Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. PremièreForum de première ArithmétiqueTopics traitant de arithmétique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau première
Partager :

Arithmétique

Posté par
Chamsi68 16-04-17 à 21:08

Bonjour,
S'il vous plait, a-t-on l'implication : n\mid m \Longrightarrow \binom{n}{i}\mid \binom{m}{j},\ \left(\left(n,m\right)\in\left(\mathbb{N}^{*}\right)^{2},\ i\in[\![1,n]\!],\ j\in[\![1,m]\!]\right) ?

Si c'est le cas, comment la démontrer ?

Posté par
ClayVerre : Arithmétique 16-04-17 à 21:21

Bonjour,

Ton implication n'est pas très claire, mais on devine ce que tu veux dire.
3 divise 6, et 2 parmi 3 vaut 3 et 3 parmi 6 vaut 20, or 3 ne divise pas 20...

Posté par
flightre : Arithmétique 16-04-17 à 21:37

salut

peut etre en posant des conditions entre  i et  j

Posté par
Chamsi68re : Arithmétique 16-04-17 à 22:50

Oui ce contre exemple est clair
Quelles conditions peut-on poser entre i et j ?

Posté par
Chamsi68re : Arithmétique 18-04-17 à 00:11

L'exercice qui m'a poussé à poser cette question est le suivant :

On pose \left(\forall n\in\mathbb{N}^{*}\right),\ x_{n}=2^{n}-1 \cdot
1) a) Montrer que : \left(\forall n\in\mathbb{N}^{*}\right),\  x_{n+1}=2x_{n}+1 \cdot
b) En déduire que : \left(\forall n\in\mathbb{N}^{*}\right),\ x_{n+1}\wedge x_{n}=1 \cdot
2) a) Montrer que : \left(\forall \left(n,m\right)\in\left(\mathbb{N}^{*}\right)^{2}\right),\ n\mid m \Longrightarrow x_{n}\mid x_{m} \cdot
b) Soit \left(n,m\right)\in\left(\mathbb{N}^{*}\right)^{2}, montrer que si r est le reste de la division de m par n, alors x_{r} est le reste de la division de x_{m} par x_{n} \cdot
c) En déduire que : x_{m}\wedge x_{n}=x_{n}\wedge x_{r} \cdot

La question 2) a) j'ai fais comme ça : x_{m}=2^{m}-1=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}{\binom{m}{i}} et x_{n}=2^{n}-1=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}{\binom{n}{i}}, il fallait que je démontre l'implication que j'ai postée au début, comment le faire  ?
Y-a-t-il une autre méthode ?

Posté par
JeanNaymardre : Arithmétique 18-04-17 à 00:44

Bonjour,

Pour ma part, j'essaierais d'utiliser les progressions géométriques, ici de raison 2. Ca revient à considérer l'écriture de x_n en binaire, soit n fois le chiffre 1.

Posté par
carpediemre : Arithmétique 18-04-17 à 09:40

salut

je ne sais pas pourquoi sortir des coefficients binomiaux alors que tout simplement :

x_n = 2^n - 1 = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{n - 1}

m = kn => 2^m - 1 = (2^n)^k - 1 = (2^n - 1)(1 + 2^n + (2^n)^2 + (2^n)^3 + ... + (2^n)^{k - 1}) => x_n  |  x_m

...

Posté par
ClayVerre : Arithmétique 18-04-17 à 09:45

Bonjour,

Si n divise m, alors il existe k \in \mathbb{N}^* tel que m = nk. Donc :

\frac{x_m}{x_n} = \frac{(2^n)^k - 1}{2^n - 1}, et si tu connais la factorisation de a^n - b^n, tu devrais trouver tout seul

Posté par
ClayVerre : Arithmétique 18-04-17 à 10:26

Au passage, même si l'implication que tu avais écrite au début aurait été vraie, tu n'aurais pas pu conclure... Par exemple, 2 divise 4 et 3 divise 3, et pourtant (2+3) = 5 ne divise pas (4+3) = 7

Posté par
Chamsi68re : Arithmétique 18-04-17 à 17:29

Oui, merci carpediem et ClayVer, je n'ai pas pensé à factoriser en utilisant l'identité remarquable.

Posté par
ClayVerre : Arithmétique 18-04-17 à 17:35



As-tu réussi les autres questions ?

Posté par
Chamsi68re : Arithmétique 22-04-17 à 00:42

Oui je l'ai je les ai réussi, désolé pour le retard, je n'ai pas repassé par ici.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !