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Aire d'un triangle produit scalaire

Posté par
Celia
16-04-11 à 14:50

Bonjours à tous !
J'aurais besoin de votre aide pour un exercice:
ABC est un triangle d'aire notée S.
a correspond au côté CB
b correspond au côté AC
c correspond au côté AB

1) Ecrire S en fonction de b,c et sin  puis démontrer que:
2S/abc= sin Â/a

2) en déduire que a/sinÂ= b/sinB = c/sinC

3) ABC est un triangle tel que BC=4, angleB= 75 degrés et angleC= 45 degrés.
Calculer AB et AC

Voilà.. Je sais juste que l'aire (ABC)=1/2* AB* AC* sin (Â)

Merci d'avance pour votre aide pour que je puisse avancer !

Posté par
jtorresm
re : Aire d'un triangle produit scalaire 16-04-11 à 16:50

Salut!

S = (1/2).base.hauteur

Si l'on prend comme base b (le côté AC), on prendra comme hauteur celle issue de B qui coupe AC en angle droit. Disons que cette hauteur est appelée h

Donc

S = (1/2).b.h

Mais sin A = h / c

donc: h = c.sin A

On remplace:

S = (1/2).b.c.sin A

Et on divise les deux côtés par abc

S/abc = (1/2).sin A/a

D'où

2S/abc = sin A/a

Tu pourras continuer

Johnny

Posté par
Celia
re : Aire d'un triangle produit scalaire 18-04-11 à 18:00

Merci de ta réponse !

Cela m'a beaucoup aidé mais est-ce que on a écrit S en fonction de b, c , sin A ?

Je ne comprend pas comment on peut déduire après ca, ce que l'on nous dit dans la 2)..

Posté par
jtorresm
re : Aire d'un triangle produit scalaire 18-04-11 à 20:28

Citation :
Cela m'a beaucoup aidé mais est-ce que on a écrit S en fonction de b, c , sin A ?

JE RECOPIE:

S = (1/2).b.h

Mais sin A = h / c

donc: h = c.sin A

On remplace:

S = (1/2).b.c.sin A   <--------------------------- ICI!!!!!!!

Et on divise les deux côtés par abc

S/abc = (1/2).sin A/a

D'où

2S/abc = sin A/a


Johnny

Posté par
Celia
re : Aire d'un triangle produit scalaire 18-04-11 à 23:06

Oui ! Excuse moi..
Je n'arrive pas à faire la suite.. On trouve 2S/abc=SinA/a mais comment arrive-t-on à a/sinA=....
Je suis vraiment pas douée désolée.. :/

Posté par
jtorresm
re : Aire d'un triangle produit scalaire 19-04-11 à 00:00

Je recopie encore:

S = (1/2).b.c.sin A  

S = \frac{1}{2}(b.c.sin A)

ce qui équivaut à:

2.S = b.c.sin A

Et on divise ensuite les deux côtés par a.b.c (a fois b fois c)

\frac{2.S}{a.b.c} = \frac{b.c.sin(A)}{a.b.c}
 \\

D'où

\frac{2.S}{a.b.c} = \frac{sin(A)}{a}
 \\

Johnny

Posté par
jtorresm
re : Aire d'un triangle produit scalaire 19-04-11 à 00:10

Tu repeteras exactement la même procedure pour les autres côtés et angles:

Pour l'angle en C

sin C = h / a

donc h = a sin C <----

S = (1/2).b.h

On remplace maintenant h

S = (1/2) b . a sin C

2 S = ab sin C

On divise par abc

2S/abc = ab sin C / abc

2S / abc = sin C / c


Pour l'angle en B, pareil. Tu arriveras à que 2S / abc = sin B / b

Donc:

2S / abc = sin A / a

2S / abc = sin B / b

2S / abc = sin C / c


EN conséquence:

sin A / a = sin B / b = sin C / c

qui peut être écrite aussi:

a / sin A = b / sin B = c / sin C

Pour inverser les quotients t'as point besoin de démonstration, c"est juste une propriété des fractions.

Johnny



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