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arithmetique divisibilité

Posté par
ahmad1997274
03-03-16 à 17:33

bonjour
A^3 + B^3 + C^3 est divisible par 18 montrer alors que a*b*c est divisible par 6
je ne vois pas comment faire .. ??
merci d'avance

Posté par
mdr_non
re : arithmetique divisibilité 03-03-16 à 18:59

bonsoir : )

18 divise N = a^3 + b^3 + c^3
donc 2 divise N et 3 divise N

Comment utiliseras-tu ces indications ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : arithmetique divisibilité 03-03-16 à 19:56

Bonjour,

ça ne suffira pas
la simple divisibilité par 6 de N (divisible par 2 et 3 seulement) ne permet pas d'affirmer la divisibilité par 6 de abc

contre exemple : 13 + 13 + 43 = 66 est bien divisible par 2 et par 3 mais abc = 4 n'est pas divisible par 6

il faut utiliser la divisibilité par 9 de N
(2 divise N et 9 divise N)
la suite pareil.

Posté par
ahmad1997274
re : arithmetique divisibilité 03-03-16 à 20:32

merci pour vos réponses mais je ne vois toujours pas comment procéder .. pouvez m'expliquer un peu plus

Posté par
ahmad1997274
re : arithmetique divisibilité 03-03-16 à 20:46

pouvez vous*

Posté par
mathafou Moderateur
re : arithmetique divisibilité 03-03-16 à 20:49

pour la divisibilité par 2 c'est facile

le cube d'un nombre pair est un nombre pair et le cube d'un nombre impair est un nombre impair
(le justifier au besoin formellement en développant (2a)3 et (2a+1)3

et que faut il choisir comme parité de trois nombres A3, B3 et C3 pour que leur somme soit paire ?
peut on choisir trois nombres impairs ?


pour la divisibilité par 3 et 9
il va falloir étudier les développement de (3k)3, (3k+1)3 et (3k-1)3 (ou 3k+2 c'est pareil mais moins beau, moins "symétrique")
vu que ce sont les seuls sortes de nombres "modulo 3"

en faisant un tableau des possibilités de sommes de ces nombres là, il faudra alors montrer à partir de ce tableau que pour que la somme soit multiple de 9, il est nécessaire que l'un au moins soit de la forme 3k (= soit multiple de 3)

on peut rédiger tout ça dans le langage des congruences, ce sera même beaucoup plus propre, ou avec des facteurs "k" explicites

Posté par
mdr_non
re : arithmetique divisibilité 03-03-16 à 21:37

mathafou @ 03-03-2016 à 19:56

ça ne suffira pas
la simple divisibilité par 6 de N (divisible par 2 et 3 seulement) ne permet pas d'affirmer la divisibilité par 6 de abc
Ok, merci de m'avoir corrigé.

Posté par
ahmad1997274
re : arithmetique divisibilité 03-03-16 à 21:53

j'ai compris
merci beaucoup pour vos explications



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