1) Soit à Démontrer que si la fonction est continue en x0 , alors
:
lim| f(x0+h) - f(x0-h)|=0 quand h tend vers 0 .

écrivons que:

| f(x0+h) - f(x0-h)|=| f(x0+h) -f(xo)- f(x0-h)+f(xo)|
                                 <=| f(x0+h) -f(xo)| + |f(x0-h)-f(xo)|
c'est l'inégalité triangualire.

soit e>0 (e à la place de l'habituel épsilon!) très petit que l'on
veut.

comme f est continue en xo alors il exite µ>0 tel que

|h|<µ implique |f(x0+h) -f(xo)|<e/2 et |f(x0-h)-f(xo)|<e/2

comme:

| f(x0+h) - f(x0-h)|<=| f(x0+h) -f(xo)| + |f(x0-h)-f(xo)|
et |f(x0+h) -f(xo)|<e/2 et |f(x0-h)-f(xo)|<e/2

alors:

|h|<µ implique | f(x0+h) - f(x0-h)|< e/2+e/2=e
en résumé nous avons montré que

qq soi e>0 il existe µ>0 : |h|<µ implique | f(x0+h) - f(x0-h)|< e

donc lim| f(x0+h) - f(x0-h)|=0 quand h tend vers 0.

2) Démonter que la réciproque est fausse ( on donnera un contre- exemple)?

il reste à chercher un contre exemple tel que:

f est discontinue en xo et lim| f(x0+h) - f(x0-h)|=0 quand h tend vers
0.

le temps de chercher je vous laisse aussi chercher à bientôt.