Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau première
Partager :

arithmétique

Posté par
omartborbi
01-03-14 à 14:36

Bonjour est ce que vous pouvez m'aider à faire cet exercice ?
Soit n en entier naturel non nul . On considère les entiers naturels a=2n+3 et b=3n+2
on pose d = PGCD(a,b)
1) montrer que d est un diviseur de 5
2) montrer que si 5 divise a alors il existe un entier naturel k tel que n-1=5k
3) en déduire que a et b sont divisible par 5 ssi (n-1) est multiple de 5

pour 1)
il suffit de dire que d|(3a-2b)
2)
5 divise a alors a=2n+3=5q ( q entier naturel ) donc q est impair 2n+3=5(2k+1)
2n+3=10k+5 ==> n-1=5k
3)
1er sens
d|a et d|b donc d|(b-a)==> d|(n-1)  
a et b sont divisibles par 5 alors d=5 donc 5|(n-1)
le 2eme sens est évident

mais je crois que le travail du 3eme question ne s'agit pas d'une déduction
comment doit on procéder alors ?

Posté par
carpediem
re : arithmétique 01-03-14 à 14:50

salut

je ne comprends pas 2/


d divise a et b donc d divise 3a - 2b = 5 donc d divise 5

d divise a et b donc d divise b - a = n - 1

5 divise d donc 5 divise n - 1

d = 5 <==> 5 divise n - 1

Posté par
omartborbi
re : arithmétique 01-03-14 à 14:55

Vous ne comprenez pas l'énoncé ou mon travail ?

Posté par
carpediem
re : arithmétique 01-03-14 à 14:58

ton travail de 2/

Posté par
carpediem
re : arithmétique 01-03-14 à 14:59

ha non oui c'est ok ...

Posté par
omartborbi
re : arithmétique 01-03-14 à 15:03

5 divise a alors a=2n+3 s'écrit sous la forme 5q ( avec q entier naturel )
2n+3=5q
comme 2n+3 est impair donc 5q est impair d'où q est impair !
donc q=2k+1 ( k entier naturel )
par suite
2n+3=5(2k+1)
2n+3=10k+5
2n=10k+2
n=5k+1
n-1=5k
mais est ce que 3) dans votre travail est une déduction ?

Posté par
carpediem
re : arithmétique 01-03-14 à 16:09

oui c'est bon

ben oui ....

si d divise a et b alors d divise 5 (d'après 1))

si 5 divise a alors 5 divise n - 1 (d'après 2))

(or les seuls diviseurs de 5 sont 1 et 5 et évidemment 1 n'apporte rien)

donc

d = 5 divise a et b <==> 5 divise n - 1



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1682 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !