(Un) est positive
Pour démontrer qu'elle est positive, on va démontrer par récurrence que Un est compris entre 0 et 1.

(Un) est décroissante
U_n+1-U_n=U_n(k(1-Un)-1)
Or k-1-kU_n < 0.
Conclure.

Une suite décroissante et minorée converge donc or si U_n converge vers L, L est solution de l'équation.
L=kL(1-L)
L(1-k(1-L))=0

A résoudre pour conclure.

@+

U(n+1) = k*Un*(1 - Un)

Si 0 <= Un <= 1
on a: 0 >= -Un >= -1
-1 <= -Un <= 0
1 -1 <= 1 -Un <= 1 + 0
0 <= 1 -Un <= 1
0*Un <= Un(1-Un) <= Un
0 <= Un(1-Un) <= Un

0 < Un(1-Un)
et avec k >= 0 ->

0 <= k.Un(1-Un)
0 <= U(n+1)   (1)

Un(1-Un) <= Un
k.Un(1-Un) <= k.Un
U(n+1) <= k.Un
et comme 0 <= k <= 1, et qu'on a supposé 0 <= Un <= 1, on a alors: U(n+1) <= 1  (2)

(1) et (2) -> 0 <= U(n+1) <= 1
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On a donc montré que si 0 <= Un <= 1, on a aussi 0 <= U(n+1) <= 1  (3)

U(0) = 1/2 -> on a 0 <= U(0) <= 1
Comme 0 <= U(0) <= 1, par (3), on a aussi 0 <= U(1) <= 1
Comme 0 <= U(1) <= 1, par (3), on a aussi 0 <= U(2) <= 1
et ainsi de proche en proche, on a: 0 <= U(n) <= 1 pour tout n de n.
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On a montré avant que: U(n+1) <= k.U(n)
et comme 0 <= k <= 1, on a donc: U(n+1) <= U(n)

U(n+1) <= U(n) et la suite Un est décroissante.
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La suite Un est décroissante et minorée (par 0) -> la suite est convergente.
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Appelons L la valeur vers laquelle la suite converge.
On a lim(n->oo) U(n) = L mais aussi lim(n->oo) U(n+1) = L

U(n+1) = k*Un*(1 - Un)
lim(n->oo) U(n+1) = k*lim(n->oo) [Un*(1 - Un)]
L = k*L*(1-L)

Soit L = 0,
soit 1 = k(1-L) mais c'est impossible sauf si k = 1 et L = 0

-> La suite converge vers 0
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Sauf distraction.  

Oups, Victor avait répondu.

salut
on veut montrer que (Un) est decroissante et positive.
preambule :
montrons que pour tout n , Un est compris entre 0 et 1.
raisonnement par recurrence sur n.
pour n=0 ok
n=1 aussi.
si Un est entre 0 et 1.
comme U(n+1) = k*Un*(1 - Un) et k dans [0,1] alors U(n+1) aussi.
donc ok.fin du raisonnement par recurrence : pour tout n, U(n) est dans [0,1]

U(n+1)-U(n)=-k*U(n)^2+(k-1)*U(n)=U(n)*[-k*U(n)+k-1]
et -k*U(n)+k-1=k*(1-U(n))-1

0=<1-U(n)=<1 car U(n) dans [0,1]
k dans [0,1] donc 0=<k*(1-U(n))=<k=<1
donc -1=<k*(1-U(n))=<0
donc U(n+1)-U(n)=<0. donc (Un) decroit.
(Un) est une suite decroissante, minoree par 0 car positive elle est donc convergente.
soit l sa limite.
comme U(n+1) est une suite extraite de U(n).
U(n+1) converge et sa limite est l.
donc l=k*l*(1-l).
donc k*l^2-(k+1)*l=0=l*(k*l-(k+1))
l=0 ou l=(k+1)/k.
(remarque si k=0 (Un) est la suite nulle donc l=0)
donc on peut ecrire l=0 ou (l=(k+1)/k, k non nul).
si l=(k+1)/k=1+1/k. donc l>=1 car k>0.
or U0=1/2 ce qui contredit le fait que (Un) est decroissante :
pour tout n U(0)>=U(n).
donc par passage a la limite 1/2=U(0)>=l.


donc l=0 et ce pour toute valeur de k.

a+

Il fallait donc utiliser la récurrence.

Merci beaucoup à tous