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Arithmétique

Posté par
AnOnYmOuS
19-04-12 à 10:33

Bonjour!
On considère dans *N* l'équation (E):x²(x+y)=y²(x-y)².
1) Soit le couple (x,y) une solution de (E).
On pose d=pgcd(x,y), x=ad et y=bd.
a) Vérifier que db²(a-b)²=(a+b)a².
b) En déduire que b=1.
je n'arrive pas à répondre à la dernière question.
merci

Posté par
watik
re : Arithmétique 19-04-12 à 11:15

bonjour

1) x²(x+y)=y²(x-y)^²

x=ad et y=bd avec d=PGCD(x;y) donc PGCD(a;b)=1 premiers entre eux

a) (ad)²(ad+bd)=(bd)²(ad-bd)² ssi  d^3a²(a+b)=d^4b²(a-b)²
                              ssi a²(a+b)=db²(a-b)²   ; car d non nul

b)a²(a+b)=db²(a-b)² donc d divise a²(a+b)
comme a et b sont premier entre eux donc PGCD(a;b)=1 donc PGCD(a;a+b)=1 donc PGCD(a²;a+b)=1 donc d=1

Posté par
watik
re : Arithmétique 19-04-12 à 11:21

donc a²(a+b)=b²(a-b)²

donc b divise a²(a+b)
b premier avec a² donc d'après th de Gauss b divise a+b donc b divise a=(a+b)-b
comme b est premier avec a donc b=1

donc
a²(a+1)=(a-1)²

a^3+a=a²-2a+1 donc a^3+3a-1=0
              donc a²(a+3)=1
              donc a divise 1 donc a=1 et 4 divise 1 ce qui n'est pas possible donc (E) n'a pas de solution

Posté par
AnOnYmOuS
re : Arithmétique 19-04-12 à 11:49

vous avez bien deviné le reste de l'exercice
mais on demande plutôt de déduire de ( (a-1) divise (a+1)) que a=2 ou a=3



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