Bonsoir,
c'est un problème intéressant .

Quelques idées avant de commencer à chercher.

Pour la question 2 il me semble évident que la probabilité de gain d'Alfred est supérieure à celle de Bernard.

En un sens on a un jeu similaire, en ce qui concerne les questions deux et trois en remplaçant 12 par 6.

Je vais chercher un peu.
Merci pour la question.

salut

oui bien intéressant ...

si on note X la variable aléatoire égale au nombre de lancers pour arriver à 12  et n_k le nombre de partition de 12 en k termes alors



(en fait avec douze 1

alors la probabilité de faire une soustraction est ... mais je ne dis pas de faire une soustraction pour obtenir 12

sans aucune certitude ...

En un sens on a un jeu similaire, en ce qui concerne les questions deux et trois en remplaçant 12 par 6.

Je pense qu'avec 6 au lieu de 12, Alfred est encore plus favori.

Et si on met le seuil à 6 ...
Alfred a une probabilité de 1/6 de gagner dès le 1er lancer. (contre 0 pour Bernard).
Si Alfred ne gagne pas dès le premier lancer, il a encore une probabilité de 1/6 de gagner dès le 2ème lancer. Contre 0 pour Bernard.
Et à partir du 3ème lancer, les probas sont à peu près équilibrées. Avec un léger avantage pour Bernard.

Donc 1/6 + 1/6*5/6=11/36 pour Alfred, et les 25/36 restants sont à peu près à moitié moitié.
Ce qui fait environ 0.65 pour Alfred... aurais-tu raison ?!

Un argument heuristique : si on met le seuil à 1 il est clair que la proba de gain d'Alfred est plus petite que celle de Bernard.

L'idée étant que plus le seuil est grand, plus on a de chance de l'obtenir directement avec des additions.

Du coup, j'ai fait une simulation moi aussi.
Pour l'énoncé initial (objectif=12), je trouve que Alfred gagne dans 60.6% des cas environ. Pas du tout comme toi.
Et pour l'objectif 6, Alfred gagne dans environ 64.2% des cas.

Je pense que ta simulation n'est pas bonne.

Non, pas d'accord du tout.
Si l'objectif est 1, Alfred a 1 chance sur 6 de gagner dès le premier lancer. Si Alfred ne gagne pas tout de suite, Bernard a à son tour 1 chance sur 6 de gagner à son tour ... Etc etc ...
Alfred reste favori, grâce à ce premier lancer.
Les spécialistes des chaines de Markov vont trancher tout ça

Juste une vérification : on lance 1 dé à 6 faces à chaque tour...  Aurais tu fait la simulation avec 2 dés à 6 faces ?  Et dans ce cas, pour objectif=1, c'est bien Bernard qui devient le favori.

Bonjour,

Une réponse sans faille aux questions peut s'obtenir en appliquant la théorie des chaînes de Markov avec états absorbants ; ici deux états absorbants, l'arrivée à 12 par en bas et l'arrivée à 12 par en haut.

Bonjour,

J'ai fait un modèle aléatoire de 1 à 6
Pour 1/  je trouve 14 % soit 1/7
pour 2/  je trouve que  Bernard gagne 3 fois plus qu' Alfred

L'espérance du nombre de tirages pour arriver à 12 est 63463/7776, soit à peu près 8.161
La probabilité d'arriver par en-dessous est 395567/653184, soit à peu près 0.606.

Si on fixe le seuil à 6 (ce qui revient à partir de 6 pour arriver à 12), l'espérance du nombre de tirages est exactement 6, et la probabilité d'arriver par en-dessous est 9/14.

Aurais-je assommé tout le monde ?

Mon code SageMath :

# Fabrication de la matrice de transition P
# États non absorbants : de 0 à 11 et de 13 à 17
# États absorbants : 12 (arrivée par en bas) et 18 (arrivée à 12 par en haut)

P=zero_matrix(QQ,19)
for i in range(12) :
    for j in range(6) :
        P[i,i+j+1]=1/6
P[12,12]=1
for i in range(13,18) :
    for j in range(i-13) :
        P[i,i-j-1]=1/6
    P[i,18]=1/6
    for j in range(i-12,6) :
        P[i,i-j-1]=1/6
P[18,18]=1

# Calculs classiques : voir 
# https://www.idpoisson.fr/berglund/probamass_html/node18.html

ind=list(range(19))
nonabs=ind[:12]+ind[13:18]
Q=P.matrix_from_rows_and_columns(nonabs,nonabs)
R=P.matrix_from_rows_and_columns(nonabs,[12,18])
I=identity_matrix(QQ,17)
N=(I-Q)^(-1)
B=N*R

# espérances du nombre de tirage pour arriver à 12
# en partant de 0,...,11,13,..,17
N*vector(17*[1])

# proba d'arrivée à 12 par en-dessous, par au-dessus
# en partant de 0,...,11,13,..,17
B

Non GBZM, tu n'as pas assommé tout le monde
Mais les notions en jeu dépassent les connaissances de certains d'entre nous
Pour le seuil à 6, peut-on trouver les résultats 6 et 9/14 sans faire intervenir la notion d'état absorbant ?

je plussoie ... malheureusement

à partir de ton premier msg j'avais compris en gros ton idée et ta matrice ...

mais par exemple dans ton dernier algo je ne comprends pas pourquoi tu parles de 18 parce que si on est strictement au dessus de 12 c'est au mieux en obtenant 11 + 6 = 17

(et j'avoue que je ne connais pas le "langage" des matrices ... (les mots leur signification) )

je ne veux pas te faire ton temps mais peut-être juste une question : si je comprends bien (avec ton lien (et merci)) Q est une  matrice (tout comme P) mais qu'est-ce que QQ ? (qui semble être un nombre mais je ne vois pas lequel)

merci par avance

GBZM a une matrice qui gère tous les cas d'exercices sur le thème ' on s'arrête quand on arrive à 12'.

Du coup, pour la question : 'partant de 0, quand arrive-t-on à 6, et quelle est la proba d'arriver en 'montant', il a reformulé ça en : 'partant de 6, quand arrive-t'on à 12, et quelle est la proba d'arriver en montant'.
C'est exactement la même question.

Le 18 ... c'est pour travailler avec des entiers.
Dans l'énoncé, on a besoin de compter quand on arrive à 11, à 12 , à 13 ... etc
Mais pour 12, on a besoin d'un 12bas et d'un 12haut.
Pas pratique.
GBZM a contourné ça en disant... vu que le nombre 18 n'est jamais utilisé,  on va s'en servir. On va dire que si on est à 13 ; et qu'on tire un 1, on arrive à 18 ( parce que 12.... ce serait ambigu, on ne saurait pas si on est arrivé à 12 par le bas, ou par le haut)
Pareil, si on est à 14, et qu'on tire un 2, on arrive à 18 etc.
12 correspond à 12 par le bas, et 18 correspond à 12 par le haut.
Et ces 2 états sont 'absorbants' : quand on arrive à 12 ou 18, la partie s'arrête.
Dans les calculs de GBZM, cette notion de 'la partie s'arrête' est retranscrite en : après 12 ou 18, à l'étape suivante, on est encore au même état.

Donc dans la matrice de transition, celle qui sert à décrire chaque tour de jeu, sur les lignes n°12 ou n°18, on a une seule valeur non nulle, on a 100% aux cases (12,12) et (18,18).
Alors que sur les autres lignes, on a 6 valeurs non nulles; par exemple, sur la ligne 9, on a 1/6 pour les colonnes 10,11,12,13,14 et 15.
Et pour la ligne 14, on a 1/6 pour les colonnes 13,18,11,10,9 et 8.

ha d'accord !!!

merci beaucoup ty59847

Et pour la question sur QQ, ce n'est pas un nombre ni une matrice, mais l'ensemble des rationnels !
C'est pour expliquer à SageMath que tu veux qu'il fasse ses calculs de manière exacte, sous forme de fractions d'entiers, et ainsi garantir qu'il n'y aura pas d'erreur d'arrondi dans le calcul de la probabilité stationnaire

ha ben alors les choses s'éclairent !!!

merci beaucoupUlmiere

Bonjour,
Ah les fameuses chaines de Markov absorbantes, il y avait longtemps (ou pas )
Pour un seuil à 6, trouver un temps d'attente de 6 est assez immédiat en passant par une loi géométrique de proba 1/6 mais pour les probas de succès, à part faire un système qui reprend plus ou moins la même idée que celle de GBZM, je ne vois pas comment faire autrement.
L'intérêt de sa méthode étant quand même qu'elle fait le job systématiquement et ça se comprend assez bien, j'y suis passée alors que je ne connaissais pas et finalement maintenant ça va tout seul donc je dirai que ça vaut quand même la peine de s'y mettre.

Edit : temps d'attente moyen

Bonsoir,

Oui, à partir du moment où on est à une distance inférieure ou égale à 6 du but 12, on y reste et la proba de rater la cible est à chaque coup de 1/6.
Pour ce qui est de la difficulté mathématique de la méthode, je dirais que ça ne va pas au delà du niveau L2 (probas rudimentaires, un peu de calcul matriciel).

Ca dépend, si tu prends comme prérequis la théorie ergodique c'est niveau M2

Si tu en restes à l'algèbre linéaire L2 oui, mais dès que tu parles de mesures, de temps d'arrêt, de proba stationnaire, ou de processus de Markov, tu es dans le cadre des probas et non des systèmes dynamiques, donc niveau L3 plutôt

Faut pas pousser.

Comme on le voit sur cet exemple, ou comme on le voit en général sur la page que j'ai donnée en référence

il n'y a aucun des gros mots que tu cites : théorie ergodique, mesure, proba stationnaire, processus de Markov ...

_{*Sylvieg edit > lien facilité *}