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Amusement avec Pythagore

Posté par
dpi
19-06-22 à 18:28

Bonjour à tous ,
Pour se détendre...
Quand on observe les triplets pythagoriciens ,on trouve par exemple
24²+7²=25²=20²+12² soit une paire .

On recherche  un triplet.  

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Amusement avec Pythagore 19-06-22 à 18:41

Une coquille avec le 12 ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Amusement avec Pythagore 19-06-22 à 18:50

Si j'ai bien compris, il s'agit de trouver 3 couples d'entiers (a,b) (c,d) et (e,f) tels que a2+b2, c2+d2 et e2+f2 soient égaux au même carré.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Amusement avec Pythagore 19-06-22 à 22:59

Bonjour
voir le théorème de noël (du 25/12/1640) qui donne le nombre de décompositions d'un nombre (eg. d'un carré) en somme de carrés

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Posté par
dpi
re : Amusement avec Pythagore 20-06-22 à 07:39

Mes excuses pour la coquille 24²+7²=25²=20²+15²

Sans regarder la réponse de mathafou .vous pouvez essayer...
A  noter qu'i existe un quadruplet plus petit...lequel?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Amusement avec Pythagore 20-06-22 à 11:20

d'hypoténuse entière et de côtés non nuls ??
je demande à voir...

Posté par
dpi
re : Amusement avec Pythagore 20-06-22 à 13:11

Je veux dire plus "petit" que ton triplet gagnant...

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Posté par
mathafou Moderateur
re : Amusement avec Pythagore 20-06-22 à 13:16

 Cliquez pour afficher

Posté par
mathafou Moderateur
re : Amusement avec Pythagore 20-06-22 à 13:28

PS
quand on parle d'un triplet de solutions, on parle d'un triplet de seulement trois décompositions,
pas de 3 parmi un quadruplet ou plus
sinon oui, et même qu'il y a dans ces conditions plus petit que le tien :
mon quadruplet d'où on peut certes tirer quatre triplets, mais ça n'empêche que c'est un quadruplet.

tu ne demandais pas "au moins trois" , mais trois (exactement)

bref on est d'accord sur les résultats : le plus petit triplet est un triplet extrait d'un quadruplet

Posté par
dpi
re : Amusement avec Pythagore 20-06-22 à 14:56

La distraction  continue avec ces fameux triangles.

Qui réussira à empiler le plus grand nombre de triangles Pythagoriciens de façon que les cotés ou les hypoténuses soient liés
(et égaux )voir la figure pour 2 (pas à l'échelle).

Amusement avec Pythagore

Posté par
dpi
re : Amusement avec Pythagore 21-06-22 à 07:02

Cherchez bien, c'est amusant car il faut composer avec les triplets et les
possibilités géométriques (feuille type  mathafou  mais millimétrique).
Au delà de 6 ,seules les dimensions  doivent figurer  

Posté par
mathafou Moderateur
re : Amusement avec Pythagore 21-06-22 à 09:49

Ah ...
tu viens de te rendre compte qu'on pouvait aller aussi loin qu'on veut et donc tu limites dans une feuille A4 en millimètres ?
tu n'imposes pas que les sommets soient à coordonnées entières (en mm) ? ou si ?

et je suppose que tu souhaites des triangles tous différents ?
sinon on peut paver la feuille avec des triangles 3-4-5 ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Amusement avec Pythagore 21-06-22 à 09:58

PS modération

ceci est certes lié aux doublets, triplets etc
mais cela aurait mérité une discussion séparée
si tu la crées je peux faire le ménage mais je n'ai pas la possibilité d'usurper ton identité pour créer une discussion à ta place
et faire un clone demanderait bien trop de nettoyage

Posté par
mathafou Moderateur
re : Amusement avec Pythagore 21-06-22 à 10:45

en tout cas un début pas tellement prometteur (donc sans blank, juste pour amorcer la discussion)

Amusement avec Pythagore

les côtés 3 et 4 du 3-4-5 sont "stériles" (ils ne donnent que le même 3-4-5)
seule l'hypoténuse donne un seul autre triangle le (5, 12, 13)

à partir de celui là :
le 12 peut donner comme côté (12, 35, 37) (12, 9, 15) (et aucun en tant qu'hypoténuse)
le 13 peut donner une seule solution en tant que côté : (13, 84, 85)
qui à son tour peut en donner de nombreuses suivantes mais avec une taille qui devient vite démesurée :

84 comme côté :
(84, 880, 884) (84, 80, 116) (84, 288, 300) (84, 112, 140)
(84, 1763, 1765) (84, 437, 445) (84, 187, 205) (84, 585, 591)
(84, 135, 159) (84, 245, 259) (84, 35, 91) (84, 63, 105)
84 comme hypoténuse : aucun autre

85 comme côté :
(85, 3612, 3613) (85, 132, 157) (85, 720, 725)(85, 204, 221)
85 comme hypoténuse (différents):
(51, 68, 85) (77, 36, 85) (75, 40, 85)

bref, partir du (3, 4, 5) n'est peut être pas une si bonne idée que ça

Posté par
dpi
re : Amusement avec Pythagore 21-06-22 à 10:54

J e propose de rester ici et de laisser venir.
Bien entendu ,si on commence bien sur un quadrillage ,rapidement les hypoténuses  font quitter les noeuds
j'ai dépassé 10 triangles....
Tout compte fait ,seul un respect des proportions est valable et
le quadrillage devient inutile.
Le blank est superflu puisque il s'agit  d'une course au nombre

Posté par
mathafou Moderateur
re : Amusement avec Pythagore 21-06-22 à 11:28

pour info mon début sur(3,4,5) prolongé plus avant et plongé dans une feuille A4 (mm)

Amusement avec Pythagore

un triangle de 3mm sur 4mm est minuscule à cette échelle, j'ai masqué les valeurs au voisinage de cet ombilic, un zoom :

Amusement avec Pythagore

Posté par
dpi
re : Amusement avec Pythagore 21-06-22 à 12:17

Une figure de 10 triangles que je peux agrandir sur 4
cotés soit minimum 14.
Triangle noir de départ 24 45 51

Amusement avec Pythagore

Posté par
dpi
re : Amusement avec Pythagore 21-06-22 à 15:23

L'amusement continue
En voulant figurer mes 4 derniers ,j'ai eu la chance de retomber sur
le plus petit triangle de Pythagore 3    4   5  en noir , ce qui relance la machine...
Donc  16+++

Amusement avec Pythagore

Posté par
dpi
re : Amusement avec Pythagore 21-06-22 à 15:25

Si nécessaire ,je donnerai  une figure plus précise avec le détail des  16

Posté par
mathafou Moderateur
re : Amusement avec Pythagore 21-06-22 à 15:35

j'en suis à 36 triangles tous différents et en mm dans une feuille A4
figure trop monstrueuse, juste un aperçu :
Amusement avec Pythagore
je suis parti de ma figure précédente à partir du (3,4,5) que j'ai complétée de proche en proche
liste de mes triangles par ordre lexicographique

(3,4,5) (5,12,13) (6,8,10) (8,15,17) (9,12,15) (9,40,41) (10,24,26)
(12,16,20) (12,35,37) (13,84,85) (14,48,50) (15,36,39) (16,30,34)
(16,63,65) (17,144,145) (18,24,30) (18,80,82) (20,48,52) (21,28,35)
(21,72,75) (24,32,40) (24,45,51) (25,60,65) (27,36,45) (30,40,50)
(32,60,68) (35,84,91) (36,48,60) (39,52,65) (39,80,89) (45,60,75)
(48,90,102) (51,58,85) (54,72,90) (60,91,109) (60,63,87)

sauf erreur ou omission (liste tapée à la main)
aller plus loin nécessite de remettre en cause des choix en plein milieu
(en l'état , ça ne peut plus s'étendre dans A4 avec des triangles tous différents)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Amusement avec Pythagore 21-06-22 à 16:43

en fait on peut combler quelques trous oubliés et en décalant la feuille et en caser 40

ajout de (15,20,25) (20, 21, 29) (28,45,53) (40,42,58)

la largeur utilisée est de 209, 41 pour 210 mm (mais on peut aussi faire tourner la feuille ...)

Posté par
dpi
re : Amusement avec Pythagore 22-06-22 à 06:36

Je pense que cette recherche mérite de nouveaux participants qui
en principe aiment ce genre

On observe des cotés qui stoppent le développement de la figure
comme  les nombres premiers mais aussi des non-premiers comme
34 38 46 58 62 74 82 86 94   on peut aller jusqu'à 205 car ensuite
au vu de la feuille  A4 , on dépasse.
Au delà , l'étude ne présente plus de coté pratique .

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Posté par
dpi
re : Amusement avec Pythagore 22-06-22 à 07:08

Ok ,je viens de voir sur ta figure du 21 à 11h28

Posté par
mathafou Moderateur
re : Amusement avec Pythagore 22-06-22 à 10:05

la liste de mes triangles n'est pas dans l'ordre où ils sont obtenus , mais dans l'ordre croissant des valeurs ordonnées (ordre lexicographique)
ce tri est nécessaire pour s'assurer de ne pas reprendre un triangle déja utilisé

le facteur limitant est uniquement la taille !
et le télescopage par effet "escargot"

comme je le signalais au tout début, si on ne limite pas le terrain de jeu on peut aller jusqu'à l'infini sans aucune contrainte.

en vertu des résultats suivants :
dans un triangle rectangle l'hypoténuse est > chacun des côtés
toute hypoténuse entière peut être le côté de l'angle droit d'au moins un triangle rectangle à côtés entiers

on évite le phénomène d'escargot (qui ferait refermer la chaine sur elle même ) par le choix de l'orientation du nouveau triangle

ex. de début de chaine garantie infinie :
(3,4,5) (5,12,13) (13, 84, 85) (85, 204, 221)* (60, 221, 229) (229, 26220, 26221) etc (si pas de limite de taille disais-je)

(*) une possibilité parmi 4, d'autres choix entrainent une croissance plus ou moins rapide ensuite
en espace restreint si on ne veut pas être très rapidement bloqué par la taille on n'accroche pas le nouveau triangle systématiquement sur l'hypoténuse précédente.

ces différents choix (quel côté et cas multiples) compliquent énormément la recherche d'une disposition donnant le maximum de triangles. l'influence du choix sur le résultat ne se faisant sentir que plusieurs triangles plus tard.

Posté par
dpi
re : Amusement avec Pythagore 22-06-22 à 10:11

Merci mathafou d'avoir fait le tour du problème qui m'avait paru assez intéressant.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Amusement avec Pythagore 22-06-22 à 10:19

la figure correspondant à mon ajout du 21-06-22 à 16:43

Amusement avec Pythagore

la partie centrale a déja été zoomée et est inchangée
la feuille a été tournée pour mieux mettre en évidence que les points DEF sont bien dedans
(sans la tourner, on obtient comme, déja dit 209,41 pour 210 mm, ça passe mais on ne voit pas grand chose)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Amusement avec Pythagore 22-06-22 à 10:43

dans le genre d'autres amusettes sur les triangles pythagoriciens

on remarque des "patterns" intéressants dans ma figure, en particulier des triangles découpés par des triangles pythagoriciens

dont l'intéressant
Amusement avec Pythagore

1) démontrer que c'est vrai (= que B, E, D sont effectivement alignés)

2) en chercher d'autres (des triangles découpés en au moins 4 triangles pythagoriciens)

3) quel est le plus petit triangle pythagoricien (mon ABC n'est pas rectangle !) découpé en au moins 4 triangles pythagoriciens

Posté par
mathafou Moderateur
re : Amusement avec Pythagore 22-06-22 à 11:14

PS j'ai recensé 5 façons d'agencer4 triangles rectangles dans un triangle, et donc 5 fois le problème précédent.

 Cliquez pour afficher

Posté par
dpi
re : Amusement avec Pythagore 22-06-22 à 12:26

Pour l'alignement il faut  que la somme des angles soit
ce qui est vrai avec les cos  DEC.CEF.FEB  

Posté par
mathafou Moderateur
re : Amusement avec Pythagore 22-06-22 à 13:40

si on veut..
mais il ne faut pas faire ça avec la calculette en valeurs approchées, mais en valeurs exactes

je pense que c'est en tout cas plus facile en utilisant la tangente

tan (a+b+c) = \dfrac{\tan(a)+\tan(b)+\tan(c)-\tan(a)\tan(b)\tan(c)}{1-\tan(a)\tan(b) -\tan(b)\tan(c) - \tan(a)\tan(c)}
(formule méconnue, mais on peut le faire en deux fois avec tan(a+b))
ne fait intervenir que des tangentes
alors que la formule d'addition en cosinus fait intervenir cosinus et sinus.

Posté par
dpi
re : Amusement avec Pythagore 22-06-22 à 17:44

Je pense que les cos sont donnés par la figure:
45/75=0.6
21/75=0.28
21/35=0.6
avec la fonction arccos on obtient en radians0.92729522+1.2800222+0.92729522=

Ta question 3 est intéressante ,je cherche....

Posté par
mathafou Moderateur
re : Amusement avec Pythagore 22-06-22 à 19:11

les cosinus et les sinus et les tangentes sont lisibles directement sur la figure en fractions exactes

par contre
ce que tu fais est un calcul approché et pas une preuve, aussi précise que soit cette approximation ...

je pense qu'll serait bon de faire la 2 déja
(d'autres triangles avec la même propriété mais pas forcément eux même rectangles)

des triangles découpés en 2 on en trouve "à la pelle"
et même des triangles rectangles (la découpe d'un triangle rectangle par sa hauteur donne deux triangles semblables au tout, donc ce sont des multiples d'un même triangle primitif)

en 3 il suffit de partir d'un BCD rectangle découpé en deux et de l'étendre avec un triangle ACD quelconque (tout entier > 2 est un côté d'au moins un triangle de Pythagore) par le seul agencement possible

mais découpés en 4 ...
en tout cas cela donne de suite les agencements les plus simples pour une découpe en 4
les deux autres cas de figure ne se laissent pas faire si facilement, à suivre ...

Posté par
dpi
re : Amusement avec Pythagore 23-06-22 à 07:01

Bonjour,
Toujours pas d'amateurs
Ta figure du 22 à 10h19 mérite une citation à l'OEIS.
Effectivement la question 3 est ardue ,je vais tenter la 2 puis
10 jours sans ordi....

Posté par
mathafou Moderateur
re : Amusement avec Pythagore 23-06-22 à 07:28

Bonjour,
ce qui rend la 3 ardue est la recherche du plus petit
sinon, c'est assez facile d'en générer des tas

il n'est pas difficile de résoudre tout ça si on accepte des copies du même triangle dans la figure

la "plaisanterie" :
Amusement avec Pythagore
sera exclue si on impose que tous les triangles sont différents
il est quasi inévitable par contre d'avoir au moins deux triangles semblables (multiples d'un même triangle primitif)

un indice à déja été donné le 22-06-22 à 11:14
je le complète par les découpes possibles en 2, en 3 et en 4 triangles rectangles d'un triangle, rectangle ou non,
en indiquant explicitement les angles droits

Amusement avec Pythagore

je ne blanque pas vu que tout reste à faire pour en trouver les dimensions et qu'elles soient entières.
certaines dispositions s'avèrent faciles, d'autres moins
on remarque plusieurs cas d'hypoténuse commune
ce qui nous ramène au doublets initiaux de cette discussion

Posté par
dpi
re : Amusement avec Pythagore 23-06-22 à 08:18

Au passage j'ai un 3 ,mais 4 et 4 rectangle beaucoup plus dur..

Amusement avec Pythagore

Posté par
mathafou Moderateur
re : Amusement avec Pythagore 23-06-22 à 08:59

bon début, persévère ... tu vas trouver le truc
ça donne de toute façon des dimensions,... impressionnantes.
(vu qu'on est amené à multiplier par le complément au PPCM avec le nouveau triangle)
accoler deux triangles semblables au (3,4,5) est comme tu l'as fait avec un coté commun = le PPCM de 3 et 4 (ou de 3 et 5 ou de 4 et 5 si commun avec l'hypoténuse 5)
et ça ne s'arrange pas en ajoutant d'autres triangles...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Amusement avec Pythagore 23-06-22 à 09:10

une "solution triviale" à partir de multiples de (3,4,5)

Amusement avec Pythagore

on cherche bien sur des solutions non triviales et si possible plus petites

Posté par
derny
re : Amusement avec Pythagore 23-06-22 à 10:58

Bonjour
Un peu dans le même esprit, vu dans la revue "Jouer Jeux Mathématiques" :
Combien existe-t-il de découpages d'un carré en 6 triangles semblables ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Amusement avec Pythagore 23-06-22 à 11:24

Bonjour derny,
il y suffisamment de taf dans cette discussion-ci sans en rajouter une couche
je propose que tu mettes cette question dans une discussion à part entière (pour éviter des digressions dans cette discussion-ci)

Posté par
derny
re : Amusement avec Pythagore 23-06-22 à 11:36

OK

Posté par
mathafou Moderateur
re : Amusement avec Pythagore 24-06-22 à 09:08

on va essayer d'avancer un peu sur ce problème des triangles Pythagoriciens

on va se concentrer sur la découpe d'un triangle rectangle en 4
pour un triangle rectangle on a les agencements possibles suivants :
Amusement avec Pythagore
les cas 1 et 1bis sont exclus si on veut des triangles tous différents
es cas 2 et 3 sont "triviaux" en ce sens qu'on peut partir d'un triangle de base quelconque et opérer juste des agrandissements (exemple déja donné précédemment)
reste les cas 4 et 5 dans lesquels on remarque une hypoténuse commune et donc il s'agit de choisir comme point de départ des doublets (début de la discussion)
prenons comme exemple le doublet le plus simple 25² = 7²+24² = 15²+20²
on peut les disposer de part et d'autre de l'hypoténuse 25 de deux façons différentes (une seule est choisie ci-dessous) pour former un quadrilatère CDEF
puis opérer par prolongement et perpendiculaires pour obtenir deux possibilités ABC et A'B'C :
Amusement avec Pythagore

avec la formule tan(a+b) on calcule tan = BF/EF
on trouve ici que tan = 4/3 et donc les triangles colorés sont semblables au triangle primitif (3,4,5)
on opère alors les agrandissements idoines pour rendre les côtés égaux :
on multiplie par 3 le quadrilatère et par 7 le triangle (3,4,5) de sorte que EF = 3*7 = 7*3
on obtient ainsi .... presque la figure du 22-06-22 à 10:43 !
sauf que le triangle (32,60,68) est remplacé par un (45,60,75)

hélas ce cas donne deux triangles identiques
raté
on essaie avec d'autres points de départ ...



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