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Arithmétique : Determiner nombre de boules

Posté par
pfff
17-04-20 à 11:24

Bonjour je bloque sur exercice je veux un peu d'aide.

ÉNONCÉ

Un commerçant a deux cartons contenant le même nombre de bonbons.
Avec ceux du premier carton, il fait le plus possible de sachets de 23 bonbons.
Avec ceux du deuxième carton plus le reste du premier, il fait des sachets de 37 bonbons.

Sachant qu'il a confectionné au total 72 sachets et qu'il ne reste plus de bonbons, combien en avait-il au       départ ?

Posté par
pfff
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 11:25

Désolé je me suis trompé sur le titre

Posté par
fm_31
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 11:45

Bonjour ,
as-tu commencé quelque chose ?
Cordialement

Posté par
pfff
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 11:51

bon j'ai dit soit C1 et C2 les cartons respectifs

C1= 23 sachets

C2+ reste de C1=37 sachets

C1+C2=72 Sachets

Posté par
fm_31
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 12:08

Tu n'as pas utilisé toutes les données de l'énoncé . Par exemple la 1° ligne de l'énoncé ...

Posté par
pfff
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 12:10

j'avais même pas vu

C1=C2

Posté par
pfff
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 12:13

mais je vois pas encore comment aboutir au résultat

Posté par
alma78
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 12:41

Bonjour,
Si tu appelles :
S1 le nombre de sachets que tu fais avec les bonbons du carton 1
S2 le nombre de sachets que tu fais avec les bonbons du carton 2
C1 le nombre de bonbons du carton 1
C2 le nombre de bonbons du carton 2

tu as:
C1 = 23 * S1 + R avec R < 23
C2 + R = 37 * S2
S1 + S2 = 72
C1 = C2

avec tout ça tu dois trouver le nombre de bonbons.

Posté par
pfff
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 12:57

pourquoi il ya la multiplication qui intervient??

Posté par
pfff
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 12:58

pfff @ 17-04-2020 à 12:57

pourquoi il ya la multiplication qui intervient??


j'ai compris

Posté par
mathafou Moderateur
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 13:11

bonjour,

... pas si simple

on a une inconnue de plus que d'équations.
on est donc amené à une "équation de Diophante", ax + by = c en nombres entiers.

les inégalités sur le reste résultant de sa définition réduisent le nombre de solutions dans
(sinon une infinité de solutions dans )

Posté par
pfff
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 13:15

j'ai pas bien compris

Posté par
pfff
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 13:15

alma78 avec vos indices j'y arrive pas encore

Posté par
ThierryPoma
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 13:34

Bonjour,

Si N désigne le nombre de bonbons et r le reste de la division euclidienne de N par 23, il s'ensuit que tout revient à résoudre le système de congruences :

N-r\equiv0\quad[23]\text{ et }N+r\equiv0\quad[37]\text{ et }0<r<23\text{ et }\mbox{pgcd}(23,\,37)=1

Posté par
pfff
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 13:37

Bonjour ThierryPoma

pourquoi par 23

Posté par
ThierryPoma
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 13:42

N est le nombre de bonbons tant du premier carton que du second. Que dit l'énoncé au sujet du premier carton ?

Posté par
pfff
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 13:44

Avec ceux du premier carton, il fait le plus possible de sachets de 23 bonbons.

Posté par
ThierryPoma
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 13:45

Mathématiquement, comment traduis-tu le fait qu'il fasse le plus possible de sachets de 23 bonbons.

Posté par
pfff
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 13:48

Soit N1 le nombre de bonbons dans le carton 1. Comme Avec ceux du premier carton, il fait le plus possible de sachets de 23 bonbons donc N1\equiv 0\left[23 \right]

Posté par
ThierryPoma
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 13:55

Où se trouve le reste dont on se sert pour le deuxième carton ?

Posté par
ThierryPoma
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 13:57

Je précise que ce reste ne peux en aucun cas être supérieur ou égal à 23, sinon l'on pourrait confectionner un autre sachet de 23 bonbons.

Posté par
ThierryPoma
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 13:58

Tu regarderas également ici : Arithmétique determination de n

Posté par
pfff
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 14:03

ThierryPoma ah oui N1 \equiv r\left[23 \right]

Posté par
pfff
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 14:12

soit N2 le nombre de bonbons dans le carton 2. Comme Avec ceux du deuxième carton plus le reste du premier, il fait des sachets de 37 bonbons.

donc N2 + r \equiv 0 \left[37 \right]

Posté par
pfff
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 14:50

alma78 @ 17-04-2020 à 12:41

Bonjour,
Si tu appelles :
S1 le nombre de sachets que tu fais avec les bonbons du carton 1
S2 le nombre de sachets que tu fais avec les bonbons du carton 2
C1 le nombre de bonbons du carton 1
C2 le nombre de bonbons du carton 2

tu as:
C1 = 23 * S1 + R avec R < 23
C2 + R = 37 * S2
S1 + S2 = 72
C1 = C2

avec tout ça tu dois trouver le nombre de bonbons.


en terme de congruence ca donne

C1\equiv r \left[23 \right] et C2 + r \equiv 0 \left[37 \right]

donc :

C1 - r \equiv 0\left[23 \right]
C2 + r \equiv 0 \left[37 \right]

Posté par
ThierryPoma
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 15:04

Posant N=C_1=C_2, tu vas pouvoir écrire différemment ton système. Sais-tu résoudre ce type de système ?

Posté par
pfff
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 15:06

non pas vraiment mais un peu d'indication et j'y arriverai

Posté par
mathafou Moderateur
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 15:06

là aussi, que de complications ...

rendues encore plus compliquées par les notations C1, C2, S1, S2, etc

x le nombre de paquets de 23 et y le nombre de paquets de 37, et N le nombre de bonbons dans chaque carton.

x+y = 72 (c'est écrit dans l'énoncé)

N = 23x + r (x paquets de 23 bonbons et il reste r bonbons)
0 ≤ r < 23

N+r = 37y (en ajoutant ce reste r , ça fait exactement y paquets de 37 bonbons)

c'est à dire 23x + 2r = 37y

etc

Posté par
pfff
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 15:07

ThierryPoma @ 17-04-2020 à 13:34

Bonjour,

Si N désigne le nombre de bonbons et r le reste de la division euclidienne de N par 23, il s'ensuit que tout revient à résoudre le système de congruences :

N-r\equiv0\quad[23]\text{ et }N+r\equiv0\quad[37]\text{ et }0<r<23\text{ et }\mbox{pgcd}(23,\,37)=1


on revient donc à ca

Posté par
alma78
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 15:13

si on reprend mes notations,
C1 = C2 = C   [1]
C = 23 * S1 + R avec R < 23   [2]
C + R = 37 * S2   [3]
S1 + S2 = 72  [4]

de [4], on tire S2 = 72 - S1   [5]
de [3] et [6], on tire C + R = 37 * (72 - S1) = 2664 - 37 * S1    [6]

d'où R = 2664 -37 * S1 - C
En réinjectant R dans [2], on obtient C = ...
*** il ne s'agit pas de faire les exos à la place du demndeur ***

Posté par
mathafou Moderateur
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 15:18

@ alma78 : lire et appliquer à LIRE AVANT de répondre, merci

Posté par
alma78
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 15:24

@mathafou : je me retire sur la pointe des pieds et vous laisse entre experts !

Posté par
pfff
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 15:44

Désolé ma mère avait dit PAUSE-DEJEUNER.

Bon je suis un peu mélangé aidez moi s'il vous plait

Posté par
pfff
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 16:12

alma78 En réinjectant R dans [2], on obtient C = 1332-7S1
et la je suis bloqué

Posté par
mathafou Moderateur
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 16:15

relis ce qui a été dit

• méthode élémentaire avec ce que j'ai dit (à 15:06)
ou de alma78

ou bien
• méthode plus compliquée niveau Terminale avec des congruences (ThierryPoma)
de toute façon avec ces congruences ça ne va pas aller bien loin et il faudra les retraduire en équations "traditionnelles" :
x ≡ a [ m ]   équivaut à   "il existe k dans Z avec x = a + mk"  
c'était vraiment pas la peine de faire le détour par les congruences ...

Posté par
pfff
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 16:20

pour vous c'est la même chose

Posté par
mathafou Moderateur
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 16:23

comme j'ai déja dit on obtient une seule équation, à deux inconnues

pour la résoudre
C = 1332-7S1 (j'ai pas vérifié car moi je ne cherche pas C et S1 mais x et r)
veut dire que 1332 - C est un multiple de 7
au pire "on essaye les multiples de 7"
plus ou moins un par un (7, 14, 21 ...), en tenant compte que le reste est < 23

Posté par
pfff
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 16:23

on a 23x+2r=37y or y=72-x

donc 60x+2r=2664 apres avoir remplacé

Posté par
pfff
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 16:24

désolé j'ai oublié ca 30x + r = 1332

un indice pour la suite

Posté par
pfff
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 16:25

mathafou @ 17-04-2020 à 16:23

comme j'ai déja dit on obtient une seule équation, à deux inconnues

pour la résoudre
C = 1332-7S1  (j'ai pas vérifié car moi je ne cherche pas C et S1 mais x et r)
veut dire que 1332 - C  est un multiple de 7
au pire "on essaye les multiples de 7"
plus ou moins un par un (7, 14, 21 ...), en tenant compte que le reste est < 23



ok

Posté par
pfff
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 16:34

donc je commence avec 1332-C=7, ensuite 1332-C=14....... jusqu'a trouver quoi et à quel moment je m'arrête

Posté par
mathafou Moderateur
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 16:51

60x+2r=2664
30x + r = 1332 OK

30x = 1332 - r est donc un multiple de 30

0 ≤ r < 23
donc on sait entre quelles valeurs on doit chercher des multiples de 30 ...

avec les calculs "alma78"
c'est du même genre mais :
- ce sera des multiples de 7
- la valeur du reste n'apparait pas directement dans l'équation C = 1332-7S1 donc "on n'y voit rien" pour faire intervenir 0 ≤ reste < 23
- il y a beaucoup plus de multiples de 7 que de multiples de 30
- et enfin je n'ai pas vérifié que ce "C = 1332-7S1" était correcte ...
et j'ai même de très sérieux doutes là dessus !!!

tu remarqueras que je ne fais jamais de citations intégrales inutiles !!!
merci de faire pareil.

Posté par
pfff
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 17:24

x le nombre de sachets que tu fais avec les bonbons du carton 1
y le nombre de sachets que tu fais avec les bonbons du carton 2
N1 le nombre de bonbons du carton 1
N2 le nombre de bonbons du carton 2
donc N1 =N2=N

                  x+y=72
on a        N=23x+r
                  N=37y-r

N=N 23x + 2r = 37y or y =72x
             23x +2r = 2664-37x
             60x + 2r = 2664
             30x+r = 1332
             r = 1332-30x

or on sait que 0 r  < 23 0 1332 - 30x  < 23
                                                         -1332 -30x  < -1309
                                                         1332 30x > 1309
                                                         44.4 x > 43.63
donc x=44

r = 1332-30x r=12
N= 23x + r N= 1024
y = 72 - x y= 28

voici comment j'ai compris à l'aide de votre dernier message maintenant comment déterminer le nombre de bonbons qu'il avait au départ ??
          

Posté par
carpediem
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 17:35

ThierryPoma @ 17-04-2020 à 15:04

Posant N=C_1=C_2, tu vas pouvoir écrire différemment ton système. Sais-tu résoudre ce type de système ?
et pour simplifier posons ensuite b = N = C_1 = C_2  puisqu'on parle de bonbon ...

et si b ne plait pas posons ensuite x = b = N = C_1 = C_2 ... le perdant est celui qui ne peut plus utiliser une lettre déjà employée ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 17:35

44 sachets de 23 bonbons plus un reste de 12 ça ne doit tout de même pas être trop difficile !!!

(ou si on a tête dans le guidon à 5 cm au dessus de sa feuille et qu'on perd de vue la signification des calculs qu'on fait, on peut toujours remplacer x par 44 et r par 12 dans N1 = N = 23x+r )

et tant qu'à faire vérifier l'autre carton de bonbons de la même façon.

Posté par
carpediem
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 17:36

PS : c'est quand même un exercice de primaire ... quand par exemple on dit qu'il n'y a pas plus de 150 bonbons qui permet d'apprendre et/ou réviser ses tables de multiplication et la division euclidienne ...

Posté par
pfff
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 17:59

je trouve 2080 bonbons est ce juste ??

Posté par
pfff
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 18:00

carpediem
PS : c'est quand même un exercice de primaire ...

Posté par
pfff
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 18:03

erreur de frappe je trouve 2048bonbons est ce juste ??

Posté par
mathafou Moderateur
re : Arithmétique : Determiner nombre de boules 17-04-20 à 18:51

oui, 1024 par carton.

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