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1 S : puissance d'un point par rapport à un cercle
BONSOIR J'AURAIS BESOIN DE VOTRE AIDE, J'AI FAIT LE DM MAIS J'HESITE POURIEZ VOUS M'AIDEZ ?
Merci D'avance
ENONCE
1a) Soit un cercle de centre O et de rayon r. Une droite contenant M coupe le cercle en deux points A et B. On note E le point diamétralement opposé à A.
*Démontrez que MA.MB=MA.ME
*En déduire que MA.MB=MO²-r²
1b) Ce résultat est-il encore vrai si :
*M est un point du cercle (M=A)
*La droite (MA) est tangente au cercle (A=B)
1c) Soit M un point du plan.2 droites contenant M coupent le cercle, l'une en A et B, l'autre en C et D.
*Démontrer que MA.MB=MC.MD
Cette valeur commune est appelée puissance du point M par rapport au cercle.
2) Un cercle de centre O et de rayon 4. Un point M tel que OM=6
* Calculer la puissance de M par rapport au cercle C
Le cercle de centre M et de rayon 3 coupe C en 2 points. Soit A l'un de ces points. La droite (AM) coupe C en B.
*Calculer MB
3) Soit 4 points distincts A,B,C et D tels que les droites (AB) et (CD) se coupent en un point M. On suppose que MA.MB=MC.MD
a)Prouver que les points A, B, C ne peuvent pas être alignés.
b) Soit C le cercle contenant les points A,B,C. La droite (MC) recoupe le cercle C en D'.
En utilisant le résultat 1c) et l'hypothèse 1).
*Démontrez que les points D et D' sont confondus. Enoncer la propriété ainsi démontrée.
[i] REPONSE [/i]
1.a)
* MA.MB = MA.(ME+EB)= MA.ME + MA.EB = MA.ME + 0 = MA.ME
* MA.ME = (M0+OA).(MO+OE)= M0.M0 + M0.0E + 0A.M0 + OA.OE = M0²-r²
1.b)
* Si M est un point du cercle (M=A)
alors MA=0;donc le résultat n'est pas vrai car MA.MB = MA.MA = 0
* Si la droite (MA) est tangante au cercle (A=B)
comme MA.MB = MA.ME donc le résultat est vrai
1.c)
JE NE SUIS PAS SUR
* MC.MD = (MO+OC).(MO+0D)= M0²+ MO.0D +0C.MO + 0C.0D = M0²-r²
Donc MC.MD = MA.MB = MA.ME = MO²-r²
2.
* MA.MB = MC.MD = M0²-r² =36-16=20
* POUR CALCULER MB JE NE SAIS PLUTOT JE NI ARRIVE PAS
3.
a) d'apres thales on a : MC/MD =MA/MB
donc A,B,C n'est pas alignés
b) Les 3 points ne sont pas alignés et le cercle C est le cercle circonscrit du triangle ABC.
Et comme MA.MB = MC.MD et (MC) recoupe le cercle en D' donc (MD) aussi recoupe en D'
=>MA.MB = MC.MD'
MC.MD = MC.MD'
Les 4 points M,C,D,D' sont alignés donc D et D' sont confondus.
bonsoir
1.b) si M=A alors MA.MB=MA.ME et MA.MB=MO²-r² deviennent :
¤ AA.AB=0 et AA.AE=0 donc MA.MB=MA.ME
¤ MA.MB=AA.AB=0 et AO²-r²=r²-r²=0 donc MA.MB=MO²-r²
pour moi, sauf erreur, les relations sont vraies pour M=A, non ?
.
Bonjour dede4.
Je t'ai joins une figure dans laquelle tu retrouves les éléments donnés : une droite passant par M sécante au cercle de centre O en A et B, E le point du cercle diamétralement opposé à A et T le point de contact d'une tangente au cercle passant par M.
Plusieurs voies sont alors possibles pour montrer ce qui t'est indiqué.
Par exemple : .
En examinant la figure, tu as les deux triangles MAT et MBT. Ils ont l'angle de sommet M commun. De plus, l'angle MTA est tangentiel pour le cercle de centre O et l'angle MBT est inscrit pour ce même cercle; ils interceptent l'arc AT : ils ont donc la même amplitude (propriété des angles dans un cercle). Ainsi, le 3e angle a la même amplitude dans chacun des deux triangles : ils sont donc semblables. Dès lors, tu as MAT sembl MTB.
On en déduit que .
De plus, le triangle MOT est rectangle en T car une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon passant par son point de contact.
Par Pythagore, tu as si tu désignes la distance MO par d et le rayon du cercle par r. Tu remplaces dans la relation avec MA.MB et tu as
, ce qui est remarquable puisque M est un point quelconque et A,B sont les intersections d'une droite quelconque passant par M et sécante au cercle. Donc, c'est une quantité constante appelée puissance du point M par rapport au cercle.
Une autre voie est l'utilisation du produit scalaire en tenant compte que le point E détermine avec A et B un triangle rectangle en B car inscrit dans un demi-cercle.
A toi de développer ce produit scalaire...
Bon travail.
merci pour vos commentaires
mikayaou en fait je n'ai pas compris comment ta prouvé que MC.MD=MO²-r² pour 1.c).
pourais tu le develloper
je te remercie d'avanve
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