Cliquez pour afficher

Soit x, y et z les 3 dimensions du pavé.
On peut imposer dans les calculs 1 <= x <= y <= z  (1)

On a alors : x.y.z = 2(xy+xz+yz)
1 = 2 * (1/x + 1/y + 1/z)

1/x + 1/y + 1/z = 1/2  (2)

x = 1 ou 2 est impossible (amène y infini)
--> x >= 3

Si x >= 7, alors y et z >= 7 (par (1) --> 1/x + 1/y + 1/z <= 3/7 et donc (2) ne peut pas être satisfaite.

On a donc : 3 <= x <= 6 avec x <= y <= z

Il faut donc envisager séparément les cas x = 3, x = 4, x = 5 et x = 6

a) x = 3
L'équation (2) devient : 1/y + 1/z = 1/2 - 1/3
1/y + 1/z = 1/6 ... qui impose 7 <= y <= 12
on essaie :
si y = 7 --> z = 42
si y = 8 --> z = 24
si z = 9 --> z = 18
si y = 10 --> z = 15
si y = 11 --> z pas entier
si y = 12 --> z = 12

On a donc les triplets solutions (3,7,42) , (3,8,24) , (3,9,48) , (3,10,15) , (3,12,12)
Tous les triplets obtenus par permutations des valeurs de x,y,et z sont évidemment aussi solutions.

b) on agit pareillement à partir de x = 4 , puis x = 5, puis x = 6 ...
et on obtient toutes les solutions possibles, mais je n'ai pas le courage d'écrire tous les calculs ici (bien que cela ne présente pas de difficulté)

On finit par trouver 10 triplets (x,y,z) solutions ... plus toutes les permutations entre les valeurs de x,y,et z

Parmi toutes ces solutions, on cherche celle qui correspond au plus grand volume : c'est le triplet (3,7,42), de volume 882 m³