au moins 5 minutes avant d'être pris en charge est égale à \dfrac{7}{12} soit environ 0,583.

b. Le temps moyen d'attente est donné par E(T_1)=\dfrac{0+12}{2}=6
Donc le temps moyen d'attente est de 6 minutes.

2. T_2 est une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne 5 et d'écart type 1,5.

Par la calculatrice, nous obtenons : P(0,75\le T_2\le6)\approx0,74520419

En arrondissant cette valeur à 10^{-3}, nous trouvons : \boxed{P(0,75\le T_2\le6)\approx0,745}

3. a. L'expérience consiste en une répétition de 10 choix de caisses, ces choix étant indépendants et identiques.
A chaque choix de caisse, il n'existe que deux possibilités : la caisse est en panne avec une probabilité p = 0,1 ou la caisse n'est pas en panne avec une probabilité 1-p = 0,9.
Donc la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,1.

b. Si aucune caisse automatique ne tombe en panne, alors X = 0.

P(X=0)=\begin{pmatrix}10\\0\end{pmatrix}\times0,1^0\times0,9^{10}

P(X=0)=1\times1\times0,9^{10}

\boxed{P(X=0)=0,9^{10}\approx0,349}

D'où la probabilité pour qu'aucune caisse automatique ne tombe en panne pendant une journée donnée est égale à 0,9^{10}\approx0,349

4. Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I_{860} au seuil de 95% de la fréquence des clients satisfaits.

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

n=860\ge30\\\\p=90\%=0,9\Longrightarrow np=860\times0,9=774\ge5\\\\n(1-p)=860\times(1-0,9)=860\times0,1=86\ge5

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I_{860} au seuil de 95% est :

I_{860}=[0,9-1,96\sqrt{\dfrac{0,9(1-0,9)}{860}};0,9+1,96\sqrt{\dfrac{0,9(1-0,9)}{860}}]\\\\I_{860}\approx[0,880;0,920]

Or la fréquence observée est f=\dfrac{763}{860}\approx0,887

Nous observons que f\in I_{860}.

Par conséquent, le sondage ne remet pas en question l'affirmation du gérant (au seuil de 95%). 5 points

exercice 2 - Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité


Partie A


1. Puisque la première énigme est facile, nous trouvons : a_1=1\ \ ;\ \ b_1=0

D'où la matrice \boxed{P_1=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}}

2. La situation peut être représentée par le graphe probabiliste suivant :

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3 La matrice associée à ce graphe est alors \boxed{M=\begin{pmatrix}0,85&0,15\\0,1&0,9\end{pmatrix}}

Nous en déduisons la matrice P_2.

P_2=P_1\times M\\\\P_2=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,85&0,15\\0,1&0,9\end{pmatrix}\\\\P_2=\begin{pmatrix}1\times0,85+0\times0,1&1\times0,15+0\times0,9\end{pmatrix}

\boxed{P_2=\begin{pmatrix}0,85&0,15\end{pmatrix}}

4. Nous savons que pour tout entier n\ge1,\ \ P_{n+1}=P_n\times M

soit que \begin{pmatrix}a_{n+1}&b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,85&0,15\\0,1&0,9\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}a_{n+1}&b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,85a_{n}+0,1b_n&0,15a_n+0,9b_{n}\end{pmatrix}

D'où a_{n+1}=0,85a_{n}+0,1b_n

Or a_n+b_n=1\Longrightarrow b_n=1-a_n

Donc a_{n+1}=0,85a_{n}+0,1(1-a_n)

a_{n+1}=0,85a_{n}+0,1-0,1a_n\\\\\boxed{a_{n+1}=0,75a_{n}+0,1}

5. a. Pour tout entier n\ge1, v_{n+1}=a_{n+1}-0,4

v_{n+1}=(0,75a_{n}+0,1)-0,4\\\\v_{n+1}=0,75a_{n}+0,1-0,4\\\\v_{n+1}=0,75a_{n}-0,3\\\\v_{n+1}=0,75a_{n}-0,75\times0,4\\\\v_{n+1}=0,75(a_{n}-0,4)\\\\\boxed{v_{n+1}=0,75v_n}

Par conséquent, \boldsymbol{(v_n)} est une suite géométrique de raison 0,75 et dont le premier terme est v_1=a_1-0,4=1-0,4=0,6.

b. Le terme général de la suite (v_n) est v_n=0,6\times(0,75)^{n-1}

Or v_n=a_n-0,4\Longrightarrow a_n=v_n+0,4

D'où pour tout n\ge1

a_n=0,6\times(0,75)^{n-1}+0,4\\\\a_n=0,6\times\dfrac{(0,75)^{n}}{0,75}+0,4\\\\a_n=\dfrac{0,6}{0,75}\times(0,75)^{n}+0,4\\\\\boxed{a_n=0,8\times(0,75)^{n}+0,4}

c. Nous savons que \lim\limits_{n\to+\infty}(0,75)^n=0 car -1 < 0,75 < 1.

Donc \lim\limits_{n\to+\infty}(0,75)^{n-1}=0

Nous déduisons alors que

\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=\lim\limits_{n\to+\infty}0,6\times(0,75)^{n}=0,6\times0\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=0}

d. Nous savons que pour tout entier n supegal 1 : a_n=v_n+0,4 et que \lim\limits_{n\to+\infty}v_n=0

Nous en déduisons alors que \lim\limits_{n\to+\infty}a_n=0+0,4

\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=0,4}

Nous pouvons interpréter ce résultat en disant que plus le joueur évolue dans le jeu, plus la probabilité d'avoir à résoudre des questions faciles se rapproche de 0,4.
Cela revient à dire que plus le joueur évolue dans le jeu, plus la probabilité d'avoir à résoudre des questions difficiles se rapproche de 0,6.

Or une probabilité égale à 0,5 représente l'équilibre entre les risques de questions faciles et difficiles.

Par conséquent, puisque 0,6 > 0,5, plus le joueur évolue dans le jeu, plus il risque d'avoir à résoudre des énigmes difficiles.
L'analyse est donc correcte.

Partie B


Utilisons l'algorithme de Dijkstra afin de déterminer le trajet minimisant le temps de parcours.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline&A&\ \ B\ \ &\ \ C\ \ &\ \ D\ \ &E&F&G\\\hline A&\ \ 0\ \ &&&&&&\\\hline B&&2_A&6_A&10_A&&&\\\hline C&&&5_B&10_A&&&17_B\\\hline D&&&&9_C&14_C&&17_B\\\hline E&&&&&12_D&&17_B\\\hline F&&&&&&13_E&16_E\\\hline G&&&&&&&16_E\\ \hline \end{array}

Nous en déduisons que le trajet minimisant le temps de parcours est le trajet A - B - C - D - E - G.
La durée de ce trajet est de 16 minutes.

5 points

exercice 2 - Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L


Partie A


1. Le nombre d'adhérents au 1er janvier 2017 est égal à 900.
Au bout d'un mois, le jour de référence sera le 1er février 2017.
Au bout de deux mois, le jour de référence sera le 1er mars 2017.
D'où une estimation du nombre d'adhérents au 1er mars 2017 sera donné par u_2

Nous obtenons alors :

u_0=900\\u_1=0,75\times u_0+12=0,75\times900+12=687\\u_2=0,75\times u_1+12=0,75\times687+12=527,25

Par conséquent, au 1er mars 2017, le nombre d'adhérents sera estimé à 527 adhérents.

2. a. Pour tout entier naturel n, v_n=u_n-48

v_{n+1}=u_{n+1}-48\\\\v_{n+1}=(0,75u_n+12)-48\\\\v_{n+1}=0,75u_n+12-48\\\\v_{n+1}=0,75u_n-36\\\\v_{n+1}=0,75u_n-0,75\times48\\\\v_{n+1}=0,75(u_n-48)\\\\\boxed{v_{n+1}=0,75v_n}

D'où (v_n) est une suite géométrique de raison 0,75.

b. v_0=u_0-48=900-48=852
Le terme général de la suite (v_n) est v_n=v_0\times0,75^n, soit \boxed{v_n=852\times0,75^n}

c. v_n=u_n-48\Longrightarrow u_n=v_n+48
Nous en déduisons donc que pour tout entier naturel n, \boxed{u_n=852\times0,75^n+48}

3. Nous recherchons la valeur du plus petit nombre entier naturel n vérifiant l'inéquation u_n<100.

Or

u_n<100\\\\\Longleftrightarrow852\times0,75^n+48<100\\\\\Longleftrightarrow852\times0,75^n<52\\\\\Longleftrightarrow0,75^n<\dfrac{52}{852}\\\\\Longleftrightarrow\ln(0,75^n)<\ln(\dfrac{52}{852})\\\\\Longleftrightarrow n\times\ln(0,75)<\ln(\dfrac{52}{852})\\\\\Longleftrightarrow n>\dfrac{\ln(\dfrac{52}{852})}{\ln(0,75)}\\\\\Longleftrightarrow n>9,72...

Puisque n est un nombre entier naturel, nous en déduisons que n supegal 10.

Par conséquent, si nous supposons que l'évolution du nombre d'adhérents se poursuit de la même manière, la présidente devra démissionner au bout de 10 mois car le nombre d'adhérents sera alors inférieur à 100.

Partie B


1. Algorithme

Variables :
S est un nombre réel
N est un entier
U est un nombre réel

Initialisation :
S prend la valeur 0
U prend la valeur 900


Pour N allant de 1 à 12
Affecter à S la valeur S + 10 x U
Affecter à U la valeur 0,75U + 12
Fin pour

Sortie :
S

2. La somme totale des cotisations perçues pendant l'année 2017 est donnée par

S=10\times u_0+10\times u_1+10\times u_2+...+10\times u_{11}\\\\S=10\times(u_0+u_1+u_2+...+u_{11})\\\\S=10\times[(852\times0,75^0+48)+(852\times0,75^1+48)+(852\times0,75^2+48)+...+(852\times0,75^{11}+48)]\\\\S=10\times(852\times0,75^0+48+852\times0,75^1+48+852\times0,75^2+48+...+852\times0,75^{11}+48)\\\\S=10\times(852\times0,75^0+852\times0,75^1+852\times0,75^2+...+852\times0,75^{11}+12\times48)

S=10\times(852\times0,75^0+852\times0,75^1+852\times0,75^2+...+852\times0,75^{11}+576)\\\\S=10\times(852\times0,75^0+852\times0,75^1+852\times0,75^2+...+852\times0,75^{11})+5760\\\\S=10\times852\times(0,75^0+0,75^1+0,75^2+...+0,75^{11})+5760\\\\S=8520\times(0,75^0+0,75^1+0,75^2+...+0,75^{11})+5760

Or 0,75^0+0,75^1+0,75^2+...+0,75^{11} est la somme de 12 termes consécutifs d'une suite géométrique de raison 0,75 dont le premier terme est 0,75^0=1

D'où

0,75^0+0,75^1+0,75^2+...+0,75^{11}=1\times\dfrac{1-0,75^{12}}{1-0,75}\\\\0,75^0+0,75^1+0,75^2+...+0,75^{11}=\dfrac{1-0,75^{12}}{0,25}

Nous obtenons alors :

S=8520\times\dfrac{1-0,75^{12}}{0,25}+5760\\\\\boxed{S\approx38760,47}

Par conséquent, le montant total des cotisations perçues par l'association durant l'année 2017 s'élève à 38760,47 euros.

6 points

exercice 3 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS


Partie A


1. f'(x)=(-3x+2)e^{3x}

Puisque la fonction exponentielle est strictement positive, le signe de la dérivée f' est celui de (-3x+2)

\left\lbrace\begin{array}l -3x+2=0\Longleftrightarrow x=\dfrac{2}{3}\\\\-3x+2>0\Longleftrightarrow x<\dfrac{2}{3}\\\\-3x+2<0\Longleftrightarrow x>\dfrac{2}{3}\end{array}
Nous obtenons ainsi le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 1] :

\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&0&&\dfrac{2}{3}&&1\\\hline -3x+2&&+&0&-&\\\hline f'(x)&&+&0&-&\\\hline &&&\dfrac{1}{3}e^{2}&& \\ f(x)&&\nearrow&&\searrow& \\ &1&&&&0\\ \hline \end{array}

2. La fonction f est dérivable deux fois sur l'intervalle [0 ; 1]
La courbe \mathscr{C}_f possède un point d'inflexion M si et seulement si la dérivée seconde de f s'annule en changeant de signe en l'abscisse du point M.

Or f''(x)=3e^{3x}(1-3x).

Puisque 3 > 0 et que la fonction exponentielle est strictement positive, le signe de la dérivée f'' est celui de (1-3x)

\left\lbrace\begin{array}l 1-3x=0\Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{3}\\\\1-3x>0\Longleftrightarrow x<\dfrac{1}{3}\\\\1-3x<0\Longleftrightarrow x>\dfrac{1}{3}\end{array}
Nous obtenons ainsi le tableau de signes de la dérivée seconde f'' et la convexité de la fonction f.

\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&0&&\dfrac{1}{3}&&1\\\hline 1-3x&&+&0&-&\\\hline f''(x)&&+&0&-&\\\hline \text{convexité de }f&&f\text{ est convexe}&\text{P.I.}&f\text{ est concave}&\\ \hline \end{array}

La courbe admet donc un point d'inflexion dont l'abscisse vaut x=\dfrac{1}{3}.

f(\dfrac{1}{3})=\dfrac{2}{3}e.

Par conséquent, les coordonnées du point d'inflexion de la courbe \mathscr{C}_f sont \boxed{(\dfrac{1}{3}\ ;\ \dfrac{2}{3}e)}

Partie B


1. Montrons que les points A(1 ; 0) et B(0 ; 1) sont communs aux deux courbes \mathscr{C}_f et \mathscr{C}_g.

\left\lbrace\begin{array}l f(1)=(1-1)\times e^{3\times1}=0\times e^3=0\Longrightarrow\boxed{f(1)=0}\\\\g(1)=1^2-2\times1+1=1-2+1=0\Longrightarrow\boxed{g(1)=0}\end{array}

D'où le point A est commun aux deux courbes \mathscr{C}_f et \mathscr{C}_g.

\left\lbrace\begin{array}l f(0)=(1-0)\times e^{3\times0}=1\times e^0=1\times1=1\Longrightarrow\boxed{f(0)=1}\\\\g(0)=0^2-2\times0+1=0-0+1=1\Longrightarrow\boxed{g(0)=1}\end{array}

D'où le point B est commun aux deux courbes \mathscr{C}_f et \mathscr{C}_g.

2. a. x appartient [0 ; 1] implique x supegal 0 implique 3x supegal 0.

La fonction exponentielle népérienne est strictement croissante sur R. Elle est donc strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 1]

D'où 3x\ge0\Longrightarrow e^{3x}\ge e^0\Longrightarrow e^{3x}\ge 1\Longrightarrow\boxed{e^{3x}-1\ge 0}

b. Pour tout x dans [0 ; 1],

\left\lbrace\begin{array}l e^{3x}-1\ge0 \\ x\ge0\end{array} \Longrightarrow\boxed{e^{3x}-1+x\ge0} (somme de deux nombres positifs)

c. On admet que pour tout x dans [0 ; 1], f(x)-g(x)=(1-x)(e^{3x}-1+x)

\left\lbrace\begin{array}l x\in[0;1]\Longrightarrow x\le1\Longrightarrow 1-x\ge0\\ e^{3x}-1\ge 0\end{array} \Longrightarrow\boxed{(1-x)(e^{3x}-1+x)\ge0}

Par conséquent, pour tout x dans [0 ; 1], f(x) - g(x) supegal 0

3. a. Nous savons que la fonction g est définie sur l'intervalle [0 ; 1] par g(x) = x² - 2x + 1

Une primitive de la fonction g est la fonction G définie par G(x)=\dfrac{x^3}{3}-x^2+x

D'où

\displaystyle\int\limits_0^1g(x)\,dx=\left[G(x)\right]\limits_0^1\\\\\displaystyle\int\limits_0^1g(x)\,dx=G(1)-G(0)\\\\\displaystyle\int\limits_0^1g(x)\,dx=\left(\dfrac{1^3}{3}-1^2+1\right)-\left(\dfrac{0^3}{3}-0^2+0\right)\\\\\displaystyle\int\limits_0^1g(x)\,dx=\dfrac{1}{3}-1+1-0\\\\\displaystyle\int\limits_0^1g(x)\,dx=\boxed{\dfrac{1}{3}}

b. Nous savons que pour tout x dans [0 ; 1] : f(x) - g(x) supegal 0, soit f(x) supegal g(x).
Puisque les fonctions f et g sont continues sur l'intervalle [0 ; 1], nous déduisons que l'aire S est donnée par

S=\displaystyle\int\limits_0^1(f(x)-g(x))\,dx\\\\\displaystyle S=\int\limits_0^1f(x)\,dx-\int\limits_0^1g(x)\,dx

Or on admet que \displaystyle\int\limits_0^1f(x)\,dx=\dfrac{e^3-4}{9}

De plus, nous savons que \displaystyle\int\limits_0^1g(x)\,dx=\dfrac{1}{3}

Par conséquent,

S=\dfrac{e^3-4}{9}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{e^3-4}{9}-\dfrac{3}{9}=\dfrac{e^3-4-3}{9}\\\\\boxed{S=\dfrac{e^3-7}{9}\ \text{u.a.}\approx1,5\ \text{u.a.   (arrondi au dixième)}}

3 points

exercice 4 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS


1. P(X=c)=\dfrac{\ln(c+1)-\ln (c)}{\ln(10)}

P(X=1)=\dfrac{\ln(1+1)-\ln (1)}{\ln(10)}\\\\P(X=1)=\dfrac{\ln(2)-0}{\ln(10)}\\\\\Longrightarrow \boxed{P(X=1)=\dfrac{\ln(2)}{\ln(10)}\approx0,301}

2. a. Premier cas
Calculons la fréquence f des communes dont la population est un nombre commençant par 1.

\boxed{f=\dfrac{11094}{36677}\approx0,302}

Puisque les valeurs de f et de P(X = 1) sont très proches l'une de l'autre, nous pouvons dire que cette observation est compatible avec l'affirmation : "le premier chiffre de la population des communes en France au 1er janvier 2016 suit la loi de Benford"

b. Second cas
Nous pouvons supposer que les tailles des candidats au baccalauréat de la session 2017 sont comprises entre 100 cm et 200 cm, les candidats ne respectant pas ces normes étant très rares.

La fréquence de ces candidats est donc proche de 1.

Si X est la variable aléatoire égale au premier chiffre de la taille en centimètres d'un candidat pris au hasard,
alors nous savons que P(X = 1) environegal 0,301.

Puisque la valeur de la fréquence et la valeur 0,301 ne sont pas "proches" l'une de l'autre, nous pouvons dire que la loi de Benford ne semble pas être un modèle valide dans ce second cas.
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