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Commencer par montrer que si f ne s'annule pas, il existe une fonction entière h telle que f=e^h. (Ce n'est pas beaucoup plus facile, mais c'est très instructif et très utile!) je suis prête à donner une autre indication, si nécessaire.

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]C'est une conséquence du théorème de relèvement non?

Comme f ne s'annule pas, on peut écrire que

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Si par tu désignes l'argument, il y a quand même un gros problème ne serait-ce que de continuité... mais je ne sais pas trop ce que tu appelles "théorème de relèvement"

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Effectivement, ça me paraissait trop simple, j'y retourne.

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Si h est telle que f=e^h, on a h'=f'/f

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1) Si h est analytique telle que e^h=f, on doit avoir h'f=f' et e^h(0)=f(0). Comme f ne s'annule pas, h'=f'/f. La fonction f'/f est analytique sur C tout entier, donc elle y admet des primitives. Soit h une primitive telle que h(0) vérifie e^h(0)=f(0) (ça existe, car f(0) est non nul). On a alors , donc fe^-h est constante et comme en 0 ça vaut 1, on a fe^-h=1. Donc c'est bon!

Ensuite, on vérifie facilement qu'une autre solution analytique du problème est forcément de la forme h+2mi avec m dans Z.

Le problème g^k=f se ramène alors à g^k=e^h qui donne facilement les k solutions g=e^(h+2im)/k pour 0 m < k.

2) Immédiat! Si f a un zéro en a, g aussi. Alors la série de g au voisinage de a est de la forme (z-a)+... et élevé à la puissance k, donne pour la série de fau voisinage de a, ^k(z-a)^k+...