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Arithmétique

Posté par
ghaddoudy
21-01-13 à 22:46

Salut .. j'ai commencé à travailler cet exercice mais je trouve des résultats illogiques merci pour votre aide
soit le polynôme f définit par F(x)=X puissance 3+5x²-17x-21
soit n un entier naturel tel que n supérieur ou égal à 3 montrez que si f(n) = 0 alors n es un diviseur de 21
resoude l'équation f(n)=0

f(n)=0 alors 21=n(n²+5n-17)
donc n est un diviseur de 21
2/ f(x)=0 alrs  x est un diviseur de 21 supérieur ou égal à 3
donc x=3 ou x=7 ou x=21
or si je calcule f(7) et f(21) je trouve que ce ne sont pas des racines de la fonction .. Ou est l'erreur ?
Merci d'avance

Posté par
Bachstelze
re : Arithmétique 21-01-13 à 22:50

Rien ne dit que n est un diviseur positif de 21. Tu aurais pu t'en apercevoir, par exmeple, en entrant ta fonction dans Wolfram pour avoir ses racines.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Arithmétique 21-01-13 à 22:54

Bonsoir,

tu as oublié un diviseur "trivial" de 21 déja
en plus tu en a oublié bien plus que ça des diviseurs de 21, par exemple 21 = (-3)*(-7)

enfin tu ne dis rien de 3 ?
et finalement
si f(n) = 0 alors n est un diviseur de 21
ne veut pas dire
si n est un diviseur de 21 alors f(n) = 0 !!!

il est donc normal que parmi les diviseurs de 21 il y en ait pour lesquels f(n) soit 0.
Il se pourait même que aucun des diviseurs de 21 ne donne f(n) = 0 !

réfléchis bien à ce que veut réellement dire la phrase :
si f(n) = 0, n entier, alors n est un diviseur de 21
(en logique)

Posté par
ghaddoudy
re : Arithmétique 22-01-13 à 11:04

ça  veut dire que si n est une racine de f alros n est un diviseur de 21 .. Non ?
Comment ça m'aide à résodre k'equation f(x)=0 ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Arithmétique 22-01-13 à 11:21

eh bien cette technique (tester les diviseurs de 21) "peut" donner des racines dites "évidentes"

par exemple ici on trouve plusieurs racines "évidentes", c'est à dire plusieurs diviseurs de 21 (dans !!)
soit n une telle racine
alors f(x) se factorise par x - n
f(x) = (x-n)g(x)
le degré de g(x) étant un de moins que celui de f(x)

ici g(x) sera un polynome du second degré
l'équation produit (x-n)g(x) = 0 donne alors
n (déja connue)
et les solutions de g(x), qui étant une équation du second degré se résoud facilement "comme d'hab"

on peut même éviter cette dernière étape si on a plusieurs "racines évidentes" n, m ...
d'ailleurs dans ce cas on les a toutes !! (car le produit est 21, si deux d'entre elles sont des entiers, la 3ème aussi forcément !)
et on a directement f(x) = A(x-n)(x-m)(x-p) et les trois racines de cette équation produit qui sont les trois racines "évidentes" trouvées.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Arithmétique 22-01-13 à 11:26

PS :

Citation :
ça veut dire que si n est une racine de f alors n est un diviseur de 21 .. Non ?
Non
ça veut dire que si n est un entier et une racine de f(x) alors n divise 21
cela est bien sûr sous entendu quand tu parles de "n", mais c'est fondamental !!
f(x) peut très bien n'avoir aucune solution qui soit des nombres entiers !
si (exemple au hasard) 1+3 est une racine de f(x) ça ne veut pas dire que 1+3 est un diviseur de 21, ou alors c'est une drole de notion de "diviseur"

Posté par
ghaddoudy
re : Arithmétique 22-01-13 à 17:54

Enfin .. j'ai compris Merci



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