1. A et B sont deux points de la parabole (P). Ils ont donc pour
coordonnées respectives :
A(a; a²) et B(b; b²)

Pour déterminer les coordonnées du milieu I du segment [AB], on utilise
les coordonnées :
x_I = (x_A + x_B) / 2
= (a + b) / 2
et
y_I = (y_A + y_B) / 2
= (a² + b²) / 2

D'où : I( (a+b)/2 ; (a²+b²)/2 )


2. Pour déterminer les équations des tangentes à (P) aux points A et
B :

l'équation de la tangente de la courbe représentative de f au point d'absisse
a est :
y = f '(a) (x - a) + f(a)

Tu appliques ce résultat avec f(x) = x².

Tu dois trouver :
Equation de la tangente à (P) au point A :
y = 2ax - a²

Equation de la tangente à (P) au point B :
y = 2bx - b²


3. Les coordonnées du point J(x; y), intersection de ces
tangentes, vérifient les deux équations, c'est-à-dire :
y = 2ax - a²
y = 2bx - b²

Tu résous ce système pour trouver x et y.
Tu trouveras :
x = (a+b) / 2 et y = ab

D'où : J( (a+b) / 2 ; ab)

4. Les points I et J ont la même abscisse.

5. Tu calcules les coordonnées M du milieu du segment [IJ] en utilisant
la même formule qu'à la question 1.

Et tu vérifies que le point M appartient à (P). Pour cela tu regardes
si les coordonnées du point M vérifient l'équation de la parabole
(P).

6. Tu cherches l'équation de la tangente en M à (P).
Tu cherches l'équation de la droite (AB).
Si ces deux droites ont le même coefficient directeur, alors elles sont
parallèles.


Voilà un petit peu d'aide, tu devrais pouvoir finir ton exercice tout
seul, mais si tu as encore des questions, n'hésite pas.