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arbre de Pythagore

Posté par
mathafou Moderateur
14-02-22 à 11:29

Bonjour,

un arbre de Pythagore est constitué ainsi.
on part d'un carré
on érige sur le coté opposé à la base un triangle rectangle et deux carrés sur chacun des cotés de ce triangle
on réitère l'opération de proche en proche.
en numérotant étape 1 le carré de départ
étape 2 les deux carrés verts
etc
et avec des triangles rectangles isocèles on obtient à l'étape 4 :
arbre de Pythagore

dans ces conditions , à l'étape 6 il y a superposition de carrés de l'étape 6 par dessus des carrés de l'étape 5.

arbre de Pythagore

on peut éviter cette superposition là (à l'étape 6) en choisissant des triangles non isocèles :

arbre de Pythagore

mais on peut voir que on aura ici une nouvelle superposition à l'étape 7

la question :
peut on choisir les angles des triangles rectangles de sorte qu'il n'y ait jamais superpositions (quand le nombre d'étape tend vers l'infini )
si oui avec quels angles ?

Que penser du problème récurent demandant de calculer l'aire totale ??!
comme ici : suites

Posté par
ty59847
re : arbre de Pythagore 14-02-22 à 12:32

Si les triangles ne sont pas isocèles, j'imagine que tu imposes une contrainte d'avoir des triangles semblables à toutes les étapes.
Par exemple des angles (90°, 60° et 30°, c'est plus ou moins ce qu'il y a sur le dessin)
Mais quid de l'orientation.
Entre le triangle gris et les 2 vert, l'arbre s'incline vers la droite.

Puis vers la gauche entre les verts et les bleus
Puis à nouveau vers la gauche entre les bleus et les oranges
Puis vers la droite entre les oranges et les violets
Puis vers la gauche entre violet et rouge.

A mon avis, il faut imposer une alternance gauche droite, et il n'y a rien de politique derrière cette proposition.

Posté par
mathafou Moderateur
re : arbre de Pythagore 14-02-22 à 13:16

Oui, on va "imposer" (je n'impose rien mais bon .. on va se restreindre volontairement à cette simplification) que les triangles soient tous semblables

quant à l'orientation, on peut choislr :
soit tous "dans le même sens"
soit alterné à chaque étape comme dans mon exemple
... toujours dans un esprit de simplification uniquement

quoique ... on se posera la question ultérieurement de triangles éventuellement différents et/ou orientés à volonté

Posté par
mathafou Moderateur
re : arbre de Pythagore 14-02-22 à 14:05

edit :
une petite erreur dans l'alternance des étapes sur mon exemple
(même orientation des triangles rose-bleus et des trangles bleu-vert au lieu de orientations opposées)

la figure correcte est :
arbre de Pythagore

Posté par
dpi
re : arbre de Pythagore 14-02-22 à 15:15

Bonjour,

Cet exercice  est très intéressant  et  esthétique.
En regardant les cotés externes des carrés on peut imaginer qu'il
faut obtenir des spirales qui ne doivent pas se toucher.
en alternant les sinus de l'angle objectif ou celui de son complémentaire on doit y arriver .
On attend donc une simulation pour l'étape 8 avec un géogébriste confirmé   

Posté par
mathafou Moderateur
re : arbre de Pythagore 14-02-22 à 19:27

Pour ma part je suis allé jusqu'à l'étape 10
ce qui fait tout de même
1+2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1023 carrés !
ça s'essouffle un peu ...
ma dernière figure ci-dessus comportait 63 carrés.

l'idée avec Geogebra est d'écrire des
Séquence( < Expression >, < Variable >, < Valeur Début >, < Valeur Fin > )

Posté par
mathafou Moderateur
re : arbre de Pythagore 15-02-22 à 16:00

Pour jouer : Geogebra
alpha est l'angle "au centre" du triangle
en ligne c'est assez lent... (de générer un millier de carrés)

Posté par
dpi
re : arbre de Pythagore 15-02-22 à 17:21


Joli !
Dommage qu'il n'y ait pas eu beaucoup d"amateurs...

Il semble donc que les petits angles font développer un arbre
dont les branches et les branchettes ne se rejoignent pas d'autant plus qu'au fil des étapes les cotés deviennent minuscules.

Posté par
mathafou Moderateur
re : arbre de Pythagore 15-02-22 à 17:40

il semble ...
et comme j'ai un raisonnement prouvant le contraire (que une superposition est inévitable quand n tend vers l'infini, quel que soit l'angle non nul) ...

 Cliquez pour afficher

Posté par
dpi
re : arbre de Pythagore 15-02-22 à 17:44

l'infini c'est grand,surtout à la fin

Posté par
mathafou Moderateur
re : arbre de Pythagore 17-02-22 à 10:12

L'étude de cette fractale ne semble pas passionner les foules

on va le faire façon scolaire alors ...
partie A) cas d'orientation alternée, avec un angle β "suffisamment faible" (≤ 30°), le carré de départ est un carré unité (de côté a = 1)
plus l'angle est petit et plus l'arbre est "aéré" et les "branches" longues.
arbre de Pythagore
1a) calculer la longueur du "tronc" (ligne en gras)
trigo et suite géométrique
1b) plus particulièrement sa limite lorsque le nombre d'étapes tend vers l'infini.
2) en déduire un majorant (grossier) du domaine occupé par l'arbre en entier
3) calculer l'aire totale de l'arbre, et sa limite quand le nombre d'étapes tend vers l'infini ( )
4) conclure (un télescopage est il inévitable ?) ...

Partie B)
mêmes questions si les triangles ont tous la même orientation :
arbre de Pythagore

nota : les figures ci dessus sont avec un télescopage à l'étape suivante n+1 ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : arbre de Pythagore 17-02-22 à 11:25

edit :
il vaut mieux calculer la longueur de l'autre "face" du tronc car elle est bien entendu plus longue.
cas A
arbre de Pythagore
cas B :
arbre de Pythagore

Posté par
LittleFox
re : arbre de Pythagore 17-02-22 à 18:09


Visuellement c'est très beau. Je n'ai pas encore eu le temps de m'y attaquer mais ça ne saurait tarder

Posté par
LittleFox
re : arbre de Pythagore 18-02-22 à 15:38


Note: Il y  a en fait 4 alternance possibles. Si on prend le plus grand triangle, sur chacun des petits côtés on peut mettre soit une copie de l'arbre, soit le miroir de cette copie.
Ceci de côté, attaquons les questions:

Soit l la longueur du tronc et x et y la longueur des petits du plus grand triangle.
Le grand côté étant de longueur 1 et le triangle étant rectangle, on a x²+y²=1 et (x,y) = (sin(\beta), cos(\beta)).

Dans le cas A (alterné), on a l*y^2+y+x+1 = l \Rightarrow l = \frac{1+x+y}{1-y^2} = \frac{1+x+y}{x^2}.

Dans le cas B (même sens), on a l*y + x+1 = l \Rightarrow  l = \frac{1+x}{1-y}.

l étant la plus grande distance depuis la base de l'arbre et ses feuilles, l'arbre doit être contenu dans un cercle de rayon 1+l. Ce rayon peut être très grand mais est fini si 0 < x \le y. Donc dès que le triangle n'est pas plat.

Soit A l'aire de l'arbre.
Dans les deux cas, on a x^2A + y^2A + \frac{xy}{2} + 1 = A \Rightarrow A + \frac{xy}{2} + 1 = A. Ce qui n'est possible que si A est infini.

On a donc un arbre d'aire infinie contenu dans un disque d'aire finie. L'arbre doit donc se recouvrir lui-même.

J'ai été étonné par cette aire infinie

Posté par
mathafou Moderateur
re : arbre de Pythagore 18-02-22 à 16:01

c'est ça.
(ou des calculs différents donnant le même résultat, plus explicitement ce que je demandais)

en fait c'est bien la généralisation de l'exo cité dans mon premier message
qui faisait calculer la "taille" de l'arbre = la somme d'une suite géométrique de raison < 1
et l'aire totale = n, le rang de l'étape
car la somme des carrés ajoutés à chaque étape est constante et égale à celle du carré de départ
(traduction sur les aires du théorème de Pythagore)

Posté par
mathafou Moderateur
re : arbre de Pythagore 18-02-22 à 16:04

PS : l'aire totale des seuls carrés

Posté par
LittleFox
re : arbre de Pythagore 18-02-22 à 16:47


Oui, j'ai vu un peu trop tard qu'on ajoutait 1 à l'aire à chaque étape.  J'ai vraiment pris l'approche arbre infini et pas étape par étape



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