Niveau exercices

alphabet et proba

Posté par
flight 12-11-20 à 15:07

Bonjour

On se donne les lettres de l'alphabet pour cet exo , l'expérience consiste à tirer successivement et sans remise des lettres choisie au hasard, on appelle X la variable aléatoire égal au rang d'apparition de la 3 ième voyelle .
Que vaut P(X=k) ?

Posté par re : alphabet et proba 12-11-20 à 20:30

Bonsoir

Je me lance

Il est clair que X est à valeurs dans {3,...,23}

Pour choper la troisième voyelle au rang k, il faut avoir chopé 2 voyelles et k-3 consonnes par les tirages précédents, et ce dans n'importe quel ordre, et ensuite tirer une des 4 voyelles parmi les 26-k+1 lettres restantes

ce qui se produit avec une probabilité de $\dbinom{k-1}{2}\dfrac{\left(\prod_{i=20-k+4}^{20}i\right)\times 5 \times 6}{\prod_{j=26-k+2}^{26} j}\times \dfrac{4}{26-k+1}$

ce qui donne avec des factorielles $\dfrac{(k-1)(k-2)}{2}\times \dfrac{\frac{20!}{(20-k+3)!}\times 30}{\frac{26!}{(26-k+1)!}}\times \dfrac{4}{26-k+1}$

la simplification de l'expression est laissée en exercice