Bonjour ,
et merci d'animer.

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Il faut donc une racine entière d'un multiple de 4 entiers.
Les triangles du type 3,4,5 conviennent par exemple
6,8,10  --> p= 12  puis  576 =24 pour S.
Je cherche d'autres cas...

En fait j'ai répondu à une autre question :
Trouver des triangles d'aire entière

Voici ma solution:

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La formule de Héron quand l'aire est égale au périmètre peut être réécrite :


En posant sans restreindre le problème , par les inégalités triangulaires on montre que:
et
que donc .

Une recherche exhaustive montre qu'il n'y a que 5 solutions (en enlevant les permutations) :

 a  b  c  p  S
10  8  6 24 24
13 12  5 30 30
17 10  9 36 36
20 15  7 42 42
29 25  6 60 60

Note: elles sont toutes multiple de 6.

J'ai réduit le problème à la recherche de 3 entiers strictement positifs tels que :

. On doit pouvoir finir à la main , il faut encore que j'y réfléchisse .

Imod

Bonjour  LittleFox

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OK pour le résultat.
Je suppose que la "recherche exhaustive" a été faite  avec l'ordinateur.
Pour ma part, j'ai tout fait à la main, avec des idées différentes mais du même type que les tiennes. Mais ce n'était pas agréable ...

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Si  x=p-a   y=p-b   z=p-c   (avec p le demi-périmètre qui est effectivement entier), on a:
4(x+y+z)=xyz      
Il y a peut-être une petite faute dans tes calculs si x,y et z sont effectivement ce que j'ai indiqué.
Je confirme qu'on peut finir à la main, mais la méthode que j'ai employée est assez fastidieuse ...

Bonjour perroquet,

merci de nous proposer ce problème.
Cela m'a rappelé quelque chose et j'ai retrouvé dans mes papiers que je l'avais résolu il y a longtemps.
La bonne méthode consiste à introduire , etc... (il y a une coquille dans la formule donnée par Imod).
Il faut d'abord montrer que est entier; ensuite si on s'y prend bien cela se fait très vite à la main (méthode classique).

Bonjour,
Merci àperroquet d'animer, et à jandri de signaler la coquille.

J'ai l'impression que, dans le message de LittleFox , il y a confusion entre
et le périmètre du triangle qui est .

@Sylvieg bien vu. Effectivement pour mes 5 solutions j'ai écrit p alors que je voulais indiquer le périmètre.

perroquet
Effectivement, après avoir montré que le problème était borné avec une borne raisonnable j'ai sorti mon python pour la recherche exhaustive

Oui, en fait, c'est la lettre p qui est maladroite dans la formule de l'aire. Mais difficile de retrouver le fautif
La lettre T (total) pour a+b+c peut être utilisée.

J'avais bien vu que chez Littlefox  p=P

Petite remarque  4(x+y+z) = 2P =4p=xyz
par définition  x,y,z sont entiers

D'ailleurs s'il y a toujours l'un des x, y ou z qui est entier ce n'est pas toujours le cas de tous en même temps.

Par exemple la solution (x, y, z) = (4,7/2,3) donne une aire et un périmètre de 21 mais a y non entier.

Oui,j'avais noté que dans notre cas ,P  était toujours multiple de 2 et donc p entier....

Bonjour à tous .

J'avais en effet oublié un facteur 2 , mais les x,y,z sont bien entiers et pas demi-entiers .

Il doit y avoir un angle d'attaque qui rend les choses simples mais pour le moment je passe complètement à travers

Je ne renonce pas

Imod

On peut démontrer que p est entier ; donc x, y, z aussi.

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Je reprends l'égalité de LittleFox :

Un des 3 facteurs de droite est donc pair. Or ces 3 facteurs ont tous la même parité que a+b+c .
a+b+c est donc pair.

Je ne vois toujours pas pourquoi ils seraient entiers.
Par contre si on les remplace par X=2x, Y=2y, Z=2z. Alors X,Y et Z sont effectivement entiers. Mais on a l'équation 16(X+Y+Z) = XYZ.

@Sylvieg Ok, j'accepte cette démo

Alors, je continue sur ma lancée
A partir de 4(x+y+z) = xyz et x,y,z entiers non nuls :

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1/yz + 1/xz + 1/xy = 1/4 .
Si xyz alors 1/yz + 1/xz + 1/xy 3/x² .
D'où 1/4 3/x² . Qui donne x 3 .

En partant de là on pose x=1 puis x=2 et avec un tableur on trouve les 2 triangles
rectangles et les 3 triangles scalènes.
A noter que dans mon tableur,j'ai trouvé  un triangle avec trois cotés de longueur
successives 13,14,15  dont l'aire entière 84 est le double du périmètre

Pourquoi pas x=3 ?
Sans tableur, on y arrive assez facilement.

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Pour x = 1 : (y-4)(z-4) = 20
Pour x = 2 : (y-2)(z-2) = 8 .

En fait les calculs ne sont pas si compliqués , il faut simplement un peu de patience .

On pose , et alors et sont entiers et . On peut supposer par exemple que . Alors et donc . On doit donc avoir et ce qui laisse peu de choix :


Imod

Bonjour,
Il y a une coquille dans le tableau : C'est 4(x+y) au lieu de 4(x+y+z).

En effet


Imod